فيديو السؤال: استخدام صيغة مجموع زاويتين لدالة جيب التمام لإيجاد قيمة تعبيرات دوال مثلثية الرياضيات

أوجد مجموعة حل ﺱ، إذا كان جتا ﺱ جتا ٢ﺱ − جا ﺱ جا ٢ﺱ = ١‏/‏٢؛ حيث ٠° < ﺱ < ٣٦٠°.

٠٣:٥٤

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل ﺱ، إذا كان جتا ﺱ جتا اثنين ﺱ ناقص جا ﺱ جا اثنين ﺱ يساوي نصفًا؛ حيث تقع ﺱ بين صفر و٣٦٠ درجة.

تنص إحدى المتطابقات المثلثية لصيغ مجموع زاويتين والفرق بينهما على أن جتا ﺃ زائد ﺏ يساوي جتا ﺃ جتا ﺏ ناقص جا ﺃ جا ﺏ. في هذا السؤال، ﺃ يساوي ﺱ وﺏ يساوي اثنين ﺱ. لذا، يمكننا إعادة كتابة المعادلة جتا ﺱ جتا اثنين ﺱ ناقص جا ﺱ جا اثنين ﺱ يساوي نصفًا على الصورة جتا ﺱ زائد اثنين ﺱ يساوي نصفًا.

‏ﺱ زائد اثنين ﺱ يساوي ثلاثة ﺱ. ومن ثم، جتا ثلاثة ﺱ يساوي نصفًا. بحساب الدالة العكسية لجيب التمام لكلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على ثلاثة ﺱ يساوي الدالة العكسية لـ جتا نصف. وبكتابة التعبير بالطرف الأيسر على الآلة الحاسبة، نحصل على ٦٠. إذن، ثلاثة ﺱ يساوي ٦٠ درجة.

حل هذه المعادلة من خلال قسمة الطرفين على ثلاثة سيعطينا حلًّا واحدًا. لكن المطلوب منا في السؤال هو إيجاد مجموعة الحل، وهو ما يشير إلى وجود أكثر من إجابة واحدة. يمكننا إيجاد الحلول الأخرى إما برسم منحنى دالة جيب التمام أو باستخدام مخطط إشارات الدوال المثلثية.

هذا يخبرنا بأن ثلاثة س سيساوي قيمتين. وسيكون الشكل متماثلًا حول المحور ﺱ. هذا يعني أنه بما أن الحل الأول لثلاثة ﺱ يساوي ٦٠ درجة، فإن الحل الثاني سيساوي ٣٠٠؛ لأن ٣٦٠ ناقص ٦٠ يساوي ٣٠٠. إذن، يمكننا القول إن حلي المعادلة هما ثلاثة ﺱ يساوي ٦٠، أو ثلاثة ﺱ يساوي ٣٠٠.

وبما أن منحنى دالة جيب التمام يستمر إلى ما لا نهاية، فسيتكرر هذان الحلان كل ٣٦٠ درجة. على سبيل المثال، بإضافة ٣٦٠ إلى ٦٠، نحصل على ٤٢٠ درجة. إذن، ثلاثة ﺱ يمكن أن يساوي ٤٢٠ أيضًا. وبالمثل، ٣٠٠ زائد ٣٦٠ يساوي ٦٦٠. إذن، القيمة الرابعة الممكنة هي ثلاثة ﺱ يساوي ٦٦٠ درجة. وبمتابعة هذه العملية، نحصل على قيمتين أخريين؛ وهما ٧٨٠ درجة و١٠٢٠ درجة. هذا يعني أن ثلاثة ﺱ يمكن أن يساوي أيضًا ٧٨٠ أو ١٠٢٠. وفي الواقع، ستستمر هذه العملية إلى ما لا نهاية. لكن، المطلوب منا في السؤال هو إيجاد حلول لـ ﺱ تقع بين صفر و٣٦٠ درجة.

وبما أن جميع هذه القيم لثلاثة ﺱ، علينا قسمة كل منها على ثلاثة لحساب القيمة المناظرة لـ ﺱ. ‏‏٦٠ مقسومًا على ثلاثة يساوي ٢٠. و ٣٠٠ مقسومًا على ثلاثة يساوي ١٠٠. وبقسمة القيم الأربع الأخرى على ثلاثة، نحصل على الإجابات ١٤٠ و٢٢٠ و٢٦٠ و٣٤٠ درجة.

ومن ثم، توجد ست زوايا في مجموعة الحل تقع بين صفر و٣٦٠ درجة للمعادلة جتا ﺱ جتا اثنين ﺱ ناقص جا ﺱ جا اثنين ﺱ يساوي نصفًا. ومجموعة الحل هذه هي ﺱ يساوي ٢٠ درجة و١٠٠ درجة و١٤٠ درجة و٢٢٠ درجة و٢٦٠ درجة و٣٤٠ درجة. يمكننا التحقق من كل إجابة من هذه الإجابات على حدة عن طريق التعويض بقياسات هذه الزوايا في المعادلة. ومن ثم، سنجد أن كلًّا منها ستعطينا الناتج نصفًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.