فيديو السؤال: فهم السرعة ونصف القطر في معادلة السرعة المدارية الفيزياء

قمر صناعي يتبع مدارًا دائريًّا حول الأرض نصف قطره ‪𝑅‬‏، وسرعته المدارية ‪𝑣‬‏. ما نصف القطر، بدلالة ‪𝑅‬‏، الذي يتعين على القمر الصناعي الدوران عنده لتصبح سرعته المدارية ‪𝑣/2‬‏؟

٠٣:٥٥

‏نسخة الفيديو النصية

قمر صناعي يتبع مدارًا دائريًّا حول الأرض نصف قطره ‪𝑅‬‏ وسرعته المدارية ‪𝑣‬‏. ما نصف القطر، بدلالة ‪𝑅‬‏، الذي يتعين على القمر الصناعي الدوران عنده لتصبح سرعته المدارية ‪𝑣‬‏ على اثنين؟

نتناول في هذا السؤال قمرًا صناعيًّا يدور في مدار دائري. دعونا نبدأ إذن بتذكر معادلة السرعة المدارية، التي تنص على أن ‪𝑣‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝐺𝑀‬‏ مقسومًا على ‪𝑟‬‏. وعلى الرغم من أنه لا توجد لدينا أي قيم عددية نعوض بها في هذه المعادلة، يظل بإمكاننا استخدامها لمعرفة العلاقة بين السرعة المدارية ‪𝑣‬‏ ونصف القطر المداري ‪𝑟‬‏. في هذا السؤال، هاتان هما الكميتان الوحيدتان اللتان تتغيران. بمواصلة الحل، سنعتبر أن هاتين الكميتين هما المتغيران الوحيدان في هذه المعادلة. لفهم السبب، تذكر أن ‪𝐺‬‏ يمثل ثابت الجذب العام، وهي قيمة لا تتغير أبدًا. وعلى الرغم من أن الكتلة ‪𝑀‬‏ يمكن أن تمثل قيمة الكتلة لأي جسم ضخم يقع في مركز المدار، فإن ‪𝑀‬‏ في هذه الحالة تمثل كتلة الأرض، التي لن تتغير قيمتها فجأة. ومن ثم، سنتعامل مع ‪𝑀‬‏ باعتبارها ثابتًا أيضًا.

ولكي نرى كيف يتغير ‪𝑣‬‏ و‪𝑟‬‏ أحدهما نسبة إلى الآخر، سنستخدم المعادلة لكتابة علاقة تناسب. لإيجاد علاقة التناسب، سنبدأ بنسخ المعادلة وسنستعيض عن علامة يساوي بهذه العلامة، التي تعني «يتناسب مع». وبما أن علاقة التناسب تخبرنا بكيفية تغير المتغيرات بعضها نسبة إلى بعض، فسنتجاهل القيمتين الثابتتين غير المتغيرتين ‪𝐺‬‏ و‪𝑀‬‏. وسنستخدم العدد واحدًا ليحفظ مكانيهما في البسط. والآن بعد توزيع الجذر والتبسيط، نجد أن ‪𝑣‬‏ يتناسب مع واحد على الجذر التربيعي لـ ‪𝑟‬‏. ثمة طريقة أخرى لقول هذا، وهي أن ‪𝑣‬‏ يتناسب عكسيًّا مع الجذر التربيعي لـ ‪𝑟‬‏؛ لأنه على العكس من ‪𝑣‬‏، يوجد الجذر التربيعي لـ ‪𝑟‬‏ في المقام.

إذن، كلما زادت إحدى الكميتين، قلت الكمية الأخرى، والعكس صحيح، وذلك للحفاظ على علاقة التناسب هذه. إذن، ما الذي يتغير بين المدارين الابتدائي والنهائي للقمر الصناعي؟ نعلم أن السرعة ‪𝑣‬‏ تساوي في الأصل ‪𝑣‬‏، وفي المدار النهائي تساوي ‪𝑣‬‏ مقسومًا على اثنين. وعليه، فإن النقصان في ‪𝑣‬‏ يجب أن تقابله زيادة في الجذر التربيعي لـ ‪𝑟‬‏. نصف القطر المداري الابتدائي هو ‪𝑅‬‏. ومن ثم، يمكننا أن نتوقع أن يكون نصف قطر المدار النهائي أكبر من ‪𝑅‬‏. والآن، بمعلومية المعامل الذي يقل به ‪𝑣‬‏، ستخبرنا علاقة التناسب بالمعامل المحدد الذي يجب أن يزداد به ‪𝑟‬‏. نعلم أن السرعة تقل من ‪𝑣‬‏ إلى ‪𝑣‬‏ مقسومًا على اثنين. وعليه، فإن الطرف الأيسر بالكامل من علاقة التناسب يتناقص بمعامل قدره اثنان.

والآن، عند هذه النقطة، يمكننا أن نخمن أنه نظرًا لأن ‪𝑣‬‏ يتناقص بمعامل اثنين، يجب أن يزداد ‪𝑅‬‏ بمعامل اثنين. ولكن، ثمة أمر مهم علينا ملاحظته، وهو أن ‪𝑟‬‏ يوجد تحت جذر. وعليه، فإن أي معامل يرتبط بـ ‪𝑟‬‏ سيؤخذ جذره التربيعي. وفي النهاية، هذا الطرف الأيمن بالكامل، أي واحد على الجذر التربيعي لـ ‪𝑟‬‏، هو الذي يحافظ على توازن علاقة التناسب. إذن، فإن المعامل الجديد الصحيح لـ ‪𝑟‬‏ له الجذر التربيعي اثنان. ومن ثم، لا بد أن يزيد نصف القطر المداري بمعامل قدره أربعة. إذن، بدلالة نصف القطر الأصلي ‪𝑅‬‏، وجدنا أنه لكي يظل القمر الصناعي في مدار دائري بسرعة ‪𝑣‬‏ على اثنين، يجب أن يكون نصف قطره المداري أربعة في ‪𝑅‬‏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.