فيديو السؤال: التحقق مما إذا كان مثلثان معطيان متشابهين أو لا بمعلومية أبعادهما الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان المثلث ﻑﻭﺡ يشبه المثلث ﺱﺹﻉ، وأضيفت ست وحدات إلى طول كل ضلع في المثلثين، فهل المثلثان الجديدان متشابهان؟

في هذا السؤال، نعلم أن المثلثين متشابهان. لعلنا نتذكر أنه في المثلثات المتشابهة، مثل أي مضلعات متشابهة، تكون أزواج الزوايا المتناظرة متساوية في القياس، وأطوال أزواج الأضلاع المتناظرة متناسبة. إذا نظرنا إلى أحد الأضلاع، مثلًا ﺡﻭ، فسنجد أنه يناظر الضلع ﻉﺹ في المثلث الأكبر. ويمكننا ملاحظة أن الطولين هنا هما ﺃ في المثلث الأصغر وثلاثة ﺃ في المثلث الأكبر. والضلع ﻑﺡ يناظر الضلع ﺱﻉ، وطولهما ﺏ وثلاثة ﺏ، على الترتيب. آخر ضلعان متناظران هما ﻑﻭ وﺱﺹ، وطولا هذين الضلعين هما ﺟ وثلاثة ﺟ.

وإذا أردنا إيجاد معامل قياس التشابه بين المثلث الأصغر ﻑﻭﺡ والمثلث الأكبر ﺱﺹﻉ، فسنجد أن جميع أطوال أضلاع المثلث الأصغر يجب ضربها في ثلاثة. والآن، علينا التفكير في أنه إذا أضيفت ست وحدات إلى طول كل ضلع في المثلثين، فهل سيكون المثلثان الجديدان متشابهين أم لا؟ لذا، دعونا نفترض أنه بدلًا من الأطوال ﺃ وﺏ وﺟ في المثلث الأصغر، يصبح لدينا ﺃ زائد ستة، وﺏ زائد ستة، وﺟ زائد ستة. أما في المثلث الأكبر، فسيكون لدينا ثلاثة ﺃ زائد ستة، وثلاثة ﺏ زائد ستة، وثلاثة ﺟ زائد ستة.

في هذه المرحلة، قد نعتقد أن لدينا مثلثين متشابهين. فعلى أي حال، ستظل جميع النسب متماثلة، ولم يحدث سوى أننا أضفنا ست وحدات إضافية. ولكن لنفترض أننا اخترنا أحد هذه الأطوال، لنختر الطول ﺃ زائد ستة مثلًا، وضربناه في ثلاثة. عندما نضرب ﺃ زائد ستة في ثلاثة، فعلينا أن نتذكر أن المقدار ﺃ زائد ستة كله سيضرب في ثلاثة. ولتوزيع ثلاثة على القوسين، سيكون لدينا ثلاثة ﺃ زائد ثلاثة في ستة، وهو ما يساوي ١٨. لكن في المثلث الأكبر، الطول يساوي ثلاثة ﺃ زائد ستة وليس ثلاثة ﺃ زائد ١٨.

ويمكن تطبيق المنطق نفسه على طولي الضلعين الآخرين. على سبيل المثال، ﺱﻉ يجب أن يساوي ثلاثة ﺏ زائد ١٨، وﺱﺹ يجب أن يساوي ثلاثة ﺟ زائد ١٨. وإذا عدنا إلى تعريف الأشكال المتشابهة، نجد أنه ليس لدينا أضلاع متناظرة متناسبة في الطول؛ لذا لن يكون هذان المثلثان متشابهين. وبذلك، تكون الإجابة عن هذا السؤال هي «لا».

إذا كنت لا تفضل استخدام الجبر، فتوجد طريقة أخرى للإجابة عن هذا السؤال. هيا نفترض بعض القيم العددية الفعلية لكل من ﺃ وﺏ وﺟ. بما أن هذا المثلث قائم الزاوية، فيمكننا استخدام ثلاثية فيثاغورس: ثلاثة، أربعة، خمسة. طول ﺹﻉ يساوي ثلاثة في ثلاثة، وهو ما يساوي تسعة. وﺱﺹ يساوي ثلاثة في أربعة، وهو ما يساوي ١٢. وﺱﻉ يساوي ثلاثة في خمسة، وهو ما يساوي ١٥. إذا أضفنا ستة إلى جميع أطوال أضلاع المثلث الأصغر، فسنحصل على الأطوال: تسعة و١٠ و١١، وهذا يعني أننا فقدنا ثلاثية فيثاغورس، ولكن دعونا نر ما يحدث على أي حال.

في المثلث الأكبر، عندما نضيف ست وحدات، نحصل على الأطوال: ١٥ و١٨ و٢١. للتحقق مما إذا كانت الأضلاع المتناظرة متناسبة في الطول، علينا التأكد ما إذا كان ١٥ على تسعة يساوي ١٨ على ١٠ يساوي ٢١ على ١١. والإجابة هي «لا»؛ أطوال هذه الأضلاع المتناظرة غير متناسبة. ومن ثم، نكون قد تأكدنا من أن الإجابة هي «لا»؛ هذان المثلثان الجديدان ليسا متشابهين.