فيديو السؤال: استخدام خواص التماس لإيجاد طول وتر وحساب مساحة مثلث داخل دائرة الرياضيات

ﺃﺏﺟ مثلث قائم الزاوية في ﺏ. إذا كان ﻕ∠ﺃ = ٣٠°، ‏ﺃﺏ = ٣٧٫٦ سم، وكانت ﻡ الدائرة التي تمر بكل من ﺃ، ﺏ، وكان ﺃﺟ مماسًّا لها عند ﺃ، فأوجد مساحة △ﺃﺏﻡ لأقرب جزء من عشرة من السنتيمتر المربع.

٠٦:١٥

‏نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟ مثلث قائم الزاوية في ﺏ. إذا كان قياس الزاوية ﺃ يساوي ٣٠ درجة، وﺃﺏ يساوي ٣٧٫٦ سنتيمترًا، وكانت ﻡ الدائرة التي تمر بكل من ﺃ وﺏ، وكانت القطعة المستقيمة ﺃﺟ مماسة لها عند ﺃ، فأوجد مساحة المثلث ﺃﺏﻡ لأقرب جزء من عشرة من السنتيمتر المربع.

حسنًا، في هذا السؤال معطى لنا وصف بدون شكل. لذا، أول شيء علينا فعله هو رسم شكل لتمثيل المعطيات. سنبدأ بأول معلومة عرفناها. لدينا المثلث ﺃﺏﺟ الذي له زاوية قائمة في ﺏ. ونعلم أن قياس الزاوية ﺃ يساوي ٣٠ درجة. طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ يساوي ٣٧٫٦ سنتيمترًا. عرفنا بعد ذلك أن هناك دائرة ﻡ تمر بكل من ﺃ وﺏ. وهذا يعني أن ﺃﺏ وتر في الدائرة.

لكننا نعلم أن القطعة المستقيمة ﺃﺟ تحديدًا مماسة للدائرة، ما يعني أن الرسم قد يبدو بهذا الشكل. وﻡ هو مركز هذه الدائرة. وبهذا نجد أن النقاط ﺃ وﺏ وﻡ تشكل مثلثًا. علينا الآن الاستعانة بما نعرفه عن الدوائر والمثلثات لإيجاد هذه المساحة. مساحة المثلث ﺃﺏﻡ هي ما نريد إيجاده. نحن نعلم أنه لإيجاد مساحة أي مثلث، نضرب نصف طول الارتفاع في طول القاعدة. طول قاعدة هذا المثلث هو ٣٧٫٦. إنها القطعة المستقيمة ﺃﺏ. يمكننا المتابعة وإضافة هذه القيمة. ارتفاع هذا المثلث هو المسافة العمودية من النقطة ﻡ إلى القاعدة. وهذه هي القيمة المجهولة التي علينا إيجادها.

لكن قبل أن نفعل ذلك، علينا معرفة مزيد من المعلومات. نحن نعلم أن القطعة المستقيمة ﺃﺟ مماسة لهذه الدائرة عند النقطة ﺃ. وهذا يعني أنها تكون زاوية قائمة. نحن نعلم بالفعل أن قياس الزاوية ﺏﺃﺟ يساوي ٣٠ درجة. وبذلك، سيكون هذا الجزء المتبقي من الزاوية القائمة يساوي ٦٠ درجة؛ وذلك لأنهما يكونان زاوية قائمة معًا، والتي قياسها يساوي ٩٠ درجة. والآن، إذا كان قياس ﻡﺃﺏ يساوي ٦٠ درجة، فبإمكاننا استنتاج أن قياس ﺃﺏﻡ يساوي ٦٠ درجة أيضًا. ونحن نعرف ذلك لأن هذين الضلعين المتقابلين هما نصفا قطرين في الدائرة، ما يعني أن طول القطعة المستقيمة ﺃﻡ يساوي طول القطعة المستقيمة ﺏﻡ. وهذا يعني أيضًا أن المثلث الذي نحاول إيجاد مساحته هو مثلث متساوي الأضلاع؛ أي أن قياس كل زاوية من زواياه الثلاث يساوي ٦٠ درجة.

لكن مرة أخرى، لكي نوجد ارتفاع هذا المثلث، علينا إيجاد طول هذه المسافة. ولفعل ذلك، دعونا نحاول تكبير هذا الجزء من الشكل. لدينا هنا زاوية قائمة وزاوية قياسها ٦٠ درجة، ما يعني أن قياس الزاوية المتبقية سيكون ٣٠ درجة. إذا أسمينا هذه النقطة ﺩ، فعندما نعود إلى الشكل الأصلي، يمكننا قول إن طول ﺃﺩ يساوي طول ﺩﺏ. وهذا لأن القطعة المستقيمة ﻡﺩ؛ أي ارتفاع هذا المثلث، هي منصف عمودي. وهذا يعني أن طول القطعة المستقيمة ﺩﺏ يساوي نصف ٣٧٫٦؛ أي ١٨٫٨ سنتيمترًا. والآن، بالنظر إلى هذا المثلث، نجد أننا نعرف جميع قياسات الزوايا ونعلم طول ضلع واحد.

يمكننا هنا قول إن هذا مثلث قائم خاص؛ وذلك لأن قياسات زواياه هي ٣٠ و٦٠ و٩٠ درجة. ونحن نعلم أن النسبة بين أطوال الأضلاع في مثلث قياسات زواياه هي ٣٠ و٦٠ و٩٠ درجة تساوي واحدًا إلى الجذر التربيعي لثلاثة إلى اثنين. في الحالة لدينا، طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٣٠ درجة يساوي ١٨٫٨. وطول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٦٠ درجة هو القيمة التي تعنينا؛ أي ارتفاع هذا المثلث. للتحويل من واحد إلى الجذر التربيعي لثلاثة، نضرب في الجذر التربيعي لثلاثة، ما يعني أن ارتفاع المثلث سيساوي ١٨٫٨ في الجذر التربيعي لثلاثة، وهذا يعطينا ٣٢٫٥٦٢٥ وهكذا مع توالي الأرقام. وهذا قياس بالسنتيمتر.

إذا قربنا الناتج لأقرب ثلاث منازل عشرية، فسنحصل على ارتفاع قيمته ٣٢٫٥٦٣ سنتيمترًا. وسنعوض بعد ذلك بهذه القيمة في صيغة المساحة. ثم نحسب ذلك على الآلة الحاسبة. وبهذا نحصل على الناتج ٦١٢٫١٨٤٤. وهذه القيمة هي قيمة المساحة؛ لذا سنعبر عنها بالسنتيمتر المربع. حسنًا، مطلوب منا تقريب الناتج لأقرب جزء من عشرة من السنتيمتر المربع. ومن ثم، سننظر إلى يمين المنزلة العشرية الأولى، ونجد أن لدينا هنا ثمانية، ما يعني أننا سنقرب لأعلى؛ أي إلى ٦١٢٫٢ سنتيمترًا مربعًا. إذن، مساحة المثلث ﺃﺏﻡ هي ٦١٢٫٢ سنتيمترًا مربعًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.