فيديو: مقدمة إلى الأعداد المركبة

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نتعامل مع الأعداد التخيلية، ونعرف أن الأعداد المركبة مكونة من جزء حقيقي وجزء تخيلي.

١٣:١٥

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سندرس مفهوم الأعداد التخيلية والأعداد المركبة. في البداية، سنعرف ببساطة ما نقصد بالعدد التخيلي والعدد المركب. ونتناول متى ولماذا قد نحتاج إلى استخدامهما. وبعد ذلك، سنستكشف كيفية إتمام العمليات الحسابية البسيطة والتعامل مع هذين النوعين من الأعداد.

عندما نبدأ في دراسة الأعداد، نتعرف على مجموعة الأعداد الطبيعية. يطلق على هذه الأعداد أحيانًا مسمى أعداد العد. وهي الأعداد التي يمكن استخدامها للعد والترتيب. على سبيل المثال، توجد ثلاث تفاحات في الوعاء، أو مادة التاريخ هي المادة الثانية المفضلة لدي، بعد الرياضيات بالطبع. نتوسع بعد ذلك في هذه الفكرة، ونتعلم إجراء عمليات جمع وطرح بسيطة.

وفي هذه المرحلة، قد تواجهنا صعوبة في استيعاب عملية جمع، مثل ثلاثة ناقص خمسة، دون استيعاب لمفهوم الأعداد السالبة. نتعلم بعد ذلك مفهوم المشاركة. ثم يتعين علينا دراسة مجموعة إضافية من الأعداد عندما نبدأ في دراسة عملية القسمة. فمعادلة مثل اثنين ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا لا يكون حلها عددًا كليًا أو عددًا صحيحًا. فنتعرف حينئذ على فكرة الكسور والأعداد العشرية.

وبذلك يكون قد شمل فهمنا للأعداد الأعداد النسبية، وهي الأعداد التي يمكن كتابتها بالصورة ‪𝑎‬‏ على ‪𝑏‬‏ حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ عددان صحيحان. نكتشف، بعد ذلك، أن ثمة أعدادًا أخرى غير أعداد العد والأعداد السالبة والأعداد النسبية. فنتعرف على الجذور و‪𝜋‬‏. وهي أعداد غير نسبية، أي أعداد لا يمكن كتابتها كعدد صحيح على عدد صحيح آخر. بضم كل هذه الأعداد معًا يصبح لدينا مجموعة الأعداد الحقيقية. حسنًا، هذا رائع، هذا كل ما نحتاج إليه، أليس كذلك؟

لا، ليس تمامًا. أثناء استكشافنا لمفهوم الأعداد، سنصادف معادلات ليس لها حل أو على الأقل معادلات نفترض أنه ليس لها حل. على سبيل المثال، ‪𝑥‬‏ تربيع زائد واحد يساوي صفرًا. نعلم أنه، لأي قيمة حقيقية لـ ‪𝑥‬‏، تكون قيمة ‪𝑥‬‏ تربيع دائمًا أكبر من أو تساوي صفرًا. إذن، هذا يعني أن قيمة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد واحد يجب أن تكون دائمًا أكبر من أو تساوي واحدًا.

لذا بقدر علمنا، تكون المعادلة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد واحد يساوي صفرًا بلا معنى، على الأقل حتى الآن. ويمكننا النظر أيضًا في منحنى المعادلة ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد واحد. إنه قطع مكافئ يتقاطع مع المحور ‪𝑦‬‏ عند واحد. نلاحظ عدم إمكانية وجود أي حلول حقيقية للمعادلة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد واحد يساوي صفرًا. فلا يتقاطع هذا المنحنى مع المحور ‪𝑥‬‏. في الحقيقة، لقد تقدمنا في فهمنا للأعداد من أعداد العد وصولًا إلى الأعداد غير النسبية. ما الذي يمنعنا إذن من الانتقال إلى ما هو أبعد من ذلك؟

لنتخيل أن المعادلة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد واحد يساوي صفرًا لها حل. ويمكننا حلها مثل أي معادلة أخرى. فيمكننا طرح واحد من كلا الطرفين للحصول على ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي سالب واحد. ومن هنا يمكننا توسيع مفهومنا عن الأعداد.

ندخل على المعادلة عددًا جديدًا، وليكن ‪𝑖‬‏، بحيث يكون ‪𝑖‬‏ تربيع يساوي سالب واحد. ويمكننا الآن ملاحظة أن ‪𝑖‬‏ من المفترض أن يكون حلًا للمعادلة ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي سالب واحد. وفي الحقيقة، إذا حسبنا الجذر التربيعي لذلك، فسنجد أن ‪𝑖‬‏ يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد. نطلق على هذا العدد عددًا تخيليًا.

استخدم الرياضيون هذا المصطلح في الأصل لأنه، في ذلك الوقت، لم يكن أحد يعتقد أنه سيوجد أي استخدام لهذا العدد في الحياة العملية. كان ينظر إليه على أنه عدد مختلق، استحدث فقط بغرض حل معادلات معينة. لكننا إذا تأملنا مجموعات الأعداد المختلفة، فسنجد أن جميعها مختلقة. لماذا إذن لا نستحدث عددًا جديدًا؟ واستمر في الواقع استخدام هذا العدد.

نعرف ‪𝑖‬‏ إذن بأنه حل للمعادلة ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي سالب واحد. ويشار إليه عادة بالجذر التربيعي لسالب واحد. والآن بما أن ‪𝑖‬‏ ليس عددًا حقيقيًا، يطلق عليه وعلى أي مضاعفات حقيقية له، وهي الأعداد التي على الصورة ‪𝑏𝑖‬‏ حيث ‪𝑏‬‏ عدد حقيقي، اسم الأعداد التخيلية البحتة. ومثلما يشار إلى مجموعة الأعداد الحقيقية كلها بالحرف ‪ℝ‬‏، فإن مجموعة الأعداد التخيلية كلها يشار إليها بالحرف ‪𝐼‬‏. وهذا هو التعريف الأول الذي نستعرضه.

نتناول الآن تعريفًا آخر. هذا التعريف يخص الأعداد المركبة. وهي الأعداد الناتجة عن جمع أعداد حقيقية وتخيلية. تتخذ هذه الأعداد الصورة ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏ حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ عددان حقيقيان. ويشار إلى مجموعة الأعداد المركبة كلها بالحرف ‪ℂ‬‏. وفيما يتعلق بالعدد المركب ‪𝑧‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏، نقول إن الجزء الحقيقي من ‪𝑧‬‏ هو ‪𝑎‬‏ والجزء التخيلي هو ‪𝑏‬‏. وعلينا الانتباه هنا. فالجزء التخيلي هو ‪𝑏‬‏، وليس ‪𝑏𝑖‬‏.

بعد أن تعرفنا على كل التعريفات ذات الصلة التي نحتاج إليها، لنلق نظرة الآن على كيفية تكوين هذه الأنواع من الأعداد والتعامل معها.

ما قيمة خمسة ‪𝑖‬‏ تربيع؟

للإجابة عن هذا السؤال، سنسترجع قواعد تبسيط المقادير الجبرية. على سبيل المثال، لتبسيط مقدار على الصورة ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑏‬‏ الكل أس ‪𝑛‬‏، سنحسب قيمة ‪𝑎‬‏ أس ‪𝑛‬‏ ثم نضرب ذلك في ‪𝑏‬‏ أس ‪𝑛‬‏. في هذه الحالة، قيمة خمسة ‪𝑖‬‏ تربيع هي نفسها خمسة تربيع مضروبًا في ‪𝑖‬‏ تربيع. وبالطبع، خمسة تربيع يساوي ‪25‬‏. ويعرف ‪𝑖‬‏ على أنه حل المعادلة ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي سالب واحد. وهو ما يعني أن ‪𝑖‬‏ تربيع يساوي سالب واحد. يمكننا إذن كتابة خمسة ‪𝑖‬‏ تربيع على صورة ‪25‬‏ مضروبًا في سالب واحد. وبما أن موجب في سالب يساوي سالبًا، نجد أن خمسة ‪𝑖‬‏ تربيع يساوي سالب ‪25‬‏.

أوجد قيمة ثلاثة ‪𝑖‬‏ مضروبًا في سبعة ‪𝑖‬‏.

للإجابة عن هذا السؤال، نتذكر معًا حقيقة أن عملية الضرب هي عملية إبدالية. فيمكن إجراؤها بأي ترتيب. لذا، يمكننا إعادة كتابة عملية الضرب التي أمامنا بصورة ثلاثة مضروبًا في سبعة مضروبًا في ‪𝑖‬‏ مضروبًا في ‪𝑖‬‏. ثلاثة مضروبًا في سبعة يساوي ‪21‬‏، و‪𝑖‬‏ مضروبًا في ‪𝑖‬‏ يساوي ‪𝑖‬‏ تربيع. لكننا لم ننته من الحل بعد.

وذلك لأن ‪𝑖‬‏ ليس متغيرًا مثل ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. نعلم أن ‪𝑖‬‏ هو حل المعادلة ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي سالب واحد. ويمكننا القول إن ‪𝑖‬‏ تربيع يساوي سالب واحد، أو ‪𝑖‬‏ يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد. بالتالي، سنعوض عن ‪𝑖‬‏ تربيع في المسألة بسالب واحد. ويمكننا ملاحظة أن ثلاثة ‪𝑖‬‏ مضروبًا في سبعة ‪𝑖‬‏ يساوي ‪21‬‏ مضروبًا في سالب واحد. ‏‏‪21‬‏ مضروبًا في سالب واحد يساوي سالب ‪21‬‏. وبذلك نكون قد حسبنا قيمة ثلاثة ‪𝑖‬‏ مضروبًا في سبعة ‪𝑖‬‏. وهي سالب ‪21‬‏.

عبر عن الجذر التربيعي لسالب أربعة بدلالة ‪𝑖‬‏.

للإجابة عن هذا السؤال، نحتاج إلى إعادة كتابة سالب أربعة. لذا سنكتبه على صورة أربعة مضروبًا في سالب واحد. لكن لماذا فعلنا ذلك؟ حسنًا، هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة الجذر التربيعي لسالب أربعة على صورة الجذر التربيعي لأربعة مضروبًا في سالب واحد.

وتنص قوانين الجذور على أنه إذا كان ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ عددين حقيقيين موجبين، فإن الجذر التربيعي لـ ‪𝑎𝑏‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝑎‬‏ مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ‪𝑏‬‏. وفي حين أن هذا ليس صحيحًا لكل الأعداد المركبة بوجه عام، يمكننا القول إن الجذر التربيعي لسالب ‪𝑎‬‏ يمكن كتابته على صورة الجذر التربيعي لـ ‪𝑎‬‏ مضروبًا في سالب واحد. ومن ثم، يمكن كتابة ذلك على صورة الجذر التربيعي لـ ‪𝑎‬‏ مضروبًا في الجذر التربيعي لسالب واحد.

هذا يعني أنه يمكننا كتابة الجذر التربيعي لسالب أربعة على صورة الجذر التربيعي لأربعة مضروبًا في الجذر التربيعي لسالب واحد. نعلم أن الجذر التربيعي لأربعة يساوي اثنين، ونعلم أيضًا أن الجذر التربيعي لسالب واحد يساوي ‪𝑖‬‏. لذلك يمكننا القول إن الجذر التربيعي لسالب أربعة يساوي اثنين مضروبًا في ‪𝑖‬‏. وفي الواقع، سنبسط ذلك. وبذلك يكون الجذر التربيعي لسالب أربعة يساوي اثنين ‪𝑖‬‏.

عبر عن الجذر التربيعي لسالب ‪54‬‏ بدلالة ‪𝑖‬‏.

للإجابة عن هذا السؤال، نحتاج إلى إعادة كتابة سالب ‪54‬‏. لذا نكتبه على صورة ‪54‬‏ مضروبًا في سالب واحد. وهذا يعني أنه يمكننا القول إن الجذر التربيعي لسالب ‪54‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪54‬‏ مضروبًا في سالب واحد. دعونا نر لماذا فعلنا ذلك بشكل أعم.

يمكننا القول إن الجذر التربيعي لسالب ‪𝑎‬‏ يمكن كتابته على صورة الجذر التربيعي لـ ‪𝑎‬‏ مضروبًا في سالب واحد، وهو ما يمكن كتابته بدوره على صورة الجذر التربيعي لـ ‪𝑎‬‏ مضروبًا في الجذر التربيعي لسالب واحد. وإذا تذكرنا قولنا إن ‪𝑖‬‏ يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد، فسنتوصل إلى أن الجذر التربيعي لسالب ‪𝑎‬‏ لا بد وأن يساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑖‬‏.

وفيما يتعلق بالعدد المعطى في المسألة، يمكننا كتابته على صورة الجذر التربيعي لـ ‪54‬‏ مضروبًا في الجذر التربيعي لسالب واحد، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ‪54‬‏ مضروبًا في ‪𝑖‬‏. لكننا لم ننته من الحل بعد. فعلينا تبسيط جذر ‪54‬‏ قدر الإمكان. يوجد عدة طرق يمكننا استخدامها لفعل ذلك. فيمكننا اعتبار أن العدد ‪54‬‏ هو حاصل ضرب عوامله الأولية. أو بدلًا من ذلك، يمكننا إيجاد العامل الأكبر من عوامل العدد ‪54‬‏، والذي يكون أيضًا عددًا مربعًا.

وفي هذه الحالة، العامل الذي يعنينا هو تسعة. لذلك نقول إن الجذر التربيعي لـ ‪54‬‏ يساوي الجذر التربيعي لتسعة مضروبًا في ستة، أو الجذر التربيعي لتسعة مضروبًا في الجذر التربيعي لستة. ونعلم بالطبع أن الجذر التربيعي لتسعة هو ثلاثة. إذن، يمكننا القول إن الجذر التربيعي لـ ‪54‬‏ يساوي ثلاثة جذر ستة. وبالتالي نصل إلى أن الجذر التربيعي لسالب ‪54‬‏ يساوي ثلاثة جذر ستة ‪𝑖‬‏.

وعلينا أن ننتبه هنا. فينبغي استخدام الأقواس كما هو موضح. وذلك لأننا إذا كتبنا ثلاثة جذر ستة ‪𝑖‬‏ من دون أقواس، فقد يسهل الخلط بين هذه القيمة وبين ثلاثة مضروبًا في الجذر التربيعي لستة ‪𝑖‬‏، وهو حل مختلف تمامًا.

أضف أربعة إلى سالب ‪𝑖‬‏.

لدينا في هذه المسألة عدد حقيقي وعدد تخيلي. ونريد إيجاد مجموعهما. ما تطلبه منا هذه المسألة، في الحقيقة، هو تكوين عدد مركب. تذكر أن العدد المركب، ‪𝑧‬‏، يكتب على الصورة ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏ حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ كلاهما عددان حقيقيان، و‪𝑎‬‏ هو الجزء الحقيقي من ‪𝑧‬‏ و‪𝑏‬‏ هو الجزء التخيلي.

إذا أضفنا أربعة إلى سالب ‪𝑖‬‏، نحصل على أربعة زائد سالب ‪𝑖‬‏. لكن يمكننا كتابة ذلك ببساطة على صورة أربعة ناقص ‪𝑖‬‏. ويمكننا الآن ملاحظة أن لدينا عددًا مركبًا يحتوي على جزء حقيقي هو أربعة وجزء تخيلي هو سالب واحد.

هل الجملة التالية صواب أم خطأ؟ أي عدد حقيقي هو عدد مركب أيضًا.

نعلم أن أي عدد مركب، ‪𝑧‬‏، يكون على صورة ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏ حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ عددان حقيقيان. ويمكننا، في الواقع، القول إن العدد الحقيقي ‪𝑎‬‏ يكون على صورة ‪𝑎‬‏ زائد صفر ‪𝑖‬‏. والصفر بالتأكيد عدد حقيقي. ووفقًا لتعريف العدد المركب، ‪𝑎‬‏ زائد صفر ‪𝑖‬‏ عدد مركب.

بذلك نكون قد أوضحنا أن أي عدد حقيقي هو عدد مركب أيضًا. وبالتالي يمكننا القول إن عبارة «أي عدد حقيقي يكون عددًا مركبًا أيضًا» عبارة صحيحة. لكن من المهم ملاحظة أن العكس ليس صحيحًا. فلا يمكننا القول إن أي عدد مركب هو أيضًا عدد حقيقي؛ حيث إن أي عدد مركب به جزء حقيقي وجزء تخيلي. الطريقة الوحيدة التي يمكن أن يكون بها العدد المركب عددًا حقيقيًا هي إذا كان الجزء التخيلي هو صفرًا.

ما الجزء التخيلي للعدد المركب اثنان ناقص اثنين ‪𝑖‬‏؟

العدد المركب هو ناتج جمع عدد حقيقي وعدد تخيلي. وأي عدد مركب، ‪𝑧‬‏، يكون على الصورة ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏، حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ عددان حقيقيان. والجزء الحقيقي في الصورة العامة لهذا العدد المركب هو ‪𝑎‬‏. والجزء التخيلي هو بالأساس معامل ‪𝑖‬‏. وهو ‪𝑏‬‏. تذكر أنه ليس ‪𝑏𝑖‬‏، ولكن ‪𝑏‬‏ فقط.

لنقارن إذن هذه الصورة العامة بالعدد المركب الذي لدينا، وهو اثنان ناقص اثنين ‪𝑖‬‏. نلاحظ بذلك أن ‪𝑎‬‏ يساوي اثنين و‪𝑏‬‏ يساوي سالب اثنين. وهذا يعني أن الجزء الحقيقي من هذا العدد المركب هو اثنان، والجزء التخيلي هو سالب اثنين.

دعونا نلخص ما تعلمناه اليوم. لقد وسعنا نطاق معرفتنا لمجموعة الأعداد كلها ليتضمن الآن الأعداد التخيلية. وتعرفنا على عدد جديد هو ‪𝑖‬‏، والذي يعرف بأنه حل المعادلة ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي سالب واحد. وبالطبع، نقول عادة إن ‪𝑖‬‏ يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد.

وتعلمنا أن أي عدد على الصورة ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏، حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ عددان حقيقيان، يطلق عليه عددًا مركبًا. وهذه الأعداد هي ناتج جمع عدد حقيقي وعدد تخيلي. وأخيرًا، عرفنا أن الجزء الحقيقي من العدد المركب هو ‪𝑎‬‏، والجزء التخيلي هو ‪𝑏‬‏، وليس ‪𝑏𝑖‬‏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.