فيديو السؤال: إيجاد جيب زاوية وجيب تمامها في مثلث قائم الزاوية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد جا ﺟ مضروبًا في جتا ﺟ إذا كان ﺃﺏﺟ مثلثًا قائم الزاوية في ﺏ؛ حيث ﺃﺏ يساوي ثمانية سنتيمترات، وﺃﺟ يساوي ١٧ سنتيمترًا.

للإجابة عن هذا السؤال، سنستعين بمعرفتنا بحساب المثلثات للمثلثات القائمة الزاوية. توضح النسب المثلثية أن جيب الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. وجيب تمام الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. وظل الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. ولتحديد النسبة المثلثية التي علينا استخدامها في السؤال، نتذكر أولًا تعريف كل نسبة، ثم ننظر إلى ما لدينا من معطيات.

في هذا السؤال، تقع الزاوية 𝜃 عند النقطة ﺟ في المثلث لدينا. نحن نعلم أن الوتر في أي مثلث قائم الزاوية هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو الضلع الأطول. في الحالة لدينا، الوتر هو الضلع ﺃﺟ، وطوله يساوي ١٧ سنتيمترًا. وهذا الضلع ﺃﺏ هو الضلع المقابل للزاوية ﺟ، وطوله يساوي ثمانية سنتيمترات. والضلع ﺏﺟ هو الضلع المجاور في المثلث.

لحساب طول هذا الضلع في المثلث، سنستخدم نظرية فيثاغورس التي تنص على أن ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي ﻉ تربيع؛ حيث يمثل ﻉ طول الوتر أو الضلع الأطول في المثلث. في هذا السؤال، ﺏﺟ تربيع زائد ثمانية تربيع يساوي ١٧ تربيع. ثمانية تربيع يساوي ٦٤، و ١٧ تربيع يساوي ٢٨٩. يمكننا بعد ذلك طرح ٦٤ من طرفي هذه المعادلة. ومن ثم، نجد أن ﺏﺟ تربيع يساوي ٢٢٥. وبحساب الجذر التربيعي للطرفين، نجد أن ﺏﺟ يساوي ١٥. بما أن طول الضلع لا بد أن يكون موجبًا، نجد أن ﺏﺟ يساوي ١٥ سنتيمترًا، مع ملاحظة أن هذا المثلث يمثل إحدى ثلاثيات فيثاغورس وهي: ثمانية، ١٥، ١٧.

يمكننا الآن إيجاد قيمتي جا ﺟ وجتا ﺟ. بما أن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، فإن جا ﺟ يساوي ثمانية على ١٧. وبالطريقة نفسها، بما أن جيب تمام الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر، فإن جتا ﺟ يساوي ١٥ على ١٧. لحساب حاصل ضرب كسرين، فإننا نضرب البسطين معًا ثم نضرب المقامين معًا. ثمانية مضروبًا في ١٥ يساوي ١٢٠، و ١٧ مضروبًا في ١٧، أو ١٧ تربيع، يساوي ٢٨٩. إذن، في المثلث القائم الزاوية ﺃﺏﺟ كما هو موضح، جا ﺟ مضروبًا في جتا ﺟ يساوي ١٢٠ على ٢٨٩.