فيديو: العمليات على المتجهات في الفراغ

سوزان فائق

يوضح الفيديو العمليات على المتجهات في الفراغ وكيفية جمع وطرح المتجهات في الفراغ وكيفية الضرب في عدد حقيقي.

١٤:١١

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم في الفيديو ده عن العمليات على المتجهات في الفراغ. هنعرف إزَّاي نجمع ونطرح المتجهات في الفراغ. وإزاي نضربهم في عدد حقيقي.

إذا كان أ متجه في الفراغ في وضع قياسي. ده بيبقى معناه إن نقطة بدايته هي نقطة الأصل صفر وصفر وصفر. نقطة النهاية كانت أ واحد وَ أ اتنين وَ أ تلاتة، زي المثال اللي قدامنا ده. فبنقدر نعبر عن المتجه أ بالصورة الإحداثية المركّبة بالشكل: المتجه أ يساوي أ واحد وَ أ اتنين وَ أ تلاتة. أ واحد بتمثّل المركبة في اتجاه محور س. أ اتنين بتمثّل المركبة الإحداثية في اتجاه محور ص. أ تلاتة بتمثّل المركبة الإحداثية في اتجاه محور ع. وبالتالي بنقدر نكتبها في صورة التركيب الخطي لمتجهات الوحدة بالشكل اللي هو المتجه أ يساوي أ واحد في اتجاه س، زائد أ اتنين في اتجاه ص، زائد أ تلاتة في اتجاه الـ ع؛ حيث الـ س والـ ص والـ ع هي متجهات الوحدة القياسية اللي قدامنا بتتمثل باللون الأسود ده. الـ س بيمثّل اتجاه محور السينات الاتجاه الموجب. الـ ص محور الصادات في الاتجاه الموجب. الـ ع محور الـ ع في اتجاه الموجب.

ده بيبقى صورة المتجه أ في الفراغ. بنقدر نعمل العمليات على المتجهات إذا كُتِبت على الصورة الإحداثية. بنقدر نجري عليها عمليات الجمع والطرح والضرب في عدد حقيقي، كما هو الحال في المتجهات في المستوى الإحداثي س وَ ص. هنقلب الصفحة ونشوف إزَّاي.

إذا كان المتجه أ يساوي أ واحد وَ أ اتنين وَ أ تلاتة. والمتجه ب يساوي ب واحد وَ ب اتنين وَ ب تلاتة. همّ متجهين في الفراغ. وكان الـ ك عدد حقيقي. فإن … لما هنجمع المتجهين دول، اللي همّ في الفراغ، هيبقى المركّبة الأولى للمجموع بتاع المتجهين هتجمع المركبة الأولى لكل متجه فيهم. يعني أ واحد زائد ب واحد، هتمثّل المركبة الأولى لـ أ زائد الـ ب. أ اتنين زائد ب اتنين المركبة التانية، بجمع المركبة التانية في المتجه الأول، زائد المركبة التانية في المتجه التاني. ونفس الحال بالنسبة للمركبه التالتة، اللي هي أ تلاتة زائد ب تلاتة .

يبقى لما هنجمع متجهين متعرّفين في الفراغ، اللي همّ المتجه أ زائد المتجه ب. هنجمع كل مركّبة مع المركّبة اللي زيها بالظبط. وبالنسبة لطرح المتجهين، هنعتبر إن المتجه أ زي ما هو، ناقص المتجه ب. يبقى هنجمع أ على معكوس اتجاه المتجه ب. يعني هنعكس إشارة المتجه ب. هنعكس قيَم المتجه ب. يعني ب واحد وَ ب اتنين وَ ب تلاتة، هنعكس اتجاهاتهم ونجمعها على المتجهة أ. يبقى أ واحد ناقص ب واحد المركبة الأولى. أ اتنين ناقص ب اتنين المركبة التانية. أ تلاتة ناقص ب تلاتة المركبة التالتة.

وبالنسبة لضرب متجه في عدد حقيقي، هنضرب العدد حقيقي في كل المركبات اللي عندنا. يعني هيبقى ك أ واحد، ك أ اتنين، ك أ تلاتة.

خصائص العمليات على المتجهات في الفراغ، هي الخصائص نفسها في المستوى الإحداثي، اللي هو بيبقى في الـ س والـ ص. يعني الجمع بيبقى إبدالي. الضرب بيبقى إبدالي. والتوزيع بنقدر نوزّع على الجمع أو الطرح، اللي هي الخصائص اللي قدامنا دي. الخاصية الإبدالية. خاصية التوزيع. خاصية الضرب القياسي في المتجه الصفري. خاصية الضرب في عدد حقيقي.

هنقلب الصفحة، وناخد مثال.

في المثال: اوجد كلٍّ مما يأتي المتجهات: أ يساوي تلاتة وسالب ستة واتنين، ب يساوي سالب واحد وأربعة وسالب أربعة، ج بيساوي سالب اتنين وصفر وخمسة. هنوجد أربعة في المتجه أ، زائد اتنين في المتجه ج. وهنوجد كمان اتنين في المتجه ب، ناقص المتجه ج، زائد تلاتة في المتجه أ.

في الأولانية هنعوّض بقيم المتجهات. المتجه أ والمتجه ج. يبقى أربعة في المتجه أ اللي هو تلاتة وسالب ستة واتنين. زائد … اتنين في المتجه ج اللي هو سالب اتنين وصفر وخمسة. هيساوي … ده ضرب في عدد ثابت. يبقى الأربعة هتضّرب في كل مركب من المركبات. يعني أربعة في تلاتة، وأربعة في سالب ستة، وأربعة في اتنين. زائد الاتنين في سالب اتنين، والصفر، والخمسة. يبقى هنضرب الاتنين في كل مركّب من المركبات اللي قدامنا. ودي بنسميها خاصية ضرب المتجه في عدد حقيقي.

بعد كده هنجمع المتجهين. هنجمع كل مركّبة مع المركبة المناظرة لها. يعني الاتناشر زائد السالب أربعة، والسالب أربعة وعشرين زائد الصفر، والتمنية زائد العشرة. يبقى الناتج هيبقى تمنية، وسالب أربعة وعشرين، وتمنتاشر. وده قيمة الأربعة أ زائد اتنين ج.

هنوجد الجزء التاني من المثال. اتنين في المتجه ب؛ يعني الاتنين هنضربها في المتجه ب، اللي هو سالب واحد وأربعة وسالب أربعة. ناقص … المفروض هتبقى زائد عكس إشارة المتجه ج؛ يعني هنضرب المتجه ج في سالب واحد بالشكل ده. زائد … تلاتة في المتجه أ اللي هو تلاتة وسالب ستة واتنين.

باستخدام خاصية ضرب متجه في عدد حقيقي. يبقى القيمة هتساوي … هنضرب العدد الحقيقي في مركّبات المتجه. يبقى سالب اتنين وتمنية وسالب تمنية. زائد اتنين وصفر وسالب خمسة. زائد تسعة وسالب تمنتاشر وستة.

بعد كده هنستخدم خاصية جمع المتجهات. هتساوي … هنجمع كل مركّبة مع المركّبة المناظرة لها. يبقى هتبقى تسعة وسالب عشرة وسالب سبعة. ودي هي قيمة اتنين ب ناقص ج زائد تلاتة أ.

نقلب الصفحة وناخد مثال من حياتنا العملية.

تمّ توجيه نموذج لصاروخ إلى الشمال بزاوية خمسة وسبعين درجة مع الأفقي. بسرعة تلتمية اتنين وعشرين كيلومتر في الساعة. إذا كانت الرياح تهب من الشمال الغربي بسرعة تمنية كيلومتر في الساعة. اوجد متّجه يعبر عن متجه المحصلة لسرعة الصاروخ بالنسبة لنقطة الانطلاق.

أول حاجة هنعبّر عن الاتجاهات بالـ س والـ ص والـ ع. الجزء الموجب لمحور السينات هنعبّر عنه بالشرق. الجزء الموجب لمحور الصادات هنعبّر عنه بالشمال. الجزء الموجب بمحور الـ ع هنعبر عنه بأعلى.

يبقى هنا الشرق قصاده الغرب. والشمال هيبقى قصاده الجنوب. بعد كده هنشوف هو عايز إيه. هنلاقي إن هو عايز متّجه يعبّر عن متجه المحصّلة لسرعة الصاروخ. يعني سرعة الصاروخ اللي هو مديهالنا اتأثرت بالرياح. يبقى عايزين متّجه المحصّلة لمجموع السرعتين دول.

عايزين نعبّر عن المتجهين دول، اللي هو سرعة الصاروخ وسرعة الرياح، بمتجهين أ وَ ب. وبعدين نجمع المتجهين أ وَ ب. بس هنعبر عنهم بالصورة الإحداثية، ويبقى لهم مركّبات في اتجاه الـ س والـ ص والـ ع. هنعبر بالمتجه أ عن سرعة الصاروخ. وبالمتجه ب عن سرعة الرياح. هنا الرياح بتهب من الشمال الغربي؛ يعني جايّة بزاوية كده في منتصف الشمال الغربي. يبقى طالعة من الجنوب الشرقي بنفس الزاوية اللي هي داخلة بيها. هنا خمسة وأربعين، طالعة بيها من الجنوب الشرقي. يبقى الزاوية اللي بتعملها الرياح، لو بدأناها من هنا هتبقى قياسها تلتمية وخمستاشر درجة؛ لأن الزاوية دي خمسة وأربعين درجة. يبقى دي خمسة وأربعين درجة، اللي باقي من التلتمية وستين، اللي همّ التلتمية وخمستاشر. وقيمة سرعة الرياح تمنية كيلومتر في الساعة.

سرعة الرياح هنا في المستوى س وَ ص، بس مش موجودة في المستوى ع. يبقى معنى كده لما هنعبر عن المتجه ب بإحداثيات س وَ ص وَ ع، هتبقى قيمة الـ ع بصفر. يبقى الصورة الإحداثية للمتجه ب هتساوي المركبة التالتة بصفر. يبقى ناقص المركّبتين الأولانيين. هنا ده مثلث قائم الزاوية. عامل زاوية خمسة وأربعين درجة، اللي هي التلتمية وخمستاشر مع الاتجاه الموجب لمحور السينات. يبقى القيمة دي عبارة عن التمنية، اللي هو معيار المتجه ب. مضروبة في جتا الزاوية تلتمية وخمستاشر، اللي هي جتا الخمسة وأربعين. والقيمة للمركبة دي اللي هي بتعبّر عن الـ ص هتبقى تمنية في جا الزاوية خمسة وأربعين درجة، أو جا التلتمية وخمستاشر همّ نفس القيمة، بس بإشارة سالبة. يعني هتبقى سالب تمنية جا خمسة وأربعين، هي نفسها تمنية جا تلتمية وخمستاشر درجة. يبقى دي قيمة إحداثي الـ ص.

طيب يبقى معنى كده إن المتجه ب هيبقى تمنية جتا تلتمية وخمستاشر درجة. وتمنية جا تلتمية وخمستاشر درجة. اللي هي هتساوي تقريبًا خمسة وستة وستين من مية، وسالب خمسة وستة وستين من مية، وصفر.

نوجد قيمة الصورة الإحداثية للمتجه أ. المتجه أ قيمته تلتمية اتنين وعشرين كيلومتر في الساعة. بيعمل زاوية خمسة وسبعين درجة مع الأفقي في اتجاه الشمال. يبقى ما فيش بُعد تالت، اللي هو الإحداثي التالت مش موجود. الشمال هنا بيعبّر عنه الـ ص. والأعلى بيعبّر عنه الـ ع. يبقى الإحداثي في اتجاه الـ س بيساوي صفر. يبقى المتجه أ هيساوي صفر، وقيمة في اتجاه الـ ص، وقيمة في اتجاه الـ ع.

هنا مثلث قائم الزاوية. هنوجد قيمة المجاور للزاوية خمسة وسبعين درجة. هيبقى تلتمية اتنين وعشرين جتا خمسة وسبعين درجة. والمقابل هيبقى تلتمية اتنين وعشرين جا خمسة وسبعين درجة. ودول اللي هيمثلوا المركبات في اتجاه الـ ص واتجاه الـ ع. يعني هنا هتبقى صفر وتلتمية اتنين وعشرين جتا خمسة وسبعين درجة. والمركبة التالتة تلتمية اتنين وعشرين جا خمسة وسبعين درجة. يبقى المتجه أ هيساوي صفر وتلتمية اتنين وعشرين جتا خمسة وسبعين درجة. وتلتمية اتنين وعشرين جا خمسة وسبعين درجة، هتساوي تقريبًا: صفر، وتلاتة وتمانين وأربعة وتلاتين من مية، وتلتمية وحداشر.

بعد كده نوجد متجه المحصلة أ زائد ب. هيساوي … كل مركّبة هنجمعها مع المناظرة لها. يبقى المركّبة الأولى هتبقى خمسة وستة وستين من مية. المركبة التانية سبعة وسبعين وتمنية وستين من مية. والمركبة التالتة هتبقى تلتمية وحداشر. وهنكتبها في صورة تركيب خطي لمتجهات الوحدة. هتبقى بالشكل ده خمسة وستة وستين من مية في اتجاه س. زائد سبعة وسبعين وتمنية وستين من مية في اتجاه متجه الوحدة ص. زائد تلتمية وحداشر في اتجاه الـ ع. يبقى هي دي متجه يعبّر عن متجه المحصّلة لسرعة الصاروخ بالنسبة لنقطة الانطلاق.

اتكلمنا في الفيديو ده عن المتجهات في الفضاء. وإزَّاي بنعمل العمليات على المتجهات في الفضاء، من طرح وجمع وضرب في عدد حقيقي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.