نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل دائرة منطقية تتكون من ثلاث بوابات اختيار. ما عدد التجميعات الممكنة المختلفة لقيم الدخل لهذه الدائرة؟
يمكننا ملاحظة أن لدينا هنا شكلًا يوضح دائرة منطقية تحتوي على ثلاث بوابات اختيار. تحتوي الدائرة على أربعة دخول يرمز إليها بالرموز 𝐴 و𝐵 و𝐶 و𝐷. الدخلان 𝐴 و𝐵 هما دخلا بوابة الاختيار العلوية في الطرف الأيسر، والدخلان 𝐶 و𝐷 هما دخلا بوابة الاختيار السفلية في نفس الطرف. خرجا بوابتي الاختيار في الطرف الأيسر يصبحان دخلي بوابة الاختيار الثالثة في الطرف الأيمن لهذه الدائرة. وأخيرًا، خرج بوابة الاختيار في الطرف الأيمن هو الخرج النهائي لهذه الدائرة المنطقية.
كما يتضح في هذا السؤال، لا تعنينا قيمة الخرج هذه على الإطلاق. وإنما يدور السؤال حول هذه الدخول الأربعة. وتحديدًا، مطلوب منا إيجاد عدد التجميعات الممكنة المختلفة لقيم الدخل. للإجابة عن هذا السؤال، علينا تذكر أنه عندما نتحدث عن دائرة منطقية، لا يوجد سوى قيمتين محتملتين، وهما صفر وواحد. هذا يعني أن قيمة كل دخل من دخول هذه الدائرة يمكن أن تكون صفرًا أو واحدًا.
إذن، يمكن أن تكون قيمة الدخل 𝐴 صفرًا أو واحدًا. وبشكل مستقل تمامًا عن قيمة الدخل 𝐴، يمكن أن تكون قيمة الدخل 𝐵 صفرًا أو واحدًا. ونؤكد مجددًا أنه على نحو مستقل تمامًا عن قيمة الدخلين الآخرين، يمكن أن تكون قيمة الدخل 𝐶 صفرًا أو واحدًا، وقيمة الدخل 𝐷 صفرًا أو واحدًا. إذن، لدينا أربعة دخول مختلفة، وقيمتان محتملتان لكل دخل من هذه الدخول.
نريد إيجاد عدد التجميعات الممكنة المختلفة لقيم الدخل الأربعة. حسنًا، ثمة طريقتان مختلفتان لمعرفة ذلك. إحداهما هي كتابة كل التجميعات المختلفة بصورة واضحة ومنهجية ثم عدها. ولكن هذه الطريقة تستغرق وقتًا طويلًا، فضلًا عن احتمالية إغفال إحدى التجميعات عن طريق الخطأ. وإذا حدث ذلك، فسنحصل على إجابة خاطئة.
لحسن الحظ، ثمة طريقة أفضل يمكننا استخدامها. نعرف أن لدينا أربعة دخول مختلفة، ولكل منها قيمتان محتملتان. كل هذه الدخول مستقلة تمامًا، ما يعني أنه، على سبيل المثال، إذا كانت قيمة الدخل 𝐴 تساوي صفرًا أو واحدًا، فإن قيمته لن تؤثر على القيم المحتملة للدخول 𝐵 و𝐶 و𝐷. فيمكن لكل دخل منها أن يساوي صفرًا أو واحدًا، بشكل مستقل عن غيره. والعدد الإجمالي للتجميعات الممكنة المختلفة يجب أن يساوي احتمالي الدخل 𝐴 مضروبين في احتمالي الدخل 𝐵 مضروبين في احتمالي الدخل 𝐶 وأخيرًا مضروبين في احتمالي الدخل 𝐷. إذن، العدد الإجمالي للتجميعات يساوي اثنين في اثنين في اثنين في اثنين. وهذا يساوي معاملًا قيمته اثنان لكل قيمة من الدخول الأربعة في الدائرة المنطقية.
والآن، يمكننا المتابعة ببساطة وإيجاد قيمة هذا المقدار. ولكن يمكننا أولًا الحصول على مزيد من المعلومات حول المسألة من خلال ملاحظة أنه يمكننا إعادة كتابة ناتج هذه المعاملات الأربعة، التي قيمة كل منها اثنان، في صورة اثنين أس أربعة. والآن، إذا نظرنا إلى هذا المقدار لعدد التجميعات المختلفة، فسنجد أن العدد اثنين هو عدد القيم المختلفة الذي يمكن أن يساويه كل دخل؛ فكل دخل من هذه الدخول يمكن أن يساوي صفرًا أو واحدًا. وسنجد أيضًا أن العدد أربعة، وهو الأس الذي نرفع إليه العدد اثنين، هو عدد الدخول؛ لأن لدينا أربعة دخول وهي 𝐴 و𝐵 و𝐶 و𝐷.
في الواقع، وكمعلومة إضافية، يمكن تعميم هذا الناتج الذي أوجدناه. فبدلًا من أربعة دخول، إذا كانت لدينا دائرة منطقية بها عدد عام من الدخول نرمز لها بالرمز 𝑁، فإن عدد التجميعات الممكنة المختلفة لقيم هذه الدخول سيساوي اثنين أس 𝑁. هذا لأن قيمة كل من الدخول التي عددها 𝑁 يمكن أن يساوي إحدى القيمتين صفر أو واحد. إذن، مثلما وجدنا في حالة الدخول الأربعة أن عدد التجميعات الممكنة المختلفة يساوي اثنين في اثنين في اثنين في اثنين، أي أربعة معاملات للعدد اثنين، وهذا يعطينا اثنين أس أربعة، ففي حالة العدد 𝑁 من الدخول، سنحصل في النهاية على 𝑁 من المعاملات للعدد اثنين، وهو ما يمكننا كتابته على صورة اثنين أس 𝑁.
بالعودة إلى السؤال، نعلم أنه في الحالة التي لدينا، وهي أربعة دخول، فإن عدد التجميعات يساوي اثنين أس أربعة. وبحساب قيمة ذلك، نحصل على الإجابة النهائية، وهي أن عدد التجميعات الممكنة المختلفة لقيم الدخل لهذه الدائرة يساوي 16.
