فيديو السؤال: حساب الاحتمالات من التوزيع الطبيعي في سياق معين الرياضيات

الرواتب الشهرية للعاملين في أحد المصانع موزعة طبيعيًّا بمتوسط ٢١٠ جنيهات إسترلينية وانحراف معياري مقداره ١٠ جنيهات إسترلينية. أوجد احتمال الاختيار العشوائي لعامل راتبه يتراوح بين ١٨٤ و٢٣٣ جنيهًا إسترلينيًّا.

٠٥:٣٢

‏نسخة الفيديو النصية

الرواتب الشهرية للعاملين في أحد المصانع موزعة طبيعيًّا بمتوسط ٢١٠ جنيهات إسترلينية وانحراف معياري مقداره ١٠ جنيهات إسترلينية. أوجد احتمال الاختيار العشوائي لعامل راتبه يتراوح بين ١٨٤ و٢٣٣ جنيهًا إسترلينيًّا.

تخبرنا المسألة أن مجموعة البيانات تتبع توزيعًا طبيعيًّا. ولها متوسط 𝜇 يساوي ٢١٠ جنيهات، وانحراف معياري 𝜎 يساوي ١٠ جنيهات. نريد إيجاد احتمال اختيار عامل راتبه يتراوح بين ١٨٤ و٢٣٣ جنيهًا. هيا نختر ﺱ ليمثل راتب العامل. نحن نحاول إيجاد احتمال أن يكون ﺱ أكبر من ١٨٤ وأصغر من ٢٣٣. ولفعل ذلك، سيتعين علينا إيجاد قيمتي ﺹ اللتين تناظران ١٨٤ و٢٣٣.

سنستخدم الصيغة: ﺱ ناقص 𝜇 على 𝜎. وما يفعله هذا هو تحويل قيم البيانات لتتبع توزيعًا طبيعيًّا معياريًّا. كما يتيح لنا قراءة الاحتمال من جدول التوزيع الطبيعي المعياري، بمتوسط مقداره صفر وانحراف معياري مقداره واحد. إذا عوضنا عن ﺱ بـ ١٨٤ في هذه الصيغة، فسنحصل على القيمة ﺹ التي تساوي ١٨٤ ناقص المتوسط؛ أي ٢١٠، الكل على الانحراف المعياري ١٠. وهذا يساوي سالب ٢٫٦. أما القيمة ﺱ التي تساوي ٢٣٣، فتصبح ٢٣٣ ناقص ٢١٠، مرة أخرى على ١٠، وهو ما يساوي ٢٫٣.

إذن، يمكننا القول إن الاحتمال الذي يعنينا يمكن إيجاده عن طريق إيجاد احتمال أن يكون ﺹ أكبر من سالب ٢٫٦ وأصغر من ٢٫٣. وعند هذه المرحلة، دعونا ننظر إلى شكل المنحنى الناتج عن البيانات التي تتبع توزيعًا طبيعيًّا. إنه شكل الجرس هذا. وهو متماثل تمامًا حول المتوسط، والمساحة أسفل المنحنى تساوي واحدًا.

علينا إيجاد المساحة المظللة. وبما أن الاحتمالات تراكمية، يمكننا القول إنه يمكننا إيجاد ذلك بطرح احتمال أن يكون ﺹ أقل من سالب ٢٫٦؛ أي هذه القيمة، من احتمال أن يكون ﺹ أقل من ٢٫٣. والآن يمكننا إيجاد احتمال أن يكون ﺹ أقل من ٢٫٣ عن طريق البحث عن ٢٫٣ في جدول التوزيع الطبيعي المعياري. إنه يساوي ٠٫٩٨٩٣. لكن إيجاد احتمال أن يكون ﺹ أصغر من سالب ٢٫٦ أصعب قليلًا؛ لأنه لا توجد قيم سالبة في الجدول.

وهنا تظهر أهمية تماثل المنحنى. يمكننا أن نلاحظ أنه بما أن المنحنى متماثل حول المتوسط، فإن احتمال أن يكون ﺹ أصغر من سالب ٢٫٦ هو نفسه احتمال أن يكون ﺹ أكبر من ٢٫٦. لكن مرة أخرى، لا يمكننا إيجاد هذا الاحتمال بالبحث عن ٢٫٦ في الجدول. سوف يخبرنا الجدول عن احتمال أن يكون ﺹ أصغر من ٢٫٦.

لذا، بدلًا من ذلك، نستخدم حقيقة أن المساحة أسفل المنحنى تساوي واحدًا. ويمكننا ملاحظة أنه يمكن إيجاد هذه المنطقة المظللة بطرح احتمال أن يكون ﺹ أقل من ٢٫٦ من واحد. إذا بحثنا عن القيمة ﺹ التي تساوي ٢٫٦ في هذا الجدول، فسنحصل على ٠٫٩٩٥٣. وواحد ناقص ٠٫٩٩٥٣ يساوي ٠٫٠٠٤٧.

إذن، احتمال أن يكون ﺹ أكبر من ٢٫٦، واحتمال أن يكون ﺹ أصغر من سالب ٢٫٦ يساوي ٠٫٠٠٤٧. ‏٠٫٩٨٩٣ ناقص ٠٫٠٠٤٧ يساوي ٠٫٩٨٤٦. وعليه فإن احتمال الاختيار العشوائي لعامل راتبه يتراوح بين ١٨٤ و٢٣٣ جنيهًا يساوي ٠٫٩٨٤٦.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.