فيديو السؤال: إيجاد قيمة معامل باستخدام الزاوية المحصورة بين خط مستقيم ومستوى الرياضيات

إذا كانت الزاوية المحصورة بين المستوى ٣ﺱ + ﺏﺹ − ٥ﻉ = ٢ والخط المستقيم ﺱ + ٢ = (٣ − ﺹ)‏/‏٢ = (ﻉ − ١)‏/‏٢ قياسها ٤٥°، فأوجد قيمة الثابت الموجب ﺏ؛ علمًا بأن ٠ < ﺏ < ١٠.

٠٩:٢٣

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت الزاوية المحصورة بين المستوى ثلاثة ﺱ زائد ﺏﺹ ناقص خمسة ﻉ يساوي اثنين، والخط المستقيم ﺱ زائد اثنين يساوي ثلاثة ناقص ﺹ على اثنين يساوي ﻉ ناقص واحد على اثنين قياسها ٤٥ درجة، فأوجد قيمة الثابت الموجب ﺏ؛ علمًا بأن ﺏ أكبر من صفر وأقل من ١٠.

في هذا السؤال، لدينا معادلة مستوى ومعادلة خط مستقيم. وتتضمن معادلة المستوى قيمة مجهولة وهي ﺏ. وعلينا إيجاد قيمة ﺏ باستخدام حقيقة أنه ثابت موجب أقل من ١٠، وأن قياس الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمستوى يساوي ٤٥ درجة. ولإيجاد قيمة ﺏ هذه، لنبدأ بتذكر كيفية إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين خط مستقيم ومستوى. نعلم أنه إذا كان المتجه ﻥ واحد متجه اتجاه الخط المستقيم ﻝ، والمتجه ﻥ اثنين متجهًا عموديًّا على المستوى ﻡ، فإن الزاوية الحادة 𝜃 المحصورة بين الخط المستقيم والمستوى تحقق المعادلة: جا 𝜃 يساوي القيمة المطلقة لحاصل الضرب القياسي لـ ﻥ اثنين وﻥ واحد مقسومًا على معيار المتجه ﻥ اثنين مضروبًا في معيار المتجه ﻥ واحد.

وهناك أمر بسيط تجدر الإشارة إليه. بما أننا نحسب حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻥ اثنين وﻥ واحد، فعلينا الانتباه إلى أنهما في الفضاء الثلاثي الأبعاد لكل من الخط المستقيم والمستوى. ولقد علمنا من السؤال أن قياس الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم المعطى والمستوى يساوي ٤٥ درجة، أي أن قيمة 𝜃 تساوي ٤٥. ويمكننا إيجاد المتجهين ﻥ واحد وﻥ اثنين بالنظر إلى معادلتي الخط المستقيم والمستوى. لنبدأ بإيجاد متجه اتجاه الخط المستقيم. لإيجاد متجه اتجاه هذا الخط المستقيم، نتذكر أن الخط المستقيم على الصورة ﺱ ناقص ﺱ واحد على ﺃ يساوي ﺹ ناقص ﺹ واحد على ﺏ يساوي ﻉ ناقص ﻉ واحد على ﺟ سيكون له متجه الاتجاه ﺃ، ﺏ، ﺟ. والخط المستقيم لدينا معطى تقريبًا على هذه الصورة. وما علينا إلا إجراء بعض التغييرات الطفيفة.

أولًا، في أقصى يمين هذه المعادلة، سوف نقسم على واحد. ثم إننا لا نجد ﺹ في بسط الجزء الأوسط من هذه المعادلة، بل لدينا سالب ﺹ. إذن، علينا ضرب البسط والمقام في سالب واحد. وإذا وزعنا القوسين، فسوف تصبح المعادلة على الصورة المطلوبة، ومن ثم يمكننا إيجاد متجه اتجاه هذا الخط المستقيم. وعليه متجه الاتجاه ﻥ واحد هو المتجه واحد، سالب اثنين، اثنان.

والآن هيا نوجد المتجه العمودي على المستوى. ويمكننا فعل ذلك بتذكر أن المستوى ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ يساوي ﺩ سيكون له متجه عمودي وهو ﺃ، ﺏ، ﺟ. بعبارة أخرى، مركبات المتجه العمودي على المستوى هي معاملات المتغيرات، وهي المتجه ثلاثة، ﺏ، سالب خمسة. ويمكننا الآن التعويض بقيمة 𝜃 والمتجهين ﻥ اثنين وﻥ واحد في المعادلة لدينا. لكن من الأسهل إيجاد قيمة كل من بسط الطرف الأيسر ومقامه على حدة.

لنبدأ إذن بإفراغ بعض المساحة ثم حساب حاصل الضرب القياسي بين المتجهين ﻥ اثنين وﻥ واحد. يمكننا فعل ذلك بتذكر أنه لإيجاد قيمة حاصل الضرب القياسي لمتجهين لهما نفس الأبعاد، فما علينا إلا حساب مجموع حواصل ضرب المركبات المتناظرة للمتجهين. وبتطبيق ذلك، نحصل على واحد في ثلاثة زائد سالب اثنين مضروبًا في ﺏ زائد اثنين في سالب خمسة، وهو ما إذا حسبنا قيمته نحصل على سالب اثنين ﺏ ناقص سبعة.

والآن هيا نوجد معياري المتجهين. لنبدأ بمعيار المتجه ﻥ اثنين. ويمكننا إيجاده بتذكر أن معيار المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته. ومن ثم نحصل على الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد ﺏ تربيع زائد سالب خمسة تربيع، وإذا حسبنا قيمة ذلك، نحصل على الجذر التربيعي لـ ٣٤ زائد ﺏ تربيع. ويمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد معيار المتجه ﻥ واحد. وهو يساوي الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد سالب اثنين تربيع زائد اثنين تربيع، وهو ما يمكننا حساب قيمته لنحصل على الجذر التربيعي لتسعة، وهو ما يساوي ثلاثة.

والآن، هيا نفرغ بعض المساحة ونعوض بكل هذه المعلومات في المعادلة التي تتضمن الزاوية الحادة المحصورة بين الخط المستقيم والمستوى. وبناء عليه نحصل على أن جا ٤٥ درجة يجب أن يساوي القيمة المطلقة لسالب اثنين ﺏ ناقص سبعة مقسومًا على ثلاثة في الجذر التربيعي لـ ٣٤ زائد ﺏ تربيع. والآن، نود حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺏ. يمكننا فعل ذلك بأن نلاحظ أولًا أن قيمة جا ٤٥ درجة تساوي جذر اثنين على اثنين. كما يمكننا أيضًا ضرب كلا طرفي المعادلة في ثلاثة جذر ٣٤ زائد ﺏ تربيع. وهذا يعطينا جذر اثنين على اثنين مضروبًا في ثلاثة في الجذر التربيعي لـ ٣٤ زائد ﺏ تربيع يساوي القيمة المطلقة لسالب اثنين ﺏ ناقص سبعة.

وتذكر أننا نعلم من السؤال أن قيمة ﺏ موجبة. إذن، سالب اثنين مضروبًا في ﺏ هو سالب مضروبًا في موجب. فهو عدد سالب. ثم نطرح سبعة، إذن يكون العدد سالبًا. وعندما نحسب القيمة المطلقة لعدد سالب، فإننا نضربه في سالب واحد. ومن ثم، يمكن تبسيط الطرف الأيسر من هذه المعادلة ليصبح لدينا اثنان ﺏ زائد سبعة.

ويمكننا تبسيط الطرف الأيمن من هذه المعادلة. لدينا جذر اثنين مضروبًا في جذر ٣٤ زائد ﺏ تربيع. يمكننا تبسيط ذلك إلى الجذر التربيعي لاثنين في ٣٤ زائد ﺏ تربيع. وهذا يعطينا الجذر التربيعي لـ ٦٨ زائد اثنين ﺏ تربيع. وعلينا ضرب ذلك في ثلاثة على اثنين. لكننا سنضربه في ثلاثة فقط، ثم نضرب كلا طرفي المعادلة في اثنين. وهذا يعطينا ثلاثة جذر ٦٨ زائد اثنين ﺏ تربيع يساوي اثنين في اثنين ﺏ زائد سبعة. ويمكننا توزيع اثنين على القوسين في الطرف الأيسر من المعادلة لدينا. وهذا يعطينا أربعة ﺏ زائد ١٤.

والآن، لحل المعادلة التي لدينا لإيجاد قيمة ﺏ، علينا تربيع كلا طرفي المعادلة. في الطرف الأيمن، ثلاثة تربيع يساوي تسعة. ولكي نحصل على مربع الجذر التربيعي، يمكننا فقط حذف علامة الجذر. وبذلك نحصل على تسعة في ٦٨ زائد اثنين ﺏ تربيع. وفي الطرف الأيسر من هذه المعادلة، لدينا مربع ذو حدين. ويمكننا حل ذلك باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني، أو طريقة مفكوك ذوات الحدين. وفي كلتا الحالتين، نحصل على ١٦ﺏ تربيع زائد ١١٢ﺏ زائد ١٩٦.

والآن، سنوزع تسعة على القوسين ثم نعيد ترتيب الحدود للحصول على معادلة تربيعية بدلالة ﺏ. وبفعل ذلك، نحصل على اثنين ﺏ تربيع ناقص ١١٢ﺏ زائد ٤١٦ يساوي صفرًا. ويمكننا تبسيط ذلك قليلًا بملاحظة اشتراك الحدود الثلاثة في العامل اثنين. ومن ثم، يمكننا قسمة المعادلة على اثنين لنحصل على ﺏ تربيع ناقص ٥٦ﺏ زائد ٢٠٨ يساوي صفرًا. يمكننا بعد ذلك الحل باستخدام القانون العام، أو يمكننا البحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي ٢٠٨ ومجموعهما يساوي سالب ٥٦.

باستخدام أي من الطريقتين، يمكننا الحصول على حلين. فقيمة ﺏ إما أن تساوي أربعة أو تساوي ٥٢. لكننا نعلم من السؤال أن قيمة ﺏ موجبة وأقل من ١٠. ومن ثم، فإن إحدى هاتين القيمتين فقط هي القيمة الصحيحة لـ ﺏ. وبذلك، نكون قد أوضحنا وجود قيمة واحدة ممكنة فقط للثابت الموجب ﺏ بين صفر و١٠. وهذه القيمة لـ ﺏ هي أربعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.