فيديو السؤال: إيجاد معادلة المماس لمنحنى دالة مثلثية عند نقطة الرياضيات

أوجد معادلة المماس للمنحنى ﺹ = ٧ جتا ﺱ − ٣ قا ﺱ عند ﺱ = 𝜋‏/‏٦.

٠٨:٤٢

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة المماس للمنحنى ﺹ يساوي سبعة جتا ﺱ ناقص ثلاثة قا ﺱ عند ﺱ يساوي 𝜋 على ستة.

يخبرنا هذا السؤال أن المنحنى ﺹ يساوي دالة ما في المتغير ﺱ. وعلينا إيجاد معادلة المماس لهذا المنحنى عند النقطة التي عندها ﺱ يساوي 𝜋 على ستة. لنبدأ بتذكر كيفية إيجاد معادلة خط المماس للمنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ. في البداية، نتذكر أن معادلة أي خط يمر بالنقطة ﺹ واحد، ﺱ واحد بميل ﻡ هي ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد. بعد ذلك، علينا أن نتذكر أن خط مماس المنحنى عند نقطة ما يجب أن يكون له نفس ميل المنحنى عند تلك النقطة. بعبارة أخرى، إذا افترضنا أن المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ، فإن ميل خط المماس ﻡ يجب أن يكون هو نفسه ميل ﺩﺱ عند ﺱ يساوي 𝜋 على ستة.

إذن لإيجاد ميل خط المماس، سيكون علينا اشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وتلك هي مشتقة سبعة جتا ﺱ ناقص ثلاثة قا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا إيجاد قيمة هذه المشتقة حدًا تلو الآخر. أولًا، نتذكر أن مشتقة جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب جا ﺱ. لذا، إذا ضربنا ذلك في سبعة، فسنجد أن مشتقة سبعة جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب سبعة جا ﺱ.

يمكننا إجراء الطريقة نفسها لاشتقاق الحد الثاني. علينا تذكر نتيجة مشتقة مقلوب الدالة المثلثية التالية. مشتقة قا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي قا ﺱ في ظا ﺱ. ومن ثم، بضرب ذلك في سالب ثلاثة، نحصل على مشتقة سالب ثلاثة قا ﺱ تساوي سالب ثلاثة قا ﺱ في ظا ﺱ. نحن جاهزون الآن لإيجاد ميل خط المماس عند ﺱ يساوي 𝜋 على ستة. كل ما علينا فعله هو التعويض بـ ﺱ يساوي 𝜋 على ستة في المقدار الذي يعبر عن ﺩﺹ على ﺩﺱ. بالتعويض بـ ﺱ يساوي 𝜋 على ستة في التعبير الدال على ﺩﺹ على ﺩﺱ، نجد أن ميل خط المماس ﻡ يساوي سالب سبعة في جا 𝜋 على ستة ناقص ثلاثة في قا 𝜋 على ستة مضروبًا في ظا 𝜋 على ستة.

ولإيجاد قيمة هذا المقدار، قد يكون من المفيد أن نتذكر المتطابقة المثلثية التالية. ‏‏قا 𝜃 يساوي واحدًا مقسومًا على جتا 𝜃 لأي قيمة لـ 𝜃. ولذلك، يكون الضرب في قا 𝜋 على ستة هو نفسه القسمة على جتا 𝜋 على ستة. يمكننا الآن إيجاد قيمة هذا المقدار. أولًا، جا 𝜋 على ستة يساوي نصفًا. إذن الحد الأول يساوي سالب سبعة على اثنين. بعد ذلك، نجد في الحد الثاني أن الضرب في قا 𝜋 على ستة هو نفسه القسمة على جتا 𝜋 على ستة. وجتا 𝜋 على ستة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. وظا 𝜋 على ستة يساوي جذر ثلاثة على ثلاثة. ومن هذا نجد أن ﻡ يساوي سالب سبعة على اثنين ناقص ثلاثة في واحد على جذر ثلاثة على اثنين في جذر ثلاثة على ثلاثة. ويمكننا تبسيط هذا المقدار.

أولًا، لدينا ثلاثة مقسومًا على ثلاثة في الحد الثاني. وبالتالي، يمكننا تبسيط ذلك لنحصل على واحد. بعد ذلك، بدلًا من القسمة على الدالة جذر ثلاثة على اثنين، يمكننا الضرب في المقلوب اثنين مقسومًا على جذر ثلاثة. لذا من هذا نجد أن ﻡ يساوي سالب سبعة على اثنين ناقص اثنين على جذر ثلاثة مضروبًا في جذر ثلاثة. ويمكننا تبسيط ذلك بالطبع. جذر ثلاثة مقسومًا على جذر ثلاثة يساوي واحدًا. إذن، نجد أن ﻡ يساوي سالب سبعة على اثنين ناقص اثنين، وهو ما يمكن حسابه لنحصل على سالب ١١ مقسومًا على اثنين. وبعد أن أوجدنا قيمة ﻡ، كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد إحداثيات نقطة يمر بها خط المماس.

ولفعل ذلك، علينا فقط أن نتذكر أن خطوط المماس للمنحنى عند نقطة ما يجب أن تمر بهذه النقطة. إذن في هذه المسألة، يجب أن يمر خط المماس بالنقطة التي تقع على المنحنى، والتي عندها ﺱ يساوي 𝜋 على ستة. ونعرف مباشرة أن إحداثيات هذه النقطة هي الإحداثي ﺱ يساوي 𝜋 على ستة، والإحداثي ﺹ على المنحنى يساوي ﺩ 𝜋 على ستة عند ﺱ يساوي 𝜋 على ستة. وبالتالي، لا يتبقى لنا إلا التعويض بـ ﺱ يساوي 𝜋 على ستة في المنحنى. بالتعويض بـ ﺱ يساوي 𝜋 على ستة في المنحنى، نجد أن ﺹ واحد يساوي سبعة جتا 𝜋 على ستة ناقص ثلاثة قا 𝜋 على ستة. ويمكننا ببساطة إيجاد قيمة هذا المقدار.

أولًا، جتا 𝜋 على ستة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. بعد ذلك، نتذكر أن قا 𝜋 على ستة يساوي واحدًا مقسومًا على جتا 𝜋 على ستة. وقد شرحنا بالفعل أنه بدلًا من القسمة على جتا 𝜋 على ستة، وهو ما يساوي جذر ثلاثة على اثنين، يمكننا الضرب في المقلوب اثنين على جذر ثلاثة. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن ﺹ واحد يساوي سبعة في جذر ثلاثة على اثنين ناقص ثلاثة في اثنين على جذر ثلاثة. ويمكننا تبسيط ذلك. أولًا، سنقوم في الحد الثاني بإنطاق المقام. ولفعل ذلك، علينا ضرب كل من البسط والمقام في الجذر التربيعي لثلاثة. يمكننا بعد ذلك ضرب المقامين. الجذر التربيعي لثلاثة مضروبًا في الجذر التربيعي لثلاثة يساوي ثلاثة. لكن بعد ذلك نلاحظ أن لدينا ثلاثة مقسومًا على ثلاثة، وهو ما يساوي واحدًا بالطبع.

وبذلك، نكون قد بسطنا المقدار الذي يمثل ﺹ واحد. إنه يساوي سبعة جذر ثلاثة على اثنين ناقص اثنين جذر ثلاثة. ثم، بأخذ العامل المشترك، وهو جذر ثلاثة، وتبسيط المقدار، نجد أن ﺹ واحد يساوي ثلاثة جذر ثلاثة مقسومًا على اثنين. والآن، لا يتبقى لنا إلا التعويض بقيم ﺹ واحد وﺱ واحد وﻡ في معادلة الخط المستقيم. لإجراء ذلك، سنفرغ أولًا بعض المساحة ثم نعوض بـ ﺱ واحد يساوي 𝜋 على ستة، وﺹ واحد يساوي ثلاثة جذر ثلاثة على اثنين، وﻡ يساوي سالب ١١ على اثنين في معادلة الخط المستقيم. هذا يعطينا ﺹ ناقص ثلاثة جذر ثلاثة على اثنين يساوي سالب ١١ على اثنين في ﺱ ناقص 𝜋 على ستة. ويمكننا أن نترك الإجابة بهذا الشكل. لكننا سنوزع سالب ١١ على اثنين على القوس.

وبذلك، نجد أن الحد الأول في المفكوك يساوي سالب ١١ﺱ على اثنين، والحد الثاني في المفكوك يساوي ١١‏𝜋‏ على ١٢. ومن هذا نجد أن ﺹ ناقص ثلاثة جذر ثلاثة على اثنين يساوي سالب ١١ﺱ على اثنين زائد ١١‏𝜋‏ على ١٢. وآخر خطوة سنجريها في التبسيط هي إعادة ترتيب المعادلة حتى تصبح جميع الحدود في الطرف نفسه من المعادلة. وبإجراء ذلك وإعادة الترتيب، يمكننا التوصل إلى الإجابة النهائية.

وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أن معادلة خط المماس للمنحنى ﺹ يساوي سبعة جتا ﺱ ناقص ثلاثة قا ﺱ عند ﺱ يساوي 𝜋 على ستة هي ﺹ زائد ١١ﺱ على اثنين ناقص ١١‏𝜋‏ على ١٢ ناقص ثلاثة جذر ثلاثة على اثنين يساوي صفرًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.