فيديو السؤال: إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة جذرية في فترة معطاة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيم الدالة عند نقاط القيم العظمى المطلقة والقيم الصغرى المطلقة، إن وجدت، للدالة ﺩ ﺱ تساوي الجذر التربيعي لثلاثة ﺱ زائد ١٠ ؛ حيث ﺱ ينتمي إلى الفترة المغلقة من سالب اثنين إلى خمسة.

حسنًا، معطى لنا في هذا السؤال دالة مركبة، ومطلوب منا إيجاد قيم الدالة عند نقاط القيم العظمى المطلقة والقيم الصغرى المطلقة، إن وجدت؛ حيث ﺱ ينتمي إلى الفترة المغلقة من سالب اثنين إلى خمسة. إننا نريد أولًا التحقق من الفترات التي تكون فيها الدالة ﺩ ﺱ متصلة. نحن نعلم أن هذه الدالة دالة مركبة. ونعلم أنه إذا كانت لدينا دالتان متصلتان ﺭ وﻕ، فإن تركيبهما، ﺭ تركيب ﻕ ﺱ، يكون متصلًا على مجاله. نلاحظ أن هذه الدالة مركبة من دالتين؛ ﺭ ﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ، وﻕ ﺱ يساوي ثلاثة ﺱ زائد ١٠. دالة الجذر التربيعي متصلة، وجميع الدوال الكثيرات الحدود متصلة. وبما أن الدالة ﺩ ﺱ تركيب لدالتين متصلتين، فهذا يعني أنها متصلة على مجالها. وحيثما كانت ﺩ ﺱ معرفة تكن ﺩ ﺱ دالة متصلة.

إننا نعرف أن الجذر التربيعي لعدد ما يكون دائمًا معرفًا ما لم يكن هذا العدد سالبًا. لذا، فإن الدالة ﺩ ﺱ لن تكون معرفة عندما يكون ثلاثة ﺱ زائد ١٠ أقل من صفر، وهذا يعني أيضًا أنها لن تكون متصلة عند قيم ﺱ هذه. سنطرح ١٠ من كلا طرفي هذه المتباينة ثم سنقسم على ثلاثة لنجد أن الدالة ﺩ ﺱ غير معرفة عندما يكون ﺱ أقل من سالب ١٠ على ثلاثة. وسالب ١٠ على ثلاثة يساوي سالب ثلاثة وثلثًا. سالب ثلاثة وثلث يقع خارج المجال المعرف لدينا. إذن، لا بد من أن تكون الدالة ﺩ ﺱ متصلة لجميع قيم ﺱ في الفترة المغلقة من سالب اثنين إلى خمسة.

معلومة إضافية، تجدر الإشارة عند هذه المرحلة إلى أنه بما أننا أوضحنا أن الدالة ﺩ ﺱ متصلة على فترة مغلقة، فإنه بتطبيق نظرية القيمة القصوى، نعلم أن الدالة ﺩ ﺱ ستكون لها قيمة عظمى وقيمة صغرى في الفترة المغلقة من سالب اثنين إلى خمسة. عند هذه المرحلة، نحن نعلم أنه لا بد من أن تكون هاتان القيمتان موجودتين. بما أن الدالة ﺩ ﺱ متصلة على فترة مغلقة، فإنه يمكننا إيجاد القيمة العظمى المطلقة والقيمة الصغرى المطلقة باتباع الخطوات الثلاث الآتية. علينا أولًا إيجاد النقاط الحرجة للدالة ﺩ ﺱ. وهي عندما تساوي قيمة المشتقة صفرًا، أو عندما تكون المشتقة غير موجودة.

علينا بعد ذلك إيجاد قيم الدالة ﺩ ﺱ عند النقاط الحرجة. وبعد ذلك، علينا إيجاد قيمتي الدالة ﺩ ﺱ عند طرفي الفترة. إذن، أكبر قيمة من بين هذه القيم ستكون القيمة العظمى المطلقة للدالة ﺩ ﺱ في الفترة، وأصغر قيمة ستكون القيمة الصغرى للدالة ﺩ ﺱ في الفترة. أول ما علينا فعله هو إيجاد النقاط الحرجة للدالة ﺩ ﺱ. علينا اشتقاق الجذر التربيعي لثلاثة ﺱ زائد ١٠. نحن نعلم أن الدالة ﺩ ﺱ دالة مركبة. لذا، علينا استخدام قاعدة السلسلة لاشتقاقها. سنساوي ﻉ بالدالة الداخلية ثلاثة ﺱ زائد ١٠. إذن، ﺩ ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ﻉ، وﻉﺱ يساوي ثلاثة ﺱ زائد ١٠. ‏ﺩ دالة في المتغير ﻉ، ومن ثم فإن ﻉ دالة في المتغير ﺱ.

تنص قاعدة السلسلة على أنه إذا كانت ﺩ دالة في المتغير ﻉ وﻉ بدورها دالة في المتغير ﺱ، فإن مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﻉ مضروبة في مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ. إذن، بتطبيق قاعدة السلسلة، نجد أن مشتقة الدالة ﺩ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة الجذر التربيعي لـ ﻉ بالنسبة إلى ﻉ مضروبة في مشتقة ثلاثة ﺱ زائد ١٠ بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا اشتقاق الجذر التربيعي لـ ﻉ بالنسبة إلى ﻉ باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. سنضرب في الأس، ثم نطرح واحدًا من الأس. بما أن الجذر التربيعي لـ ﻉ هو نفسه ﻉ أس نصف، فإن هذا يعطينا واحدًا مقسومًا على اثنين جذر ﻉ.

يمكننا أيضًا اشتقاق ثلاثة ﺱ زائد ١٠ باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. وهذا يعطينا ثلاثة. إذن، مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ثلاثة مقسومًا على اثنين جذر ﻉ. إننا نريد التعبير عن هذا بدلالة ﺱ. لذا سنعوض عن ﻉ بثلاثة ﺱ زائد ١٠ لتوضيح أن مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ثلاثة مقسومًا على اثنين في الجذر التربيعي لثلاثة ﺱ زائد ١٠. تذكر أننا نبحث عن نقاط في الفترة تكون فيها المشتقة تساوي صفرًا أو غير موجودة. نلاحظ أن الجذر التربيعي الموجب لثلاثة ﺱ زائد ١٠، إن وجد، سيساوي دائمًا عددًا أكبر من أو يساوي صفرًا. وهذا لأننا نأخذ الجذر التربيعي الموجب للعدد. إذا كان المقام يساوي صفرًا، فلن تكون المشتقة موجودة.

أما إذا كان الجذر التربيعي لثلاثة ﺱ زائد ١٠ موجبًا، فإن ضربه في اثنين سيعطينا عددًا موجبًا. وثلاثة مقسومًا على عدد موجب يعطينا عددًا موجبًا. نحن نعرف أن ﺱ سيكون أكبر من أو يساوي سالب اثنين وفقًا للفترة المعطاة. وهذا يعني أن ثلاثة ﺱ زائد ١٠ لن يساوي صفرًا أبدًا في هذه الفترة. لذا، لا بد من أن تكون المشتقة خارج قسمة عددين موجبين، وهذا يعني أنها ستكون موجبة. إذن، في الفترة التي لدينا، لن تكون المشتقة مساوية لصفر أبدًا. وفي الواقع، إذا كانت المشتقة خارج قسمة عددين موجبين، فهذا يعني أنها ستكون دائمًا موجودة في هذه الفترة. هذا يوضح لنا أنه ليست هناك نقاط حرجة للدالة في هذه الفترة. وهذا يعني أنه يمكننا تخطي الخطوة الثانية لأنه لا توجد نقاط حرجة لإيجاد قيمة الدالة عندها.

والآن سنوجد قيمتي ﺩ ﺱ عند طرفي الفترة. قيمة ﺩ عند سالب اثنين تساوي الجذر التربيعي لثلاثة في سالب اثنين زائد ١٠، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لأربعة؛ أي اثنين. وقيمة ﺩ عند خمسة تساوي الجذر التربيعي لثلاثة في خمسة زائد ١٠، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٥ ؛ أي خمسة. وبما أن الدالة متصلة على هذه الفترة المغلقة، إذن يجب أن تكون قيمتها الصغرى اثنين في هذه الفترة، وقيمتها العظمى خمسة في هذه الفترة.

إذن، لقد أوضحنا أن الدالة ﺩ ﺱ تساوي الجذر التربيعي لثلاثة ﺱ زائد ١٠ ؛ حيث ﺱ ينتمي إلى الفترة المغلقة من سالب اثنين إلى خمسة، لها قيمة صغرى مطلقة وهي اثنان وقيمة عظمى مطلقة وهي خمسة.