نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد ثلاثة قياسات للنزعة المركزية، أو المتوسط. وتتمثل هذه القياسات في الوسط الحسابي والوسيط والمنوال. وسوف نبدأ بتعريف المصطلحات الثلاثة. وبعدها سوف نتناول بعض الأسئلة؛ حيث سنحسب الوسط الحسابي والوسيط والمنوال من مجموعة بيانات.
سوف نبدأ بتعريف الوسط الحسابي. لكي نحسب الوسط الحسابي لمجموعة بيانات عددية، نجمع قيم البيانات كلها ثم نقسم المجموع على عدد القيم الموجودة في مجموعة البيانات. على سبيل المثال، إذا كان لدينا مجموعة الأعداد: أربعة، وثلاثة، وسبعة، وستة، وخمسة؛ فإننا نجمع جميع القيم أولًا وهو ما يعطينا ٢٥ إجمالًا. وبما أن لدينا خمس قيم، إذن فالوسط الحسابي يساوي ٢٥ مقسومًا على خمسة، وهو ما يساوي خمسة.
لنتناول الآن الوسيط. لإيجاد الوسيط لمجموعة بيانات، نتبع خطوتين. أولًا، نرتب البيانات تبعًا لقيمها تصاعديًا أو تنازليًا. وثانيًا، نحصي عدد القيم. إذا كان عدد القيم عددًا فرديًا، فإن الوسيط عندئذ يكون هو القيمة الوسطى. وإذا كان عدد القيم زوجيًا، فإن الوسيط يكون هو الوسط الحسابي للقيمتين في مركز مجموعة البيانات بعد ترتيبها.
لننظر إلى مجموعة الأعداد: أربعة، وتسعة، وثمانية، وستة، وثلاثة. نرتب هذه الأعداد تصاعديًا من الأصغر إلى الأكبر لتصبح: ثلاثة، وأربعة، وستة، وثمانية، وتسعة. وبما أنه يوجد خمسة أعداد في المجمل، إذن يكون الوسيط هو العدد الثالث في الترتيب التصاعدي، وهو العدد ستة في هذه الحالة. وإذا كانت مجموعة البيانات لدينا تحتوي على العدد ١٠ بالإضافة لما لدينا، فإن الترتيب التصاعدي لمجموعتنا يصبح: ثلاثة، وأربعة، وستة، وثمانية، وتسعة، و١٠. في هذه المرة، مجموعة البيانات لدينا تتكون من عدد زوجي من القيم، ومن ثم يوجد عددان في المنتصف، وهما: ستة، وثمانية. يمكن حساب الوسيط عن طريق إيجاد نقطة المنتصف لهاتين القيمتين، أو الوسط الحسابي لهاتين القيمتين. وفي هذه الحالة تكون الإجابة هي سبعة.
وأخيرًا، لنتناول تعريف المنوال. المنوال هو القيمة أو القيم الأكثر شيوعًا أو الأكثر تكرارًا. ونسميه أحيانًا بالقيمة المنوالية. إذا نظرنا إلى مجموعة البيانات: أربعة، وسبعة، وستة، وسبعة، وثمانية، واثنان؛ فإننا نلاحظ أن العدد سبعة يظهر مرتين. ومن ثم، فإنه يمثل المنوال أو القيمة المنوالية. قد تحتوي مجموعة البيانات على منوال واحد أو أكثر من منوال أو قد لا تحتوي على أي منوال على الإطلاق. وإذا كانت مجموعة البيانات تحتوي على منوالين، فإننا نقول إنها ثنائية المنوال.
لا يمكن أن تحتوي مجموعة البيانات إلا على وسط حسابي واحد، ووسيط واحد. وعلى الرغم من أنه يوجد أنواع كثيرة من الأوساط، فإن النوع الذي نستخدمه هنا يسمى الوسط الحسابي، وهو الأكثر شيوعًا. والآن سنلقي نظرة على سؤال حيث سنحسب الوسط الحسابي، والوسيط، والمنوال؛ لمجموعة بيانات.
الدرجات المسجلة في اختبار للرياضيات هي ٨٦ و٨٠ و٧٦ و٦٨ و٧٣ و٨٥ و٧٤ و٧٠ و٧١ و٧٠. أوجد الوسط الحسابي والوسيط والمنوال لمجموعة البيانات.
نتذكر هنا أنه لحساب الوسط الحسابي من مجموعة بيانات، ينبغي لنا أولًا أن نجمع جميع القيم. وفي هذا السؤال، يعني هذا مجموع درجات الاختبار. وينبغي بعدها أن نقسم هذا المجموع على عدد القيم، وهو ١٠ في حالتنا هذه. مجموع الدرجات يساوي ٧٥٣. ٧٥٣ مقسومًا على ١٠ يساوي ٧٥٫٣. وهذا يعني أن الوسط الحسابي للدرجات يساوي ٧٥٫٣ درجة.
يمكننا حساب الوسيط عن طريق إيجاد القيمة الوسطى. وقبل فعل ذلك، علينا ترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر أو من الأكبر إلى الأصغر. وفقًا للترتيب التصاعدي، تكون الدرجات هي: ٦٨، و٧٠، و٧٠، و٧١، و٧٣، و٧٤، و٧٦، و٨٠، و٨٥، و٨٦. ونظرًا لأنه يوجد عدد زوجي من القيم، وهو ١٠ في حالتنا هذه، فإنه يوجد عددان أوسطان. وهما ٧٣، و٧٤. يمثل الوسيط القيمة الواقعة في المنتصف بين هذين العددين، أو بعبارة أخرى الوسط الحسابي للعددين. وهذا يساوي ٧٣٫٥. ومن ثم، فإن الدرجة الوسيطة هي ٧٣٫٥.
أما المنوال، فهو القيمة أو القيم الأكثر تكرارًا في مجموعة البيانات لدينا. وفي هذا السؤال، تظهر ثماني قيم مرة واحدة، بينما يظهر العدد ٧٠ مرتين. ونظرًا لأن العدد ٧٠ يتكرر أكثر من أي قيمة أخرى، فإن العدد ٧٠ يمثل منوال الدرجات. إذن، في مجموعة البيانات هذه، الوسط الحسابي ٧٥٫٣، والوسيط ٧٣٫٥، والمنوال ٧٠.
والآن سنلقي نظرة على سؤال آخر حيث سنحسب الوسط الحسابي والوسيط والمنوال في أحد التمثيلات البيانية بالأعمدة.
يوضح هذا التمثيل البياني بالأعمدة العضوية السنوية في نادي علم الإنسان الآلي من عام ٢٠٠١ إلى عام ٢٠٠٥. أوجد الوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى للبيانات.
نلاحظ من خلال هذا التمثيل البياني بالأعمدة أن لدينا خمس قيم وهي: ٤٩، و٣١، و٣١، و٢٩، و٥٠. تمثل هذه الأعداد عدد الأعضاء في كل عام من عام ٢٠٠١ إلى عام ٢٠٠٥. مطلوب منا في الجزء الأول من السؤال أن نحسب الوسط الحسابي. لإيجاد الوسط الحسابي لمجموعة من القيم، نوجد مجموع القيم أولًا. وفي هذه الحالة، نجمع ٤٩ و٣١ و٣١ و٢٩ و٥٠. ثم نقسم هذا المجموع على عدد القيم، وهو خمسة هنا. مجموع القيم يساوي ١٩٠. نقسم هذا المجموع على خمسة. وهذا يساوي ٣٨. إذن، الوسط الحسابي لعدد الأعضاء هو ٣٨.
مطلوب منا في الجزء الثاني من السؤال إيجاد قيمة الوسيط. وفي سبيل ذلك، نرتب القيم أولًا تصاعديًا أو تنازليًا. الوسيط هو القيمة الوسطى. وبما أن لدينا خمس قيم هنا، فإن الوسيط سيكون القيمة الثالثة. ومن ثم، يكون الوسيط لعدد أعضاء النادي هو ٣١.
علينا بعد ذلك حساب المنوال. وهو يمثل العدد الأكثر شيوعًا أو الأكثر تكرارًا. تظهر الأعداد ٤٩ و٢٩ و٥٠ مرة واحدة، في حين يظهر العدد ٣١ مرتين. ويعني ذلك أن ٣١ هو المنوال لمجموعة البيانات هذه.
وأخيرًا، طلب منا أيضًا حساب المدى. وهو أكبر قيمة ناقص أصغر قيمة. نظرًا لأن أكبر قيمة هي ٥٠، وأصغر قيمة هي ٢٩؛ فعلينا طرح ٢٩ من ٥٠. وهو ما يساوي ٢١. الوسط الحسابي، والوسيط، والمنوال، والمدى لأعضاء نادي علم الإنسان الآلي هي: ٣٨، و٣١، و٣١، و٢١، على التوالي.
والآن نتناول سؤالًا مطلوب منا فيه تحديد مجموعة بيانات من خلال المنوال والوسيط المعطيين.
أي مجموعة من مجموعات البيانات التالية لها منوال قيمته ٤٨ ووسيط قيمته ٢٠. (أ) ٤٨ و٢١ و١١ و٤٨ و٢٠ و١٧. (ب) ٢١ و٤٨ و١٩ و٤٨ و١٧ و١١. (ج) ٤٧ و٤٧ و١١ و٤٨ و٢٠ و١٧. (د) ١٠ و١٦ و١٩ و٢١ و٤٧ و٤٧. (هـ) ٢٠ و٤٨ و٤٨ و١١ و١١ و١٩.
نتذكر أن المنوال هو القيمة الأكثر تكرارًا. ومن ثم، علينا إيجاد مجموعة بيانات بحيث يكون فيها العدد ٤٨ هو العدد الأكثر شيوعًا أو الأكثر تكرارًا. لا تحتوي المجموعة (د) على العدد ٤٨. ولذا، لا يمكن أن تكون تلك هي الإجابة الصحيحة. وعلى الرغم من أن المجموعة (ج) تحتوي على ٤٨، فإن العدد ٤٧ يظهر فيها مرتين. ومن ثم، فإن منوال المجموعة (ج) هو ٤٧. وعليه، نستبعد هذا الخيار كإجابة صحيحة.
تتضمن المجموعة (هـ) ٤٨ مرتين، إلا أنها تشتمل على ١١ مرتين كذلك. وهو ما يعني أنها ذات منوالين، أو أنها ثنائية المنوال. إنها تتضمن المنوال ١١ و٤٨. وهذا يعني كذلك أن الخيار (هـ) غير صحيح. يحتوي كلا الخيارين (أ) و (ب) على ٤٨ مرتين. وهذه هي القيمة الأكثر تكرارًا في كلتا مجموعتي البيانات. وهو ما يعني أن منوال كلتيهما هو ٤٨.
لنفكر الآن في المعلومة الثانية في المعطيات لدينا. يجب أن يكون وسيط مجموعة البيانات هو ٢٠. نعرف أن الوسيط هو القيمة الوسطى عند ترتيب الأعداد تصاعديًا أو تنازليًا. وعند ترتيب مجموعات البيانات هذه، نلاحظ أنها تحتوي على عدد زوجي من القيم، وهو ستة في حالتنا هذه. وذلك يعني أنه يوجد عددان أوسطان في المجموعة (أ)؛ ٢٠ و٢١، وفي المجموعة (ب)؛ ١٩ و٢١.
يمكن حساب الوسيط عن طريق إيجاد الوسط الحسابي لهاتين القيمتين. وذلك مماثل تمامًا لإيجاد نقطة المنتصف للقيمتين. الوسط الحسابي لكل من ٢٠ و٢١ هو ٢٠٫٥. والوسط الحسابي لكل من ١٩ و٢١ هو ٢٠. وذلك يعني أن وسيط المجموعة (أ) هو ٢٠٫٥، ووسيط المجموعة (ب) هو ٢٠. ومن ثم، يمكننا استبعاد المجموعة (أ). إذن، مجموعة البيانات التي لها المنوال ٤٨ والوسيط ٢٠ هي المجموعة (ب): ٢١، و٤٨، و١٩، و٤٨، و١٧، و١١.
سوف نرى في السؤال التالي ماذا يحدث للوسط الحسابي والوسيط والمنوال عند حذف إحدى قيم البيانات.
في الشهر الماضي، كانت درجات سامح في اختبار اللغة الإنجليزية ٨٢ و٦١ و٨٦ و٨٢. إذا حذفت أقل درجة حصل عليها، فأي مما يلي سيزداد؟ هل هو: (أ) الوسط الحسابي، أم (ب) الوسيط، أم (ج) المنوال؟
للإجابة عن هذا السؤال، يمكننا حساب الوسط الحسابي والوسيط والمنوال قبل حذف الدرجة وبعده. ولحساب الوسط الحسابي من إحدى مجموعات البيانات، ينبغي لنا أولًا جمع جميع القيم، وهي في حالتنا هذه ٨٢، و٦١، و٨٦، و٨٢. وبعدها، نقسم هذا المجموع على عدد القيم وهو أربعة في حالتنا هذه. مجموع درجات سامح يساوي ٣١١. بقسمة هذا على أربعة، نحصل على الوسط الحسابي ٧٧٫٧٥.
حذفت أقل درجة حصل عليها سامح. وهي ٦١. ولحساب الوسط الحسابي بعد حذف هذه الدرجة، نجمع ٨٢ و٨٦ و٨٢ ثم نقسم المجموع على ثلاثة. وهو ما يساوي ٨٤٫٦ دوري. عندما حذفت أقل درجة حصل عليها سامح، زاد وسطه الحسابي من ٧٧٫٧٥ إلى ٨٤٫٦ دوري. ويشير ذلك إلى أن الوسط الحسابي هو الإجابة الصحيحة. وعلى الرغم من ذلك، يجدر بنا التحقق من زيادة أو نقصان الوسيط والمنوال.
لإيجاد الوسيط، نرتب القيم من الأصغر إلى الأكبر أو من الأكبر إلى الأصغر. ثم نوجد العدد الأوسط. ونظرًا لأنه يوجد عدد زوجي من القيم، يوجد عددان أوسطان. وبما أن كليهما يساوي ٨٢، فإن الوسيط قبل حذف أقل درجة يساوي ٨٢. وبعد حذف أقل درجة، تصبح درجات سامح ٨٢، و٨٢، و٨٦. وهذا يعني أن الوسيط يساوي ٨٢ مجددًا. ومن ثم، لم يزدد وسيط درجات سامح.
المنوال هو القيمة الأكثر تكرارًا. في كلتا الحالتين، قبل حذف أقل درجة وبعده، كان المنوال ٨٢. ذلك لأن الدرجة ٨٢ تكررت أكثر من أي درجة أخرى. ولذا، نستنتج أنه عندما حذفت أقل درجات سامح لم يتغير الوسيط والمنوال، وزاد الوسط الحسابي.
ويتمثل سؤالنا الأخير في إنشاء مجموعة بيانات بمعلومية مداها ووسيطها ومنوالها.
مجموعة من أربعة أعداد مداها هو سبعة ووسيطها ١٣ ومنوالها ١٦. إذا كان أكبر عدد يمثل المنوال أيضًا، فما الأعداد الأربعة؟
نعلم أنه يوجد أربعة أعداد في مجموعة بيانات. لنفكر فيها بترتيب تصاعدي من اليمين إلى اليسار. علمنا أن المنوال هو ١٦، وأن أكبر عدد هو أيضًا المنوال. وبما أن المنوال هو العدد الأكثر تكرارًا أو الأكثر شيوعًا، فيجب أن يكون لدينا ١٦ مرتين في المربعين الأخيرين.
علمنا أن الوسيط يساوي ١٣. وبما أن الوسيط هو القيمة الوسطى، ويوجد عددان أوسطان، فلا بد أن يقع كل من هذين العددين على مسافة متساوية من ١٣. العددان في وسط مجموعة البيانات لدينا هما: ١٠، و١٦؛ حيث إن وسطهما الحسابي هو ١٣. علمنا أن المدى يساوي سبعة. ويمثل هذا الفرق بين أكبر عدد وأصغر عدد. ١٦ ناقص سبعة يساوي تسعة. إذن، العدد الأصغر هو تسعة. وبذلك، تكون المجموعة المكونة من أربعة أعداد هي: تسعة، و١٠، و١٦، و١٦.
والآن دعونا نلق نظرة على بعض النقاط الرئيسية الواردة في هذا الفيديو. يمكننا حساب الوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى من مجموعة بيانات. لا يمكن أن تحتوي مجموعة البيانات إلا على وسط حسابي واحد ووسيط واحد. ولكن، يمكن أن تحتوي مجموعة البيانات على منوال واحد أو أكثر أو قد لا تحتوي على أي منوال على الإطلاق. وعلى الرغم من أنه يوجد الكثير من أنواع الأوساط، فإن النوع الذي استخدمناه يسمى الوسط الحسابي، وهو كذلك الأكثر شيوعًا. في هذا الفيديو، حسبنا المتوسطات من مجموعة بيانات. كما يمكننا حسابها من الجداول التكرارية ذات البيانات المنفصلة والجداول التكرارية ذات المجموعات.
