فيديو السؤال: إيجاد مساحة قطاع من دائرة بمعلومية محيطه ونصف قطر الدائرة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

دائرة نصف قطرها ٢٧ سنتيمترًا. قطع منها قطاع محيطه ١٠٢ سنتيمتر. ما مساحة القطاع؟

لمساعدتنا في تصور ما يحدث، رسمنا دائرة مع توضيح القطاع الذي قطع منها. أوضحنا أيضًا أن نصف القطر يساوي ٢٧ سنتيمترًا. ونعلم من معطيات السؤال أن محيط القطاع يساوي ١٠٢ سنتيمتر. حسنًا، دعونا نتناول محيط القطاع. سيساوي محيط هذا القطاع طولي نصفي القطرين اللذين حددناهما، زائد طول القوس. وسمينا طول القوس ﺱ. وعليه، يمكننا القول إن محيط هذا القطاع يساوي اثنين نق، أي اثنين مضروبًا في نصف القطر؛ زائد ﺱ، وهو طول القوس.

وبما أن ﺱ هو المجهول الوحيد، فما سنفعله هو إعادة ترتيب أو تغيير المتغير التابع للصيغة لجعل ﺱ هو المتغير التابع. ولفعل ذلك، علينا طرح اثنين نق من طرفي الصيغة. وعندما نفعل ذلك، نحصل على المحيط ناقص اثنين نق يساوي ﺱ.

حسنًا، يمكننا الآن التفكير في صيغة لإيجاد طول القوس. تنص هذه الصيغة على أن طول القوس يساوي نق𝜃. ولكن، علينا أن نتذكر أن هذه الصيغة تنطبق فقط عندما تكون الزاوية 𝜃 مقيسة بوحدة الراديان. إذن، هذا هو قياس الزاوية. وإذا كان لدينا طول القوس يساوي نق𝜃، ونعلم أيضًا أن طول القوس ﺱ للقطاع يساوي ﺡ ناقص اثنين نق، فيمكننا القول إن المحيط ناقص اثنين نق لا بد أن يساوي نق𝜃؛ وهذا لأن، ﺱ هو طول القوس، كما ذكرنا سابقًا. وطول القوس يساوي نق𝜃.

نريد الآن التعويض بالقيم التي لدينا. لدينا قيمة محيط القطاع. ولدينا كذلك قيمة نصف القطر. ومن ثم، عندما نعوض بهاتين القيمتين، نحصل على ١٠٢؛ وهي قيمة المحيط، ناقص اثنين مضروبًا في ٢٧. هذا لأن ٢٧ هو طول نصف القطر. وهذا يساوي ٢٧𝜃. وذلك نظرًا لأن طول نصف القطر يساوي ٢٧، كما ذكرنا من قبل.

وعليه، سنحصل على ٤٨. هذا لأن ٤٨ هو ناتج ١٠٢ ناقص ٥٤؛ لأن اثنين مضروبًا في ٢٧ يساوي ٥٤. وعليه، فإن ٤٨ يساوي ٢٧𝜃. ومن ثم، إذا قسمنا طرفي المعادلة على ٢٧، يمكننا القول إن ٤٨ على ٢٧ يساوي 𝜃. أو إذا بدلنا الطرفين، فإن 𝜃 تساوي ٤٨ على ٢٧.

ولكن، لماذا يعد هذا مفيدًا؟ حسنًا، سيكون ذلك مفيدًا؛ لأن لدينا صيغة أخرى تساعدنا في إيجاد مساحة القطاع. ولكن، لكي نتمكن من استخدام هذه الصيغة لإيجاد المساحة، علينا أن نتذكر أن 𝜃 أو الزاوية لدينا مقيسة بالراديان. يمكننا ملاحظة ذلك هنا. فالحرف ﺩ يشير إلى الراديان. تنص صيغة مساحة القطاع على أن المساحة تساوي نصف نق تربيع 𝜃. وكما ذكرنا سابقًا، يجب أن يكون قياس الزاوية 𝜃 بالراديان.

ومن ثم، بالتعويض بهاتين القيمتين، نجد أن المساحة تساوي نصفًا مضروبًا في ٢٧ تربيع؛ هذا لأن طول نصف القطر يساوي ٢٧، مضروبًا في ٤٨ على ٢٧؛ وهي قيمة 𝜃، وهو ما يساوي نصفًا مضروبًا في ٧٢٩. وذلك لأن هذا العدد يساوي ٢٧ تربيع، مضروبًا في ٤٨ على ٢٧، ما يعطينا مساحة نهائية تساوي ٦٤٨ سنتيمترًا مربعًا. وتكون المساحة مقيسة بوحدة السنتيمتر المربع؛ لأن نصف القطر كان مقيسًا بوحدة السنتيمتر.