فيديو السؤال: تكامل الدوال المثلثية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد تكامل الدالة سالب سبعة مضروبًا في جتا ثلاثة ﺱ مضروبًا في ظا ثلاثة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

أول شيء علينا تجربته في مسألة كهذه هو معرفة إذا ما كان التكامل على الصورة القياسية التي يمكننا إيجاد تكاملها مباشرة. نلاحظ أن الدالة التي سيتم تكاملها تكون على صورة دالة جيب التمام مضروبة في دالة الظل، وهي ليست صورة قياسية نعرف كيفية إيجاد تكاملها. هذا يعني أن علينا كتابة هذا التعبير على صورة يمكننا إيجاد تكاملها.

هناك عدة طرق يمكننا تجربتها في هذه المرحلة. يمكننا محاولة استخدام صيغ مضاعفات الزاوية، أو يمكننا استخدام متطابقة ظل الزاوية لإعادة كتابة الدالة ظا ثلاثة ﺱ. تنص متطابقة ظل الزاوية على أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 مقسومًا على جتا 𝜃. وبما أن هذه المتطابقة تنطبق على جميع قيم 𝜃، يمكننا التعويض عن 𝜃 بثلاثة ﺱ، وهو ما يعطينا ظا ثلاثة ﺱ يساوي جا ثلاثة ﺱ مقسومًا على جتا ثلاثة ﺱ.

يمكننا بعد ذلك التعويض عن ظا ثلاثة ﺱ في الدالة التي سيتم تكاملها بـ جا ثلاثة ﺱ مقسومًا على جتا ثلاثة ﺱ. بعد ذلك، يمكننا تبسيط هذا بحذف العامل المشترك جتا ثلاثة ﺱ، وهو ما يعطينا تكامل سالب سبعة مضروبًا في جا ثلاثة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. نحن نعلم أنه لأي ثابت ﻙ، فإن تكامل ﻙ مضروبًا في ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻙ مضروبًا في تكامل ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

لذا، يمكننا استخدام ذلك لنقل الثابت سالب سبعة خارج التكامل. يمكننا بعد ذلك استخدام حقيقة أن تكامل جا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب جتا ﺃﺱ مقسومًا على ﺃ زائد ثابت التكامل لحساب التكامل. وهو ما يعطينا سالب سبعة مضروبًا في سالب جتا ثلاثة ﺱ مقسومًا على ثلاثة زائد ثابت التكامل ﺙ واحد. يمكننا تبسيط هذا التعبير لنحصل على سبعة مضروبًا في جتا ثلاثة ﺱ على ثلاثة ناقص سبعة في ﺙ واحد.

وأخيرًا، نلاحظ أن سالب سبعة مضروبًا في ﺙ واحد هو ثابت، لذا يمكننا التعويض عن هذا الثابت بثابت جديد سنسميه ﺙ. إذن، الإجابة النهائية لتكامل سالب سبعة مضروبًا في جتا ثلاثة ﺱ مضروبًا في ظا ثلاثة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سبعة مضروبًا في جتا ثلاثة ﺱ مقسومًا على ثلاثة زائد ثابت التكامل ﺙ.