تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: خصائص الضرب القياسي للمتجهات

سوزان فائق

يوضح الضرب القياسي للمتجهات، وخصائصه (الإبدال، والتوزيع، والضرب في عدد حقيقي، والضرب القياسي في المتجه الصفري)، وعلاقته بطول المتجه، وكيفية إثبات القانون.

٠٦:٠٤

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلم على خصائص الضرب القياسي للمتجهات. هنعرف إزاي بنستخدم الخاصية الإبدالية. وخاصية التوزيع. خاصية الضرب في عدد حقيقي. وخاصية الضرب القياسي في المتجه الصفري. وإيه العلاقة بين الضرب القياسي وطول المتجه.

إذا كانت أ وَ ب وَ ج متجهات، وكان ك عدد حقيقي، فإن الخصائص الآتية صحيحة.

أول حاجة الخاصية الإبدالية: المتجه أ ضرب قياسي المتجه ب، بيساوي المتجه ب ضرب قياسي المتجه أ.

يعني لو عندنا المتجه أ كان قيمته اتنين وتلاتة، والمتجه ب كانت قيمته واحد وخمسة. فإن أ ضرب قياسي الـ ب هتساوي … المركّبة الأولى في أ بنضربها في المركبة الأولى في ب، اللي هي اتنين في واحد. ونجمعهم على المركبة التانية في أ مضروبة في المركبة التانية في ب؛ يعني تلاتة في خمسة. ده هيساوي سبعتاشر؛ لأن الضرب القياسي نتيجته بتبقى قيمة قياسية.

لو ضربنا الـ ب ضرب قياسي الـ أ، هتطلع نفس النتيجة اللي هي هتساوي واحد في اتنين زائد خمسة في تلاتة؛ لأن طبعًا إحنا عندنا هنا الضرب إبدالي. فبالتالي لمّا هنبدّلهم هيطلع نفس القيمة اللي هي سبعتاشر. وده مفهوم الخاصية الإبدالية، إن أ ضرب قياسي ب، هي نفسها ب ضرب قياسي أ.

تاني خاصية: هي خاصية التوزيع. إن لو عندي متجه الـ أ ضرب قياسي الـ ب زائد الـ ج، بيبقى هو نفسه لمّا هضرب الـ أ ضرب قياسي ب، وبعدين أجمعه على الـ أ ضرب قياسي الـ ج.

تالت خاصية: خاصية الضرب القياسي في المتجه الصفري. لو ضربنا المتجه الصفري ضرب قياسي في المتجه أ، هتطلع النتيجة صفر ودي قيمة قياسية.

خاصية الضرب في عدد حقيقي: لو الـ ك ضربناها في الـ أ ضرب قياسي الـ ب، ممكن أضرب الـ ك في الـ أ ضرب قياسي الـ ب، أو إن أنا أضرب الـ ك في الـ ب؛ يعني هتبقى الـ أ ضرب قياسي الـ ك في الـ ب. يعني أستخدم العدد الحقيقي مع الـ أ أو مع الـ ب، الاتنين هتطلع نفس القيمة.

فيه خاصية كمان. نقلب الصفحة. الخاصية اللي باقية اللي هي العلاقة بين الضرب القياسي وطول المتجه. يعني المتجه أ لمّا هنضربه ضرب قياسي في نفسه، هيطلع يساوي طول المتجه أ تربيع. هنشوف برهان العلاقة دي.

اثبت أن المتجه أ ضرب قياسي المتجه أ يساوي طول المتجه أ تربيع. البرهان بنفرض إن المتجه أ بيساوي مركبتي أ واحد وَ أ اتنين، هنحسب قيمة الطرف الأيمن، وهنشوفه هيوصل للطرف الأيسر للعلاقة ولا لأ. يعني هنحسب المتجه أ ضرب قياسي المتجه أ، هيساوي أ واحد أ اتنين ضرب قياسي أ واحد أ اتنين. باستخدام طريقة الضرب القياسي، يبقى الـ أ واحد المركبة الأولى هنضربها في الـ أ واحد المركبة الأولى هنا، يبقى أ واحد تربيع وهنجمعها على المركبة التانية في المركبة التانية، يبقى أ اتنين تربيع.

ممكن اكتب الـ أ واحد تربيع زائد الـ أ اتنين تربيع بصورة جذر ونربّعه. الجذر التربيعي لـ أ واحد تربيع زائد أ اتنين تربيع هو ده طول المتجه أ. يعني هيساوي طول المتجه أ، والتربيع على طول المتجه.

يبقى عرفنا نوصل لأن المتجه الـ أ ضرب قياسي المتجه الـ أ هيساوي طول المتجه تربيع. وهي دي العلاقة بين الضرب القياسي وطول المتجه.

نقلب الصفحة وناخد مثال.

استخدم الضرب القياسي لإيجاد طول المتجه أ اللي هو بيساوي سالب خمسة واتناشر. العلاقة اللي اتكلمنا عنها بين الضرب القياسي وطول المتجه، اللي هي بتقول إن المتجه أ ضرب قياسي المتجه أ، يساوي طول المتجه تربيع. يعني كأننا لو أخدنا الجذر التربيعي للطرفين، يبقى طول المتجه أ هيساوي الجذر التربيعي للمتجه أ ضرب قياسي المتجه أ.

يبقى في المسألة اللي عندنا طول المتجه أ، هيساوي الجذر التربيعي للسالب خمسة واتناشر، ضرب قياسي السالب خمسة واتناشر، اللي هي هتساوي الجذر التربيعي … هنضرب سالب خمسة واتناشر ضرب قياسي في بعض، يبقى سالب خمسة في سالب خمسة، زائد اتناشر في اتناشر، اللي هي هتساوي تلتاشر. يبقى طول المتجه أ اللي هو سالب خمسة واتناشر يساوي تلتاشر.

يبقى اتكلمنا في الفيديو ده عن خصائص الضرب القياسي، وإزاي بنوجد طول المتجه باستخدام الضرب القياسي.