فيديو: امتحان الإحصاء الدور الثاني للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثالث ب

امتحان الإحصاء الدور الثاني للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثالث ب

٠٥:٤٩

‏نسخة الفيديو النصية

الأجور الأسبوعية لعمال أحد المصانع موزَّعة توزيعًا طبيعيًّا بمتوسط خمسة وسبعين جنيهًا وانحراف معياري عشرة جنيهات. أوجد النسبة المئوية لعدد العمال الذين تتراوح أجورهم بين ستين جنيهًا وخمسة وثمانين جنيهًا.

يعني معطى عندنا إن الأجور موزعة توزيعًا طبيعيًّا، بمتوسط خمسة وسبعين جنيهًا. والمتوسط اللي هو 𝜇، فمعنى كده إن 𝜇 هي خمسة وسبعين. ومُعطى عندنا إن الانحراف المعياري عشرة جنيهات. والانحراف المعياري اللي هي 𝜎، فمعنى كده إن 𝜎 بتساوي عشرة. والمطلوب إننا نوجد النسبة المئوية لعدد العمال اللي بتتراوح أجورهم بين ستين جنيهًا وخمسة وتمانين جنيهًا.

وبما إن الأجور موزَّعة توزيعًا طبيعيًّا، فمعنى كده إننا عشان نوجد النسبة المئوية لعدد العمال اللي بتتراوح أجورهم بين ستين وخمسة وتمانين. يبقى عايزين نوجد ل س أكبر من ستين وأقل من خمسة وتمانين. اللي هو احتمال عدد العمال اللي تتراوح أجورهم بين ستين وخمسة وتمانين جنيه. وعشان نقدر نوجد قيمة الاحتمال ده، يبقى هنستخدم المنحنى الطبيعي المعياري. واللي بيبقى بالشكل ده، وهنستخدمه عشان نقدر نحدِّد المنطقة اللي بتمثّل الاحتمال ده. فبتبقى قيمة الاحتمال هي عبارة عن مساحة المنطقة تحت المنحنى، اللي بتمثّل الاحتمال ده. وبنقدر نوجدها من جدول المساحات.

وهنلاحظ إن المتغيّر اللي عندنا هنا اللي هو س، هو متغيّر عشوائي طبيعي. فعشان نقدر نستخدم جدول المساحات أسفل المنحنى الطبيعي المعياري، يبقى محتاجين إننا نحوّل س إلى ص، اللي هو المتغيّر العشوائي الطبيعي المعياري. وبنقدر نوجد ص باستخدام العلاقة: ص بتساوي س ناقص 𝜇 الكل على 𝜎. فبالتالي لما نيجي نكتب الاحتمال ده باستخدام ص بدلًا من س، هيبقى بيساوي: ل ص أكبر من … وهنيجي عند ستين هنطرح منها 𝜇 اللي هي خمسة وسبعين، وهنقسم الكل على 𝜎 اللي هي عشرة. يعني هتبقى ل ص أكبر من ستين ناقص خمسة وسبعين الكل على عشرة، وأقل من … وهنيجي عند خمسة وتمانين وهنطرح منها خمسة وسبعين، وهنقسم الكل على عشرة. فهيبقى عندنا خمسة وتمانين ناقص خمسة وسبعين الكل على عشرة.

بعد كده هنحسب قيمة المقدار ده وقيمة المقدار ده، فهيبقى الاحتمال هو: ل ص أكبر من سالب واحد وخمسة من عشرة وأقل من واحد.

بعد كده هنيجي عند المنحنى الطبيعي المعياري، وهنبدأ نحدد المنطقة اللي بتمثّل الاحتمال ده. ‏فهنبدأ نحدّد على المنحنى سالب واحد وخمسة من عشرة، واللي هتبقى بتقع هنا. وأما واحد فهيبقى على المنحنى هنا. فبالتالي هتبقى المنطقة تحت المنحنى اللي بتمثّل الاحتمال ده هي المنطقة المظلّلة دي. فبالتالي عشان نقدر نوجد قيمة الاحتمال ده، يبقى عايزين نوجد مساحة المنطقة المظلّلة. وهنقدر نوجد مساحة المنطقة باستخدام جدول المساحات أسفل المنحنى الطبيعي المعياري.

لكن خلينا ناخد بالنا من حاجة مهمة، إن علشان نستخدم جدول المساحات، لازم الاحتمال يكون مكتوب بالشكل ده: ل ص أكبر من صفر وأقل من العدد اللي عندنا. يعني معنى كده إننا عايزين نوجد احتمال فترة بتبدأ من الصفر. يعني معنى كده إننا عشان نقدر نوجد قيمة الاحتمال من الجدول، لازم يكون بيبدأ من الصفر. فمعنى كده إننا هنقسّم المنطقة المظلّلة عندنا إلى جزئين. وأول جزء هو المنطقة اللي بتقع بين صفر وواحد. وأما الجزء التاني فهو المنطقة اللي بتقع بين سالب واحد وخمسة من عشرة وصفر. فبالتالي هيبقى الاحتمال ده بيساوي ل ص أكبر من صفر وأقل من واحد وخمسة من عشرة، زائد ل أكبر من صفر وأقل من واحد. وهنلاحظ إننا كتبنا هنا الاحتمال ده واحد وخمسة من عشرة موجبة وليست سالبة؛ وده لأن المنحنى بيكون متماثل حول المحور الرأسي.

يعني معنى كده إن مساحة المنطقة من سالب واحد وخمسة من عشرة إلى صفر، هي هي مساحة المنطقة من صفر إلى واحد وخمسة من عشرة.

بعد كده هنستخدم جدول المساحات عشان نقدر نوجد قيمة الاحتمالات دي. فبيبقى عندنا جدول بالشكل ده. فنبدأ في الأول نوجد مساحة الاحتمال ده؛ عن طريق إننا ندوّر في الجدول على واحد وخمسة من عشرة. فهنيجي عند أول عمود اللي هنا، وهنبدأ ندور على واحد وخمسة من عشرة. فهنلاحظ إن هي بتقع هنا مثلًا. فهتبقى قيمة الاحتمال اللي بندوّر عليه موجودة في واحدة من الخانات اللي في الصف ده.

وعشان نقدر نحدّد العمود اللي موجود فيه القيمة اللي بندوّر عليها، يبقى هنشوف الأجزاء من مية اللي عندنا. وبما إن العدد هو واحد وخمسة من عشرة، فيبقى الأجزاء من مية هي صفر. يعني في العمود الأول؛ لأن الصف ده بيبقى مكتوب فيه الأجزاء من مائة. وبالتالي هتبقى قيمة الاحتمال ده هي القيمة اللي مكتوبة عندنا هنا في الجدول. وبالنظر إلى الجدول هنلاحظ إن مكتوب عندنا في الخانة دي أربع آلاف تلتمية اتنين وتلاتين من عشر آلاف، زائد … وبنفس الطريقة اللي دورنا بيها في الجدول هنبدأ نوجد قيمة الاحتمال ده. فبالنظر إلى الجدول هيبقى بيساوي تلات آلاف ربعمية وتلتاشر من عشر آلاف. بعد مدة هنحسب قيمة المقدار ده، فهيبقى بيساوي سبع آلاف سبعمية خمسة وأربعين من عشر آلاف. فبالتالي هيبقى هو ده احتمال عدد العمال اللي بتتراوح أجورهم بين ستين وخمسة وتمانين جنيه.

لكن المطلوب في السؤال إننا نوجد النسبة المئوية لعدد العمال. فبالتالي هتبقى النسبة المئوية بتساوي سبع آلاف سبعمية خمسة وأربعين من عشر آلاف في مية. فلما نحسبها هتبقى بتساوي سبعة وسبعين وخمسة وأربعين من مية في المية. فبالتالي هتبقى هي دي النسبة المئوية لعدد العمال اللي بتتراوح أجورهم بين ستين جنيهًا وخمسة وتمانين جنيهًا. وهتبقى هي دي إجابة السؤال.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.