فيديو السؤال: إيجاد مساحة دائرة ومحيطها بمعلومية قوة نقطة فيها الرياضيات

دائرة مركزها ﻡ والنقطة ﺃ يحققان ﻡﺃ = ٢٨ سم، ﻕ_(ﻡ) (ﺃ) = ٤. باستخدام ‏𝜋‏ = ٢٢‏/‏٧، أوجد مساحة الدائرة ومحيطها لأقرب عدد صحيح.

٠٥:٠٣

‏نسخة الفيديو النصية

دائرة مركزها ﻡ والنقطة ﺃ يحققان ﻡﺃ يساوي ٢٨ سنتيمترًا، وﻕﻡﺃ يساوي أربعة. باستخدام ‏𝜋‏ يساوي ٢٢ على سبعة، أوجد مساحة الدائرة ومحيطها لأقرب عدد صحيح.

يشير الرمز ﻕﻡﺃ إلى نظرية قوة النقطة. لنتناول أولًا الدائرة التي لدينا ونوضح علاقة هذه النظرية بها. نعلم من المعطيات أن لدينا دائرة مركزها ﻡ والنقطة ﺃ. ونعلم أيضًا أن طول ﻡﺃ يساوي ٢٨ سنتيمترًا. إذا مددنا الخط ﺃﻡ، فسيصبح لدينا نقطتان على خط الدائرة، وهما ﺏ وﺟ. لأي خط من هذا النوع، تنص نظرية قوة النقطة على أن قوة النقطة تساوي ﺃﺏ مضروبًا في ﺃﺟ.

طول كل من ﻡﺏ وﻡﺟ يساوي نصف قطر الدائرة. وسنطلق على ذلك نق. إذن، طول ﺃﺏ يساوي ﺃﻡ ناقص ﻡﺏ. وﺃﻡ يساوي ٢٨ سنتيمترًا، وﻡﺏ يساوي نق. إذن ﺃﺏ يساوي ٢٨ ناقص نق. يمكننا استخدام الطريقة نفسها لحساب طول ﺃﺟ. وهو يساوي ﺃﻡ زائد ﻡﺟ. مرة أخرى، ﺃﻡ يساوي ٢٨، وطول ﻡﺟ يساوي نق. ومن ثم، ﺃﺟ يساوي ٢٨ زائد نق. بالتعويض بهذين المقدارين في الصيغة التي لدينا، نحصل على ٢٨ ناقص نق في ٢٨ زائد نق. نعلم أن قوة النقطة تساوي أربعة. إذن هذا المقدار يساوي أربعة.

قد نلاحظ هنا أن الطرف الأيسر هو الفرق بين مربعين. إذا لم نلاحظ ذلك، يمكننا تفكيكه باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. ضرب أول حدين ٢٨ و٢٨ يعطينا ٧٨٤. أما ضرب الحدين الخارجيين، فيعطينا ٢٨نق. وضرب الحدين الداخليين يعطينا سالب ٢٨نق. وأخيرًا، ضرب آخر حدين يعطينا سالب نق تربيع.

يحذف الحدان الأوسطان؛ لأن ٢٨نق ناقص ٢٨نق يساوي صفرًا. وتصبح المعادلة أربعة يساوي ٧٨٤ ناقص نق تربيع. بطرح أربعة من طرفي هذه المعادلة، نحصل على صفر يساوي ٧٨٠ ناقص نق تربيع. يمكننا بعد ذلك إضافة نق تربيع إلى طرفي هذه المعادلة لنحصل على نق تربيع يساوي ٧٨٠. بأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نحصل على نق يساوي الجذر التربيعي لـ ٧٨٠. يكون هذا عادة موجبًا أو سالبًا. لكن بما أننا نتعامل مع طول، فلا بد أن يكون موجبًا، أي الجذر التربيعي لـ ٧٨٠.

يطلب منا السؤال حساب مساحة الدائرة ومحيطها. يمكن حساب مساحة أي دائرة بضرب ‏𝜋‏ في مربع نصف القطر. ويمكن حساب المحيط بضرب ‏𝜋‏ في القطر. وهذا يماثل ضرب اثنين ‏𝜋‏ في نصف القطر لأن القطر ضعف نصف القطر. إذا أفرغنا بعض المساحة، يمكننا الآن حساب هاتين القيمتين.

بما أن مربع نصف القطر يساوي ٧٨٠، فإن المساحة تساوي ‏𝜋‏ في ٧٨٠. في هذا السؤال، مطلوب منا استخدام ٢٢ على سبعة قيمة لـ ‏𝜋‏. بضرب هذا في ٧٨٠، نحصل على ٢٤٥١٫٤٢٨ وهكذا مع توالي الارقام. علينا تقريب هذا العدد لأقرب عدد صحيح. ننظر إلى الرقم الأول بعد العلامة العشرية. بما أن هذا الرقم أربعة، فسنقرب لأسفل. إذن مساحة الدائرة لأقرب عدد صحيح تساوي ٢٤٥١ سنتيمترًا مربعًا.

ويمكن حساب المحيط بضرب اثنين في ٢٢ على سبعة في جذر ٧٨٠. بكتابة ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على ١٧٥٫٥٥٠ وهكذا مع توالي الأرقام. هذه المرة، بما أن الرقم الموجود بعد العلامة العشرية خمسة، فسنقرب لأعلى. إذن محيط الدائرة لأقرب عدد صحيح يساوي ١٧٦ سنتيمترًا.

هذا يعني أن الإجابتين ٢٤٥١ سنتيمترًا مربعًا و١٧٦ سنتيمترًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.