فيديو السؤال: تحديد سرعة إلكترون من نمط حيود الإلكترونات الفيزياء

حزمة إلكترونات سرعتها، ‪𝑣‬‏، تمر خلال بلورة متوسط المسافة بين ذراتها ‪𝑑 = 1.2 × 10^(-10) m‬‏، كما هو موضح في الشكل. يتكون نمط حيود من حلقات متحدة المركز على شاشة تقع خلف البلورة، تسجل مواضع الإلكترونات التي تصل إليها. يحدث أقصى حيود عند سقوط الحزمة عموديًّا على البلورة حيث تلاحظ بقعة وحيدة. في أقصى حيود، اﻟﻄﻮل اﻟﻤﻮﺟﻲ ‪= 2𝑑‬‏. احسب ‪𝑣‬‏ في حالة أقصى حيود. استخدم القيمة ‪9.11 × 10^(-31) kg‬‏ لكتلة الإلكترون، واستخدم القيمة ‪6.63 × 10^(-34) J⋅s‬‏ لثابت بلانك.

٠٥:٤٣

‏نسخة الفيديو النصية

حزمة إلكترونات سرعتها، ‪𝑣‬‏، تمر خلال بلورة متوسط المسافة بين ذراتها ‪𝑑‬‏ يساوي 1.2 في 10 أس سالب 10 متر، كما هو موضح في الشكل. يتكون نمط حيود من حلقات متحدة المركز على شاشة تقع خلف البلورة، تسجل مواضع الإلكترونات التي تصل إليها. يحدث أقصى حيود عند سقوط الحزمة عموديًّا على البلورة حيث تلاحظ بقعة وحيدة. في أقصى حيود، اﻟﻄﻮل اﻟﻤﻮﺟﻲ يساوي اثنين في ‪𝑑‬‏. احسب ‪𝑣‬‏ في حالة أقصى حيود. استخدم القيمة 9.11 في 10 أس سالب 31 كيلوجرامًا لكتلة الإلكترون، واستخدم القيمة 6.63 في 10 أس سالب 34 جول ثانية لثابت بلانك.

في هذا السؤال، لدينا حزمة إلكترونات تقترب من الذرات في شبكة بلورية. الذرات الموجودة في هذه الشبكة تمثلها هذه النقاط السوداء، ونلاحظ أن المسافة الفاصلة بينها هي ‪𝑑‬‏. نعلم من المعطيات أن حزمة الإلكترونات تسقط عموديًّا بزاوية قياسها 90 درجة على البلورة. تمر الإلكترونات خلال البلورة وتحيد أو تغير اتجاهها. وعندما تصل الإلكترونات إلى شاشة موضوعة خلف البلورة مباشرة، فإنها تكون ما يسمى نمط الحيود. علمنا من السؤال أنه عند سقوط حزمة الإلكترونات عموديًّا على البلورة، كما هو الحال هنا، يحدث أقصى حيود، وتظهر بقعة وحيدة على الشاشة.

بمعلومية كل هذا، نريد إيجاد السرعة ‪𝑣‬‏ للإلكترونات الساقطة. للبدء في ذلك، دعونا نتذكر من نص السؤال أن المسافة بين الذرات في هذه البلورة تساوي 1.2 في 10 أس سالب 10 متر. وعلمنا أيضًا أن الطول الموجي لهذه الإلكترونات، وسنرمز له بـ ‪𝜆‬‏، يساوي اثنين في ‪𝑑‬‏ في حالة أقصى حيود، كما هو الحال هنا. وبما أن الإلكترونات عبارة عن جسيمات، فقد يبدو غريبًا أن نقول إن لها طولًا موجيًّا. لكن هذه الحقيقة يؤكدها ما يسمى علاقة دي برولي. تنص هذه العلاقة على أن أي جسم له كمية حركة يكون له طول موجي ‪𝜆‬‏ يساوي ثابت بلانك ‪ℎ‬‏ مقسومًا على كمية حركة الجسم.

بما أن الإلكترونات الساقطة لها كمية حركة، ما يعني أن لها كتلة وسرعة، فإن علاقة دي برولي تخبرنا أنه من المنطقي أيضًا أن يكون لها طول موجي. وفقًا للفيزياء الكلاسيكية، كمية حركة أي جسم تساوي كتلته في سرعته. تكون هذه المعادلة دقيقة ما دامت قيمة سرعة الجسم ليست قريبة من قيمة سرعة الضوء في الفراغ ‪𝑐‬‏. في هذا السؤال، نريد إيجاد سرعة الإلكترون؛ لذا لن نعرف ما إذا كانت قيمة ‪𝑣‬‏ قريبة من قيمة سرعة الضوء إلى أن ننتهي من حل السؤال. وإلى أن نكتشف ذلك، دعونا نفترض أن قيمة سرعة الجسم ليست قريبة من قيمة سرعة الضوء في الفراغ. لنفترض أن سرعة الإلكترون أقل بكثير من سرعة الضوء ‪𝑐‬‏، ومن ثم فإن ‪𝑃‬‏ تساوي بالفعل ‪𝑚‬‏ في ‪𝑣‬‏.

وفقًا لهذا الافتراض، يمكننا القول إن الطول الموجي لأحد الإلكترونات يساوي ثابت بلانك مقسومًا على كتلة الإلكترون مضروبة في سرعته. وبضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ‪𝑣‬‏ على ‪𝜆‬‏، يحذف ‪𝜆‬‏ من الطرف الأيسر، وتحذف السرعة ‪𝑣‬‏ من الطرف الأيمن. وبذلك يصبح لدينا سرعة الإلكترون ‪𝑣‬‏ تساوي ثابت بلانك على ‪𝑚‬‏ في ‪𝜆‬‏. دعونا نتذكر الآن أنه يمكن التعويض عن ‪𝜆‬‏ باثنين في ‪𝑑‬‏، وهي المسافة بين الذرات في البلورة. بالنظر إلى هذه المعادلة للسرعة ‪𝑣‬‏، نجد أننا نعرف قيمة كل من ثابت بلانك ‪ℎ‬‏، وكتلة الإلكترون ‪𝑚‬‏، والمسافة بين الذرات ‪𝑑‬‏. نعوض عن ثابت بلانك بالقيمة 6.63 في 10 أس سالب 34 جول ثانية، وعن كتلة الإلكترون بالقيمة 9.11 في 10 أس سالب 31 كيلوجرامًا، وعن ‪𝑑‬‏ بالقيمة 1.2 في 10 أس سالب عشرة متر.

عندما نحسب هذا الكسر لأقرب رقمين معنويين، نحصل على 3.0 في 10 أس ستة متر لكل ثانية. لاحظ أننا حسبنا لأقرب رقمين معنويين فقط؛ لأن المسافة بين الذرات ‪𝑑‬‏ معطاة لأقرب رقمين معنويين.

قبل أن نقول إن هذه هي الإجابة النهائية، دعونا نتأكد من أن افتراضنا أن السرعة ‪𝑣‬‏ أقل بكثير من سرعة الضوء ‪𝑐‬‏ افتراض صحيح. سرعة الضوء في الفراغ تساوي تقريبًا ثلاثة في 10 أس ثمانية متر لكل ثانية. وباستخدام قيمة السرعة ‪𝑣‬‏ التي حسبناها للتو، نجد أن ‪𝑐‬‏ مقسومة على ‪𝑣‬‏ تساوي حوالي 100. هذا يعني أن قيمة ‪𝑐‬‏ أكبر 100 مرة تقريبًا من قيمة سرعة الإلكترون ‪𝑣‬‏ التي حسبناها. لذا، يمكننا القول إن هذه سرعة لا تستخدم معها قوانين النسبية. ومن ثم، فإن افتراض أن ‪𝑃‬‏ تساوي ‪𝑚‬‏ في ‪𝑣‬‏ صحيح. إذن، سرعة الإلكترونات في الحزمة تساوي 3.0 في 10 أس ستة متر لكل ثانية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.