فيديو السؤال: إيجاد المعادلتين البارامتريتين لخط مستقيم يمر بنقطة معطاة واتجاهه موضح بالنسبة إلى متجه معطى الرياضيات

حدد أي من الآتي يمثل المعادلتين البارامتريتين للخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ﺃ (−٨‎، ٨)، وله متجه اتجاه عمودي على ﻱ = 〈−٦‎، ٧〉؟ (أ) ﺱ = −٨ − ٦ ﻙ‎، ﺹ = ٨ + ٧ﻙ (ب) ﺱ = −٨ + ٨ﻙ‎، ﺹ = −٦ + ٧ﻙ (ج) ﺱ = −٨ + ٧ﻙ‎، ﺹ = ٨ − ٦ﻙ (د) ﺱ = −٨ + ٧ﻙ‎، ﺹ = ٨ + ٦ﻙ

٠٦:٢٤

‏نسخة الفيديو النصية

حدد أي من الآتي يمثل المعادلتين البارامتريتين للخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ﺃ: سالب ثمانية، ثمانية، وله متجه اتجاه عمودي على ﻱ يساوي المتجه: سالب ستة، سبعة؟ (أ) ﺱ يساوي سالب ثمانية ناقص ستة ﻙ، وﺹ يساوي ثمانية زائد سبعة ﻙ. (ب) ﺱ يساوي سالب ثمانية زائد ثمانية ﻙ، وﺹ يساوي سالب ستة زائد سبعة ﻙ. (ج) ﺱ يساوي سالب ثمانية زائد سبعة ﻙ، وﺹ يساوي ثمانية ناقص ستة ﻙ. (د) ﺱ يساوي سالب ثمانية زائد سبعة ﻙ، وﺹ يساوي ثمانية زائد ستة ﻙ.

في هذا السؤال، مطلوب منا تحديد أي الخيارات الأربعة المعطاة يمثل المعادلتين البارامتريتين لخط مستقيم يمر بنقطة معطاة في اتجاه عمودي على متجه معطى. ولكي نفعل ذلك، دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بالمعادلتين البارامتريتين لخط مستقيم. إنهما معادلتان على الصورة: ﺱ يساوي ﺱ واحد زائد ﺃ في ﻙ، وﺹ يساوي ﺹ واحد زائد ﺏ في ﻙ. يسمى ﻙ في هذه الحالة «البارامتر»، ويمكن أن يأخذ أي قيمة. ونعلم أنه بما أن ﻙ يمكن أن يساوي صفرًا، فإنه يمكننا التعويض بهذا في المعادلة لنلاحظ أن ﺱ واحد، ﺹ واحد، نقطة تقع على الخط المستقيم. وفي الواقع، يمكننا اختيار أي نقطة تقع على الخط المستقيم الذي تقع عليه النقطة: ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وهو ما سيعطينا معادلتين مختلفتين للخط المستقيم.

وبالمثل، يمكننا تذكر أن المتجه ﺃ، ‏ﺏ متجه غير صفري يوازي الخط المستقيم. ومن ثم، لإيجاد المعادلتين البارامتريتين لخط مستقيم، نحتاج إلى نقطة تقع على ذلك المستقيم. ونحتاج أيضًا إلى متجه غير صفري مواز للخط المستقيم. علمنا من معطيات السؤال أن الخط المستقيم يمر بالنقطة التي إحداثياتها: سالب ثمانية، ثمانية. إذن، يمكننا جعل ﺱ واحد يساوي سالب ثمانية، وﺹ واحد يساوي ثمانية. هذا أحد الخيارات الممكنة لنقطة تقع على الخط المستقيم.

إذا نظرنا إلى الخيارات الأربعة المعطاة، يمكننا ملاحظة أن ثلاثة منها تتضمن النقطة نفسها. قيمة ﺱ واحد في هذه المعادلات هي سالب ثمانية، وقيمة ﺹ واحد هي ثمانية. لكن في المعادلة (ب)، يمكننا ملاحظة أمر مثير للاهتمام. قيمة ﺹ واحد تساوي سالب ستة. وعليه، يمكننا استخدام هذه المعلومة لاستبعاد هذا الخيار؛ حيث نعلم أن الخط المستقيم ليس رأسيًّا. ولكي يمر هذا الخط المستقيم بكل من النقطة ﺃ التي إحداثياتها: سالب ثمانية، ثمانية، والنقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد، وهي النقطة: سالب ثمانية، سالب ستة، لا بد من أن يكون الخط المستقيم رأسيًّا، ومن ثم لن يكون عموديًّا على المتجه ﻱ. ولكن لكي نتحقق من ذلك تمامًا، دعونا نوجد متجه اتجاه هذا الخط المستقيم.

علينا فعل ذلك باستخدام حقيقة أن المستقيم لدينا عمودي على المتجه ﻱ. هناك العديد من الطرق المختلفة التي يمكننا بها استخدام هذا المعطى لإيجاد متجه اتجاه الخط المستقيم. على سبيل المثال، لأي متجه ثنائي الأبعاد ﻱ، يمكننا إيجاد متجه عمودي على هذا المتجه بتبديل مركبتيه ثم ضرب إحدى المركبتين اللتين لا تساويان صفرًا في سالب واحد. بتبديل مركبتي المتجه ﻱ، نحصل على المتجه: سبعة، سالب ستة. وعند تبديل إشارة المركبة الرأسية لهذا المتجه، نحصل على المتجه: سبعة، ستة. يمكننا أن نسمي هذا المتجه ﻝ. ولمزيد من التأكد، دعونا نتحقق من أن هذا المتجه عمودي بالفعل على المتجه ﻱ.

يمكننا فعل ذلك بتذكر أن أي متجهين يكونان عموديين عندما يساوي حاصل الضرب القياسي لهما صفرًا. إذن علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي بين المتجهين ﻱ وﻝ. يعني هذا أنه علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجه: سالب ستة، سبعة، والمتجه: سبعة، ستة. ولكي نفعل ذلك، نوجد مجموع حاصل ضرب كل مركبتين متناظرتين. وعليه، نحصل على: سالب ستة في سبعة زائد سبعة في ستة، وهو ما يساوي صفرًا. وبذلك، نكون قد أثبتنا أن هذين المتجهين متعامدان، وهذا يعني أن ﻝ متجه اتجاه للخط المستقيم لدينا. وفي الواقع، أي مضاعف قياسي غير صفري للمتجه ﻝ سيكون متجه اتجاه لهذا الخط المستقيم.

إذن، أحد الخيارات الممكنة لمتجه الاتجاه ﺃ،‏ ﺏ هو أن نجعل ﺃ يساوي سبعة، وﺏ يساوي ستة. ويمكننا ملاحظة أن هذا هو ما لدينا بالضبط في الخيار (د). معامل ﻙ في معادلة المتغير ﺱ يساوي سبعة، ومعامل ﻙ في معادلة المتغير ﺹ يساوي ستة. ولمزيد من التأكد، تجدر الإشارة إلى أنه يمكننا استخدام هذه الحقيقة لاستبعاد جميع الخيارات الثلاثة الأخرى. على سبيل المثال، المتجه: سبعة، سالب ستة، لا يوازي المتجه ﻝ، وهو أيضًا ليس عموديًّا على المتجه ﻱ. يمكننا إثبات ذلك بعدة طرق مختلفة. يمكننا مثلًا إثبات أنه ليس مضاعفًا قياسيًّا للمتجه ﻝ. بدلًا من ذلك، يمكننا حساب حاصل الضرب القياسي له مع المتجه ﻱ، الذي لن يساوي صفرًا. يمكننا أيضًا اتباع الخطوات نفسها لاستبعاد الخيارين (أ) و(ب).

إذن، بالتعويض عن ﺱ واحد بسالب ثمانية، وعن ﺹ واحد بثمانية، وعن ﺃ بسبعة، وعن ﺏ بستة في المعادلتين البارامتريتين لدينا، تمكنا من إثبات أن ﺱ يساوي سالب ثمانية زائد سبعة ﻙ، وﺹ يساوي ثمانية زائد ستة ﻙ، هما المعادلتان البارامتريتان للخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ﺃ، التي إحداثياتها: سالب ثمانية، ثمانية، والذي له متجه اتجاه عمودي على ﻱ يساوي المتجه: سالب ستة، سبعة. هذا ينطبق على الخيار (د).

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.