نسخة الفيديو النصية
أوجد المتتابعة الحسابية التي بها سبعة حدود، إذا كان الحد الأوسط سالب ١٠٥، ومجموع الحدود الثلاثة الأخيرة سالب ٣٦٩.
أولًا، دعونا نفكر في هذه المتتابعة المكونة من سبعة حدود. يمكننا كتابة الحدود بهذه الطريقة، بحيث يكون ﺡ واحد هو الحد الأول، وﺡ اثنان الحد الثاني، وهكذا وصولًا إلى ﺡ سبعة، الذي يمثل الحد السابع. هذا النوع من المتتابعات يحدد بفرق مشترك (أساس المتتابعة الحسابية)، أي ﺩ، وهو عبارة عن قيمة تضاف إلى الحد الأول لنحصل على الحد الثاني. وتضاف نفس هذه القيمة إلى كل حد. وهذا يعني أن لدينا صيغة لإيجاد الحد رقم ﻥ. وتتمثل في أننا نضيف إلى الحد الأول ﻥ ناقص واحد في ﺩ. على سبيل المثال، إذا كنا نبحث عن الحد الرابع، فعلينا أن نبدأ بالحد الأول. وبما أننا نبحث عن الحد الرابع، فإن ﻥ ناقص واحد يساوي أربعة ناقص واحد. وهذا يساوي ثلاثة في ﺩ.
يمكننا ملاحظة أنه للانتقال من الحد الأول إلى الحد الرابع، أضفنا ثلاثة ﺩ. والآن، دعونا نبدأ بتحديد ما نعرفه عن هذه المتتابعة. نعرف أنها مكونة من سبعة حدود وأن حدها الأوسط هو سالب ١٠٥. وبما أننا لدينا سبعة حدود في المتتابعة، فإن الحد الأوسط هو الحد الرابع. وفي هذه الحالة، الحد الأوسط ﺡ أربعة يساوي سالب ١٠٥. من ثم، يمكننا إضافة ذلك بالفعل إلى المتتابعة لدينا. نعرف أيضًا أن مجموع الحدود الثلاثة الأخيرة يساوي سالب ٣٦٩. والحدود الثلاثة الأخيرة هي ﺡ خمسة، وﺡ ستة، وﺡ سبعة. وإذا جمعنا كلًّا من الحد الخامس والحد السادس والحد السابع معًا، فسنحصل على سالب ٣٦٩.
في الواقع، نحن نعرف قيمة الحد الرابع. ونعرف أيضًا أن الحد الخامس يساوي الحد الرابع زائد الفرق المشترك. والحد الرابع هو سالب ١٠٥. إذن، سالب ١٠٥ زائد ﺩ يساوي الحد الخامس. والحد السادس يساوي سالب ١٠٥ زائد ﺩ زائد ﺩ. لذا، يمكننا كتابة الحد السادس على الصورة سالب ١٠٥ زائد اثنين ﺩ. وباتباع النمط نفسه، يمكننا كتابة الحد السابع على الصورة سالب ١٠٥ زائد ثلاثة ﺩ. وهذا كله يساوي سالب ٣٦٩.
إذا جمعنا الحدود المتشابهة معًا، فسيكون لدينا سالب ١٠٥ زائد سالب ١٠٥ زائد سالب ١٠٥، وهذا يساوي سالب ٣١٥. ﺩ زائد اثنين ﺩ زائد ثلاثة ﺩ يساوي ٦ﺩ. وهكذا، يصبح لدينا سالب ٣١٥ زائد ٦ﺩ يساوي سالب ٣٦٩. ثم نضيف ٣١٥ إلى كلا الطرفين؛ لنحصل على ٦ﺩ يساوي سالب ٥٤، ثم نقسم كلا الطرفين على ستة. وسنجد أن ﺩ، أي الفرق المشترك، يساوي سالب تسعة. يمكننا استخدام سالب تسعة هذا لإيجاد الحدود الستة الأخرى. من ثم، نعوض بسالب تسعة عن الفرق المشترك في كل مرة. ولكي نحصل على الحد الخامس في المتتابعة، علينا أن نطرح تسعة من سالب ١٠٥، أي الحد الرابع، وهذا سيعطينا سالب ١١٤.
نضيف الفرق المشترك سالب تسعة إلى الحد الخامس، وهذا يعطينا الحد السادس، سالب ١٢٣. بعد ذلك، نطرح تسعة من سالب ١٢٣. وهذا يعطينا سالب ١٣٢. لإيجاد الحد الثالث، علينا أن نفكر في العدد الذي نطرح منه تسعة ليساوي الناتج سالب ١٠٥. ولإيجاد ذلك العدد، سنضيف تسعة إلى سالب ١٠٥، وهذا يساوي سالب ٩٦. سالب ٩٦ ناقص تسعة يساوي سالب ١٠٥. وعليه، فإن الحد الثاني يساوي سالب ٩٦ زائد تسعة، وهو ما يساوي سالب ٨٧. وأخيرًا، الحد الأول يساوي سالب ٨٧ زائد تسعة، وهذا يساوي سالب ٧٨. إذن، يمكننا القول إن هذه المتتابعة المكونة من سبعة حدود تبدأ بسالب ٧٨، وأساسها، أو الفرق المشترك، هو سالب تسعة، وحدها السابع هو سالب ١٣٢.
