فيديو الدرس: إشارة الدالة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد إشارة الدالة من خلال معادلتها أو تمثيلها البياني. سنبدأ بتعريف ما نعنيه بإشارة الدالة. الدالة يمكن أن تكون إشارتها موجبة أو سالبة أو تساوي صفرًا. إذا كانت إشارة الدالة موجبة، تكون أكبر من صفر، أما إذا كانت إشارتها سالبة، تكون أصغر من صفر. بعض الدوال قد تتضمن أكثر من حالة واحدة مما سبق. قد تكون موجبة وسالبة ومساوية للصفر في فتراتها المختلفة. لننظر إلى بعض الأنواع المختلفة من التمثيلات البيانية.

نبدأ بثلاثة تمثيلات بيانية خطية أو على شكل خط مستقيم. التمثيل البياني الأول هو مستقيم أفقي على الصورة ﺹ يساوي ثابتًا نرمز له بـ ﺃ. بما أن المستقيم يقع أسفل المحور ﺱ، فإشارة هذه الدالة تكون سالبة دائمًا. التمثيل البياني الثاني لدينا هو مستقيم رأسي، وهذه المرة يكون على الصورة ﺱ يساوي ثابتًا نرمز له بـ ﺃ. هذه الدالة ستساوي صفرًا عند النقطة التي يقطع عندها المستقيم المحور ﺱ. وستكون إشارتها سالبة لجميع النقاط الموجودة أسفل هذا المحور، وموجبة لجميع النقاط أعلاه. الدالة الخطية الثالثة لدينا على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ؛ حيث ﻡ هو الميل أو الانحدار، وﺏ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ. مرة أخرى، هذه الدالة سيكون لها قيمة واحدة تساوي عندها صفرًا. وسيكون لهذه الدالة أيضًا جزء موجب وجزء سالب. الجزء الموجود أعلى المحور ﺱ يكون موجبًا، والجزء الموجود أسفله يكون سالبًا. يمكننا حساب القيمة التي تساوي عندها الدالة صفرًا بأن نجعل ﺹ يساوي صفرًا. ويمكننا بعد ذلك حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ.

لنتناول الآن ما يحدث عندما يكون لدينا دالة تربيعية أو تكعيبية. الدالة التربيعية، التي تكون على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، تكون إما على شكل حرف U أو على شكل حرف N حسب إشارة المعامل الرئيسي ﺃ. يمكننا مرة أخرى حساب القيمتين اللتين تكون عندهما الدالة تساوي صفرًا بأن نجعل ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا. في هذا الشكل، ستكون إشارة الدالة موجبة على يمين أحد الحلين وعلى يسار الحل الآخر. وستكون إشارة الدالة سالبة بين القيمتين. على الرغم من أن ذلك لا ينطبق على جميع الدوال التربيعية، فإن هذه الدالة إشارتها موجبة وسالبة وتساوي صفرًا عند قيم مختلفة.

ينطبق الأمر نفسه على الدالة التكعيبية الموضحة. فهي تساوي صفرًا عند ثلاث نقاط على التمثيل البياني. وهي موجبة بين الحلين الأولين، وعندما تكون أكبر من الحل الثالث. وتكون الدالة سالبة عندما تكون أصغر من الحل الأول أو بين الحلين الثاني والثالث. في هذا الفيديو، سنركز على الأسئلة التي تتضمن دوال ثابتة ودوال خطية ودوال تربيعية.

في أي الفترات التالية تكون الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي سالب ثمانية سالبة؟ (أ) الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى ثمانية. (ب) الفترة المفتوحة من سالب ثمانية إلى ∞. (ج) الفترة المفتوحة من سالب ثمانية إلى ثمانية. (د) الفترة المفتوحة من ثمانية إلى ∞. (هـ) الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى ∞.

لنبدأ بتناول الشكل الذي تبدو عليه الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي سالب ثمانية. إذا نظرنا إلى محوري الإحداثيات، فالمحور الأفقي هو المحور ﺱ والمحور الرأسي هو المحور ﺹ. يمكن أن نعوض عن المحور ﺹ بـ ﺩ(ﺱ) في هذه الحالة. أخبرنا السؤال أن ﺩ(ﺱ) يساوي سالب ثمانية. لذا علينا أن نوجد سالب ثمانية على المحور ﺹ أو المحور ﺩ(ﺱ). الدالة التي لدينا هي مستقيم أفقي يمر بهذه النقطة. يمتد هذا المستقيم يمينًا ويسارًا إلى ما لا نهاية. بما أن المستقيم يقع بالكامل أسفل المحور ﺱ، فستظل إشارته سالبة دائمًا. وبما أن ﺩ(ﺱ) تساوي سالب ثمانية دائمًا سالبة، فإن الإجابة الصحيحة هي الخيار (هـ) الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى ∞. إذا كانت أي دالة تساوي ثابتًا، فستكون لها إشارة واحدة فقط دائمًا. في هذه الحالة، إشارة الدالة سالبة دائمًا.

في السؤال التالي، سنلقي نظرة على دالة على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ.

عين إشارة الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي سالب خمسة ﺱ زائد خمسة.

نعلم أن هذه الدالة خطية لأنها على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ؛ حيث ﻡ هو الميل أو الانحدار، وﺏ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ. في هذا السؤال، ميل الدالة يساوي سالب خمسة والجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي خمسة. وبما أن ميل الدالة سالب، يتجه التمثيل البياني لأسفل نحو اليمين. لتحديد إشارة الدالة، علينا إيجاد الموضع الذي يكون فيه التمثيل البياني موجبًا وسالبًا وأيضًا مساويًا للصفر. يمكننا أن نرى أن التمثيل البياني يقطع المحور ﺱ عند نقطة واحدة. هذه هي النقطة التي تكون عندها الدالة مساوية لصفر. وعندما يكون التمثيل البياني أعلى المحور ﺱ، فإن إشارة الدالة تكون موجبة، وعندما يكون أسفل المحور ﺱ، تكون سالبة.

لحساب قيمة النقطة التي تكون عندها الدالة مساوية لصفر، سنساوي ﺩ(ﺱ) بصفر. بإضافة خمسة ﺱ إلى كلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على خمسة ﺱ يساوي خمسة. يمكننا بعد ذلك قسمة طرفي هذه المعادلة على خمسة، ما يعطينا ﺱ يساوي واحدًا. وعليه، فإن الدالة تكون موجبة لجميع قيم ﺱ الأصغر من واحد. وتكون الدالة سالبة أو أسفل المحور ﺱ لجميع قيم ﺱ الأكبر من واحد. يمكننا إذن استنتاج ما يلي. تكون الدالة موجبة عند ﺱ أصغر من واحد، وتكون الدالة سالبة عند ﺱ أكبر من واحد، وأخيرًا تكون الدالة مساوية للصفر عند ﺱ يساوي واحدًا. إذن الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي سالب خمسة ﺱ زائد خمسة هي دالة موجبة وسالبة ومساوية للصفر عند قيم ﺱ المختلفة.

في السؤال التالي، سنتناول دالة تربيعية.

حدد إشارة الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ زائد ١٦.

هذه الدالة تربيعية، وبما أن معامل ﺱ تربيع موجب، فستكون على شكل حرف U. لكي نحدد إشارة أي دالة، علينا إيجاد القيم التي تكون عندها الدالة ﺩ(ﺱ) موجبة وسالبة وأيضًا مساوية للصفر. يمكننا البدء بحساب أصفار الدالة بأن نجعل الدالة ﺩ(ﺱ) مساوية للصفر. هذا يعطينا ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ زائد ١٦ يساوي صفرًا. يمكن تحليل الدالة التربيعية إلى زوجين من الأقواس. الحد الأول في كل قوس سيكون ﺱ؛ لأن ﺱ مضروبًا في ﺱ يساوي ﺱ تربيع. والحدان الثانيان في القوسين يجب أن يكون حاصل ضربهما ١٦، ومجموعهما ١٠. ثمانية مضروبًا في اثنين يساوي ١٦، وثمانية زائد اثنين يساوي ١٠. إذن ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ زائد ١٦ بعد التحليل يساوي ﺱ زائد ثمانية مضروبًا في ﺱ زائد اثنين.

وبما أن حاصل ضرب هذين القوسين هو صفر، فلا بد أن أحد هذين القوسين في حد ذاته يساوي صفرًا أيضًا. فإما أن ﺱ زائد ثمانية يساوي صفرًا، أو ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا. بطرح ثمانية من كلا طرفي المعادلة الأولى، نحصل على ﺱ يساوي سالب ثمانية. وبطرح اثنين من كلا طرفي المعادلة الثانية، نحصل على ﺱ يساوي سالب اثنين. هذا يعني أن الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ زائد ١٦ تساوي صفرًا عندما يكون ﺱ مساويًا لسالب ثمانية، أو عندما يكون ﺱ مساويًا لسالب اثنين.

يجدر بنا الآن رسم المنحنى ﺹ يساوي ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ زائد ١٦. نعلم أن المنحنى يتخذ شكل الحرف U ويقطع المحور ﺱ عند ﺱ يساوي سالب ثمانية، وعند ﺱ يساوي سالب اثنين. ونعلم كذلك أنه يقطع المحور ﺹ عند ﺹ يساوي ١٦. تكون الدالة سالبة عندما تكون أسفل المحور ﺱ. ويحدث ذلك بين القيمتين سالب ثمانية وسالب اثنين. يمكننا كتابة ذلك على صورة متباينة كما يلي. تكون الدالة سالبة عندما يكون ﺱ أكبر من سالب ثمانية، لكنه أصغر من سالب اثنين. وتكون قيم المنحنى موجبة عندما يقع أعلى المحور ﺱ. وهذا يحدث عندما يكون ﺱ أصغر من سالب ثمانية، أو عندما يكون ﺱ أكبر من سالب اثنين. يمكننا الآن كتابة جميع هذه المعلومات باستخدام رموز الفترة والمجموعة.

الدالة ﺩ(ﺱ) موجبة لجميع القيم الحقيقية ما عدا تلك الموجودة على الفترة المغلقة من سالب ثمانية إلى سالب اثنين. هذا يعني أن إشارة الدالة تكون موجبة لجميع القيم ما عدا عند سالب ثمانية وسالب اثنين وكل القيم الواقعة بينهما. والدالة تكون سالبة عندما يقع ﺱ على الفترة المفتوحة سالب ثمانية، سالب اثنين. وهذا يعني أن إشارتها تكون سالبة عند جميع القيم الواقعة بين سالب ثمانية وسالب اثنين ما عدا هاتين القيمتين. والدالة تساوي صفرًا عندما ينتمي ﺱ لمجموعة الأعداد سالب ثمانية، سالب اثنين. هذا يعني أنها لا تساوي صفرًا إلا عند القيمتين ﺱ يساوي سالب ثمانية، وﺱ يساوي سالب اثنين. نلاحظ إذن أن الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ زائد ١٦ إشارتها موجبة وسالبة ومساوية للصفر لقيم ﺱ المختلفة.

في السؤال الأخير، سنتناول دالتين مختلفتين.

ما قيم ﺱ التي تكون عندها الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي ﺱ ناقص خمسة، والدالة ﺭ(ﺱ) تساوي ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ٤٨ موجبتين؟

لنبدأ بتناول الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي ﺱ ناقص خمسة. إذا كنا نريد أن تكون قيمة هذه الدالة موجبة، فلا بد أن تكون ﺩ(ﺱ) أكبر من الصفر. وهذا يعطينا ﺱ ناقص خمسة أكبر من صفر. بإضافة خمسة إلى كلا طرفي هذه المتباينة، نحصل على ﺱ أكبر من خمسة. وعليه، فإن ﺩ(ﺱ) تكون موجبة على الفترة المفتوحة من خمسة إلى ∞. فهي دالة موجبة لأي قيمة أكبر من خمسة. نكرر هذه العملية الآن مع ﺭ(ﺱ). ذلك يعطينا ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ٤٨ أكبر من صفر. لحل أي متباينة تربيعية على هذه الصورة، علينا أولًا إيجاد الأصفار بأن نساوي الدالة بصفر. إذن، ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ٤٨ يساوي صفرًا.

يمكن تحليل ذلك إلى زوجين من الأقواس. الحد الأول في كل قوس هو ﺱ. والحدان الثانيان يجب أن يكون حاصل ضربهما سالب ٤٨، ومجموعهما اثنين. ستة مضروبًا في ثمانية يساوي ٤٨. هذا يعني أن سالب ستة مضروبًا في ثمانية يساوي سالب ٤٨. وسالب ستة زائد ثمانية يساوي اثنين. إذن القوسان هما ﺱ ناقص ستة، وﺱ زائد ثمانية. وبما أن حاصل ضرب هذين الحدين يساوي صفرًا، فإما أن ﺱ ناقص ستة يساوي صفرًا أو أن ﺱ زائد ثمانية يساوي صفرًا. بإضافة ستة إلى كلا طرفي المعادلة الأولى، نحصل على ﺱ يساوي ستة. وبطرح ثمانية من كلا طرفي المعادلة الثانية، نحصل على ﺱ يساوي سالب ثمانية. هذا يعني أن الدالة ﺭ(ﺱ) تساوي صفرًا عندما يكون ﺱ مساويًا لستة، وعندما يكون ﺱ مساويًا لسالب ثمانية.

وبما أن الدالة التي لدينا تربيعية ومعامل ﺱ تربيع موجب، فسيكون المنحنى على شكل حرف U. هذا يعني أنها ستكون موجبة في جزأين، وهما عندما يكون ﺱ أكبر من ستة، وعندما يكون ﺱ أصغر من سالب ثمانية. إذن حل المتباينة ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ٤٨ أكبر من صفر هو ﺱ أصغر من سالب ثمانية أو ﺱ أكبر من ستة. ويمكن أيضًا كتابة ذلك باستخدام رمز الفترة كما يلي. ‏‏ﺭ(ﺱ) تكون موجبة على الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى سالب ثمانية، أو على الفترة المفتوحة من ستة إلى ∞.

لكننا نريد إيجاد قيم ﺱ التي تكون عندها كلتا الدالتين موجبة. لنستعن بخط أعداد موضح عليه القيم الأساسية خمسة، وسالب ثمانية، وستة. نعلم أن ﺩ(ﺱ) موجبة عند جميع القيم الأكبر من خمسة. وﺭ(ﺱ) موجبة عند جميع القيم الأصغر من سالب ثمانية والأكبر من ستة. هذا يعني أن كلتا الدالتين موجبة عندما يكون ﺱ أكبر من ستة. ويمكن أيضًا كتابة ذلك باستخدام رمز الفترة على صورة الفترة المفتوحة من ستة إلى ∞.

سنلخص الآن النقاط الأساسية المستخلصة من هذا الفيديو. الدالة الثابتة التي تكون على الصورة ﺩ(ﺱ) يساوي ﺃ تكون إما موجبة أو سالبة أو مساوية للصفر. فإذا كانت قيمة ﺃ موجبة، تكون الدالة موجبة. وإذا كانت قيمة ﺃ سالبة، تكون الدالة سالبة. وإذا كان ﺃ يساوي صفرًا، فإن الدالة تساوي صفرًا. الدالة الخطية التي تكون على الصورة ﺩ(ﺱ) يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ تكون موجبة وسالبة ومساوية للصفر عند قيم ﺱ المختلفة. ويمكننا إيجاد القيمة التي تكون عندها الدالة مساوية للصفر بأن نساوي ﺩ(ﺱ) بالصفر. من المفيد بعد ذلك رسم منحنى الدالة لتحديد النقاط التي تكون عندها الدالة سالبة وموجبة.

الدالة التربيعية التي تكون على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ عادة ما تكون موجبة وسالبة ومساوية للصفر عند قيم ﺱ المختلفة. ولإيجاد القيم التي تكون عندها الدالة مساوية للصفر، فإننا مرة أخرى نساوي الدالة بالصفر، ثم نحلل المعادلة لحساب القيم. بمجرد حساب هذه القيم، يمكننا رسم منحنى الدالة لإيجاد النقاط التي تكون عندها الدالة موجبة وسالبة. ومن الممكن ألا يكون للدالة أي قيم تساوي عندها صفرًا، وإن لم نر أي سؤال من هذا القبيل في الفيديو. وفي هذه الحالة، تكون الدالة موجبة دائمًا أو سالبة دائمًا، كما هو موضح في الشكلين.

لكن في معظم الأسئلة التي نراها، يكون هناك حلول تساوي عندها ﺩ(ﺱ) صفرًا. وإذا لم نتمكن من تحليل الدالة، فسيظل بإمكاننا حلها باستخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية. رأينا أيضًا أنه يمكن الإجابة عن هذا النوع من الأسئلة باستخدام علامات المتباينة أو رموز الفترة.