فيديو: انحراف جسم معلَّق نتيجة التسارع

يتدلَّى ميزان خيط من سقف عربة قطار. تسير العربة في مسار دائري نصف قطره 228m وبسرعة 63km/h. ما قياس الزاوية من الرأسي التي يتدلَّى بها ميزان الخيط عندما تسير العربة في المسار الدائري؟

٠٤:٣٢

‏نسخة الفيديو النصية

يتدلّى ميزان خيط من سقف عربة قطار. تسير العربة في مسار دائري نصف قُطره ميتين تمنية وعشرين متر، وبسرعة تلاتة وستين كيلومتر على الساعة. ما قياس الزاوية من الرأسي التي يتدلَّى بها ميزان الخيط عندما تسير العربة في المسار الدائري؟

ففيه عندنا قَطر بيتحرّك بسرعة خطّية بتساوي تلاتة وستين كيلومتر على الساعة. وماشي في مسار دائري نصف قُطره بيساوي ميتين تمنية وعشرين متر. جوّه القَطر ده فيه ميزان خيط متعلّق من السقف، ولكن مش هنعرف نشوف القوى المؤثّرة عليه من فوق كده. فإحنا هنبصّ على القَطر من الناحية دي كده. فزيّ لمّا بنكون في عربية ماشية بسرعة وبتلفّ في ناحية الشمال، بنلاقي نفسنا بنيجي ناحية اليمين. هنلاقي إن الكورة عملت كده بالظبط؛ لمّا القَطر كان بيلفّ ناحية الشمال، الكورة جَت ناحية اليمين. وده بسبب إن الكورة بتحاول تحافظ على كمّيّة الحركة بتاعتها في خطّ مستقيم. ولكن الخيط ده عامل عليها قوّة شدّ؛ علشان تلفّ مع القَطر. فهنلاقي إن الكورة عملت زاوية مع الرأسي؛ عشان بتحاول تقاوم الدوران بتاع القَطر وتكمّل في خطّ مستقيم. فالمطلوب منّنا دلوقتي إن إحنا نعرف الزاوية دي، واللي هنسمّيها 𝜃.

ففي الأول هنبصّ على القوى اللي بتأثّر على ميزان الخيط. فهنلاقي بيأثّر عليه قوة الجاذبية، اللي هي بتساوي كتلة الجسم في عجلة الجاذبية. وبيأثّر عليها كمان قوة الشدّ بتاعة الحبل. فلمّا نبصّ على قانون نيوتن التاني، اللي بيقول: إن مجموع القوى المؤثّرة على جسم كمتجهات بتساوي كتلة الجسم في عجلة الجسم كمتجه. نقدر نحلّل القانون ده للاتجاهين بتوعنا، اللي هو الرأسي والأفقي. وهنسمّي الاتجاه الأفقي 𝑥، والاتجاه الرأسي 𝑦. فهنلاقي إن قانون نيوتن بقى مجموع القوى اللي في اتجاه 𝑥 بتساوي الكتلة في العجلة اللي في اتجاه 𝑥. ومجموع القوى اللي في اتجاه 𝑦 بتساوي الكتلة في العجلة في اتجاه الـ 𝑦.

فعلشان نعرف نستخدم القانونين دول، هنحتاج الأول نحلّل قوّة الشدّ في اتجاه الـ 𝑥 والـ 𝑦. فهنلاقي إن الزاوية دي 𝜃 برضو. فكده نقدر نقول: إن المركّبة الرأسية للشدّ بتساوي 𝑇 cos 𝜃. والمركّبة الأفقية بتساوي 𝑇 sin 𝜃. فلمّا نيجي نبصّ للاتجاه 𝑥، هنلاقي ما فيهوش أيّ قوى غير 𝑇 sin 𝜃. فده معناه إن قانون نيوتن التاني في اتجاه 𝑥 بقى 𝑇 sin 𝜃 بتساوي 𝑚 في 𝑎 𝑥. ولمّا نيجي نبصّ للاتجاه الرأسي للقوى، فهنلاقي إن فيه 𝑇 cos 𝜃 لفوق وَ 𝑚 𝑔 لتحت. والجسم هنا ما بيتحرّكش لا لفوق ولا لتحت. فنقدر نقول: إن العجلة بتاعته في اتجاه الـ 𝑦 بتساوي صفر.

فهنلاقي إن قانون نيوتن التاني في اتجاه الـ 𝑦 بقى 𝑇 cos 𝜃 ناقص 𝑚 𝑔 بيساوي صفر. فلو زوّدنا 𝑚 𝑔 في الطرفين، وبعدين قسمنا الطرفين على cos 𝜃، هنلاقي إن الـ 𝑇 بتساوي 𝑚 𝑔 على cos 𝜃. فلمّا نعوّض بالـ 𝑇 في المعادلة واحد ونحطّها في الـ 𝑇 في المعادلة اتنين. هنقدر كده نطلّع معادلة بتقول: إن 𝑚 𝑔 على cos 𝜃 في sin 𝜃 بتساوي 𝑚 في 𝑎 𝑥. والعجلة 𝑎 𝑥 دي هي العجلة اللي بتخلّي الكورة تلفّ، اللي إحنا بنسمّيها العجلة المركزية. ومن غير العجلة المركزية دي ما كانش الجسم بتاعنا، اللي هو القَطر أو كرة الخيط، كانوا هيدورا. رغم إن سرعتهم كمقدار ما بتتغيّرش، ولكن اتجاه سرعتهم بيتغيّر كل ما يلفّوا.

والعجلة المركزية دي، اللي هي بتخلّي الجسم يدور، هي عبارة عن 𝑉 تربيع، اللي هي السرعة الخطّية بتاعة الجسم، مقسومة على 𝑟، اللي هي نصف القطر بتاع الدوران. فلمّا نعوّض بالعجلة المركزية دي في المعادلة بتاعتنا، هنلاقي إن 𝑚 𝑔 على cos 𝜃 في sin 𝜃 بتساوي 𝑚 𝑉 تربيع على 𝑟. ونقدر نختصر الـ 𝑚 مع الـ 𝑚، ونقسم طرفين المعادلة على 𝑔، فهنلاقي إن sin 𝜃 على cos 𝜃 بتساوي 𝑉 تربيع على 𝑟 𝑔، وَ sin 𝜃 على cos 𝜃 دي بتساوي tan 𝜃. فنقدر كده نشيلها ونحطّ مكانها tan 𝜃. وبعدين هناخد الدالة العكسية للـ tan للطرفين، فهنلاقي إن المعادلة بقت 𝜃 بتساوي الدالة العكسية للـ tan في 𝑉 تربيع على 𝑟 𝑔.

فنقدر كده نعوّض بالقيم بتاعتهم ونطلّع الـ 𝜃. فهنلاقي إن 𝜃 بتساوي الدالة العكسية للـ tan لتلاتة وستين كيلومتر على الساعة تربيع؛ مقسومة على، ميتين تمنية وعشرين متر مضروبة في تسعة وتمنية من عشرة متر عَ الثانية تربيع. فهنحوّل الكيلومتر لمتر عن طريق إننا نضرب في عشرة أُس تلاتة. والساعة ممكن نحوّلها لستين في ستين ثانية. فهنلاقي إن المقام بقى بيساوي تلاتة وستين في عشرة أُس تلاتة على، ستين في ستين متر على الثانية تربيع. فنقدر كده نحسب الـ 𝜃، ونطلّع إن الزاوية بتساوي سبعة وتمنية من العشرة درجة.

وبكده نبقى عرفنا نجيب زاوية مَيَلان ميزان خيط موجود جوّه قَطر بيلفّ في مسار دائري.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.