فيديو السؤال: حل المعادلات التربيعية بالتحليل الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص ١٩ يساوي سالب ١٥ﺱ في مجموعة الأعداد الحقيقية.

مجموعة الحل تعني أننا نريد إيجاد جميع قيم المتغير، وهو في هذه الحالة ﺱ، التي تحقق المعادلة المعطاة. ويخبرنا السؤال أن ما يعنينا هو قيم ﺱ فقط التي تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. لنبدأ بتوزيع القوس في الطرف الأيمن من المعادلة. ‏ﺱ مضروبًا في ﺱ يعطينا ﺱ تربيع، وﺱ مضروبًا في سالب ١٩ يعطينا سالب ١٩ﺱ. وبذلك تصبح المعادلة ﺱ تربيع ناقص ١٩ﺱ يساوي سالب ١٥ﺱ.

بعد ذلك، نريد تجميع الحدود كلها في الطرف نفسه من المعادلة، وهو ما يمكننا فعله بإضافة ١٥ﺱ إلى كلا طرفيها. في الطرف الأيمن، يصبح لدينا ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ. وفي الطرف الأيسر، يصبح لدينا الآن صفر. ما نراه الآن، وهو ما لم يكن واضحًا من قبل، أن لدينا معادلة تربيعية. وفي الواقع، لدينا أحد أبسط أنواع المعادلات التربيعية؛ لأنه ليس لدينا حد ثابت، أو لأن الحد الثابت يساوي صفرًا. يمكننا حل هذه المعادلة التربيعية بالتحليل.

يشترك الحدان ﺱ تربيع وسالب أربعة ﺱ في العامل المشترك ﺱ. لذا يمكننا التحليل بإخراج العامل المشترك ﺱ. بين القوسين، يجب أن يوجد حدان علينا ضربهما في ﺱ، لنحصل على التعبير الأصلي الموجود في الطرف الأيمن. ‏ﺱ مضروبًا في ﺱ يعطينا ﺱ تربيع، وﺱ مضروبًا في سالب أربعة يعطينا سالب أربعة ﺱ. وعليه، فإن صورة المعادلة التربيعية بعد التحليل هي: ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص أربعة يساوي صفرًا. لدينا هنا عاملان حاصل ضربهما يساوي صفرًا. ولا يحدث ذلك إلا إذا كان أحد العاملين على الأقل يساوي صفرًا.

إذن لإيجاد جميع القيم في مجموعة حل هذه المعادلة، نأخذ كل عامل على حدة ونساويه بصفر، ثم نحل المعادلة الناتجة. لدينا ﺱ يساوي صفرًا، وهذا لا يتطلب مزيدًا من خطوات الحل، أو ﺱ ناقص أربعة يساوي صفرًا. ويمكن حل هذه المعادلة الثانية ببساطة بإضافة أربعة إلى كلا الطرفين، وهو ما يعطينا ﺱ يساوي أربعة. ومن ثم، توجد قيمتان في مجموعة حل هذه المعادلة، وهما صفر وأربعة.

يمكننا بالطبع التحقق من صحة هاتين القيمتين بالتعويض بهما في كل من طرفي المعادلة الأصلية. على سبيل المثال، عند ﺱ يساوي أربعة، فإن ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص ١٩ يعطينا أربعة مضروبًا في سالب ١٥، وهو ما يساوي سالب ٦٠. وفي الطرف الأيسر لدينا سالب ١٥ﺱ؛ أي سالب ١٥ مضروبًا في أربعة، وهو ما يساوي أيضًا سالب ٦٠. وهذا يؤكد أن ﺱ يساوي أربعة حل صحيح لهذه المعادلة. علينا الانتباه جيدًا عند تحليل هذه المعادلة التربيعية. من الأخطاء الشائعة هنا قسمة المعادلة التربيعية ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ يساوي صفرًا على ﺱ، ليصبح لدينا ﺱ ناقص أربعة يساوي صفرًا.

ولكن إذا فعلنا ذلك، فسنفقد إحدى القيم الموجودة في مجموعة الحل. وستكون الإجابة الوحيدة هي ﺱ يساوي أربعة. وكذلك كنا سنفقد الحل الصحيح ﺱ يساوي صفرًا. إذن بتحليل هذه المعادلة التربيعية، بمجرد أن أحد الطرفين لدينا يساوي صفرًا، ثم حل المعادلتين الخطيتين الناتجتين، وجدنا مجموعة حل هذه المعادلة. وهي المجموعة صفر، أربعة.