فيديو الدرس: المتتابعات الهندسية المتضمنة حدودًا جبرية

نسخة الفيديو النصية

سنستخدم في هذا الفيديو ما لديك من مهارات في التعامل مع العمليات الجبرية لحل بعض مسائل المتتابعات الهندسية. دعونا أولًا نتدرب عليها قليلًا من خلال هذه المسألة.

الحدان الرابع والخامس في إحدى المتتابعات الهندسية هما: 125، و625 على الترتيب. أوجد الحدود: الأول، والثاني، والثالث، والعاشر للمتتابعة.

فلنعرف بعض الحدود أولًا. سأستخدم ‪𝑎‬‏ واحد لتمثيل الحد الأول في المتتابعة، و‪𝑎 𝑛‬‏ لتمثيل الحد ذي الرتبة ‪𝑛‬‏. إذن، ‪𝑎‬‏ اثنان هو الحد الثاني، و‪𝑎‬‏ ثلاثة هو الحد الثالث، وهكذا. ثم سأستخدم الحرف ‪𝑟‬‏ لتمثيل النسبة المشتركة بين حدود المتتابعة. لدينا الحدان الرابع والخامس في المعطيات: ‪𝑎‬‏ أربعة يساوي 125، و‪𝑎‬‏ خمسة يساوي 625. وتذكر أنه لكي نحصل على حد من حدود المتتابعة، علينا ضرب الحد الذي يسبقه في النسبة المشتركة. إذن، ‪𝑎‬‏ خمسة، على سبيل المثال، يساوي ‪𝑎‬‏ أربعة في النسبة المشتركة. وهذا يعني، في هذه الحالة، أن 625 يساوي 125 في ‪𝑟‬‏. وبقسمة كلا طرفي المعادلة على 125، نحصل على 625 على 125 يساوي ‪𝑟‬‏. بعبارة أخرى، ‪𝑟‬‏ هنا يساوي خمسة.

وتذكر أنه لإيجاد قيمة ‪𝑟‬‏، أي النسبة المشتركة، نقسم قيمة أحد الحدود على قيمة الحد الذي يسبقه مباشرة. وبذلك نكون قد حصلنا على قيمة النسبة المشتركة، وهي خمسة. ولإيجاد قيمة ‪𝑎‬‏ أربعة، علينا أن نضرب ‪𝑎‬‏ ثلاثة في ‪𝑟‬‏. نعرف قيمة ‪𝑎‬‏ أربعة، ونعرف قيمة ‪𝑟‬‏. إذن يمكننا إيجاد قيمة ‪𝑎‬‏ ثلاثة، وهو الحد الثالث. ‏125 يساوي ‪𝑎‬‏ ثلاثة في خمسة. وبقسمة كلا الطرفين على خمسة، نجد أن الحد الثالث يساوي 25. والحد الثالث يساوي الحد الثاني مضروبًا في ‪𝑟‬‏.

والآن نعرف الحد الثالث، ونعرف قيمة ‪𝑟‬‏. وبذلك، يمكننا إيجاد قيمة الحد الثاني. ‏25 يساوي ‪𝑎‬‏ اثنين في خمسة. مرة أخرى، يمكننا قسمة كلا الطرفين على خمسة. والآن نعرف أن قيمة الحد الثاني خمسة. كما أن قيمة الحد الثاني تساوي قيمة الحد الأول مضروبة في النسبة المشتركة. قيمة الحد الثاني خمسة. وقيمة النسبة المشتركة خمسة. إذن، لدينا خمسة يساوي الحد الأول في خمسة. وبقسمة كلا الطرفين على خمسة، نجد أن قيمة الحد الأول هي واحد. بهذا نكون قد أوجدنا قيمة الحدود الأول، والثاني، والثالث.

ولإيجاد قيمة الحد العاشر، يمكنني تكرار العملية مع الحدود التالية. لكنني سأوجد قيمة الحد ذي الرتبة ‪𝑛‬‏، لذا سأستخدم صيغة الحد ذي الرتبة ‪𝑛‬‏. ثم أستخدم ذلك لإيجاد قيمة الحد العاشر. والآن، الصيغة العامة للحد ذي الرتبة ‪𝑛‬‏ للمتتابعة الهندسية هي: الحد ذو الرتبة ‪𝑛‬‏ يساوي الحد الأول مضروبًا في النسبة المشتركة أس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد. ونعرف أن قيمة الحد الأول هي واحد. وقيمة النسبة المشتركة خمسة. إذن، يمكنني الآن إكمال هذه الصيغة. الحد ذو الرتبة ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا في خمسة أس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد. واحد في — وفي الواقع لست بحاجة لكتابة واحد مضروبًا في ‪…‬‏ إذ يمكنني كتابة ذلك بصورة أبسط. وبذلك تصبح صيغة الحد ذي الرتبة ‪𝑛‬‏ هي ‪𝑎 𝑛‬‏، وهو الحد ذو الرتبة ‪𝑛‬‏، يساوي خمسة أس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد.

والآن، يمكنني استخدام تلك الصيغة لحساب قيمة الحد العاشر. لذا سأجعل قيمة ‪𝑛‬‏ تساوي 10. ومن ثم فإن الحد العاشر سيساوي خمسة أس 10 ناقص واحد. وهذا يساوي خمسة أس تسعة. وبحساب ذلك على الآلة الحاسبة، أحصل على 1953125. فلنعد إلى رأس المسألة لنتأكد من أننا أجبنا على السؤال. كان علينا إيجاد قيمة الحدود: الأول، والثاني، والثالث، والعاشر للمتتابعة. الحدود الأول، والثاني، والثالث هي: واحد، وخمسة، و25. والحد العاشر، كما قلنا، يساوي 1953125.

حسنًا، ها قد تدربنا. فلننتقل إلى مسألة أخرى تتضمن عمليات جبرية أكثر تعقيدًا.

في متتابعة هندسية مكونة من حدود موجبة فقط، أول ثلاثة حدود هي: اثنان، و‪𝑥‬‏ ناقص اثنين، و‪𝑥‬‏ زائد 10. أوجد القيم المحتملة لـ ‪𝑥‬‏ والصيغة العامة للحد ذي الرتبة ‪𝑛‬‏ للمتتابعة.

لدينا في المعطيات أن الحد الأول اثنان، والحد الثاني ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين، والحد الثالث ‪𝑥‬‏ زائد 10. ولا نعرف النسبة المشتركة. لكننا نعرف أن النسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ تساوي أحد الحدود مقسومًا على الحد الذي يسبقه مباشرة. لذا يمكن أن تكون ‪𝑎‬‏ اثنين مقسومًا على ‪𝑎‬‏ واحد، أو ‪𝑎‬‏ ثلاثة مقسومًا على ‪𝑎‬‏ اثنين، على سبيل المثال. وعليه، فإن ‪𝑎‬‏ اثنين مقسومًا على ‪𝑎‬‏ واحد لا بد وأن يعطينا الناتج نفسه لـ ‪𝑎‬‏ ثلاثة مقسومًا على ‪𝑎‬‏ اثنين. وبذلك أصبح لدينا مقادير تعبر عن ‪𝑎‬‏ واحد، و‪𝑎‬‏ اثنين، و‪𝑎‬‏ ثلاثة. فلنكتبها معًا في معادلة واحدة كبيرة.

وهذا يعني أن ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين على اثنين يساوي ‪𝑥‬‏ زائد 10 على ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين. وبضرب كلا طرفي المعادلة في اثنين، نحذف الاثنين من الطرف الأيسر، ويتبقى لدينا ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين. ثم لدينا العدد اثنان مرة أخرى في بسط الطرف الأيمن. ومن ثم سأضرب كلا طرفي المعادلة في ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين لأحذف المقام من الطرف الأيمن. لدي في الطرف الأيسر ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين. ثم ضربت ذلك في ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين. وفي الطرف الأيمن، المقدار ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين الذي أضرب فيه يلغي المقام. ويتبقى لدينا اثنان في ‪𝑥‬‏ زائد 10. دعونا نفرغ بعض المساحة لمتابعة الحل.

لدينا ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين في ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين يساوي اثنين في ‪𝑥‬‏ زائد 10. سأضرب هذين القوسين معًا بالطرف الأيسر، أي سأضرب كل حد من القوس الثاني في كل حد من القوس الأول. وسأوزع العدد اثنين على القوس بالطرف الأيمن. بذلك يصبح لدينا بالطرف الأيسر ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص اثنين ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين ‪𝑥‬‏ مرة أخرى زائد أربعة. وبالطرف الأيمن، لدينا اثنان في ‪𝑥‬‏، ويساوي اثنين ‪𝑥‬‏، زائد اثنين في 10، ويساوي 20. لدينا هنا ناقص اثنين ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين ‪𝑥‬‏ مرة أخرى، لذا يمكنني تجميعهما معًا لأحصل على ناقص أربعة ‪𝑥‬‏. ومن ثم فقد حصلت على مقدار تربيعي، وسأحاول حله. لذا علينا مساواة ذلك بصفر. ومن ثم أطرح اثنين ‪𝑥‬‏ من كلا الطرفين، ثم أطرح 20، فأحصل على معادلة تربيعية مساوية لصفر. وكما آمل، سأتمكن من حلها وإيجاد قيم ‪𝑥‬‏.

بداية، نطرح اثنين ‪𝑥‬‏. لدينا بالطرف الأيسر ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص أربعة ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين ‪𝑥‬‏ مرة أخرى، يساوي ناقص ستة ‪𝑥‬‏. وما زال لدينا زائد أربعة. وبالطرف الأيمن، نطرح اثنين ‪𝑥‬‏، فيتبقى لدينا 20. والآن، نطرح 20. لدينا بالطرف الأيسر ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ستة ‪𝑥‬‏ زائد أربعة ناقص 20 يساوي ناقص 16، أي سالب 16. وبالطرف الأيمن، إذا طرحت 20، فسيتبقى لدينا صفر. وبذلك أكون قد حصلت على معادلة تربيعية مساوية لصفر. وبتحليل هذه المعادلة التربيعية، سأتمكن من إيجاد قيم ‪𝑥‬‏. ولحسن الحظ، تحليلها سهل جدًّا. ‏‪𝑥‬‏ زائد اثنين في ‪𝑥‬‏ ناقص ثمانية. إذن حاصل ضرب هذين القوسين معًا يساوي صفرًا.

والطريقة الوحيدة التي يمكنك بها الحصول على الإجابة صفر عند ضرب شيئين معًا هي أن يكون أحدهما صفرًا. فإما أن ‪𝑥‬‏ زائد اثنين يساوي صفرًا، وإما أن ‪𝑥‬‏ ناقص ثمانية يساوي صفرًا. وإذا كان ‪𝑥‬‏ زائد اثنين يساوي صفرًا، فإن ‪𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين. ولكي يكون ‪𝑥‬‏ ناقص ثمانية يساوي صفرًا، لا بد أن ‪𝑥‬‏ يساوي ثمانية. إذن، لدينا قيمتان محتملتان لـ ‪𝑥‬‏. وتذكر أنه قد ذكر في رأس المسألة أن المتتابعة الهندسية تتضمن حدودًا موجبة فقط. لذلك لا بد أن تكون هذه الحدود موجبة. كما أننا نعلم أن الحد الأول اثنان. والحد الثاني ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين. والحد الثالث ‪𝑥‬‏ زائد 10. فإذا كان ‪𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين، فسيكون الحد الثاني سالب اثنين ناقص اثنين، ما يساوي سالب أربعة. وهذا يكسر القاعدة. لذا لا يمكن أن يكون هذا هو الحل.

وعليه، فإن القيمة الوحيدة لـ ‪𝑥‬‏ التي تتفق مع المعطيات في رأس المسألة هي ‪𝑥‬‏ يساوي ثمانية. وإذا كان ‪𝑥‬‏ يساوي ثمانية، يمكنني الآن كتابة الحدود الثلاثة الأولى للمتتابعة بشكل صحيح. ‏‪𝑎‬‏ واحد ما زال اثنين. و‪𝑎‬‏ اثنان هو ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين، أي ثمانية ناقص اثنين، ويساوي ستة. و‪𝑎‬‏ ثلاثة هو ‪𝑥‬‏ زائد 10. وثمانية زائد 10 يساوي 18. إذن، الحدود الثلاثة الأولى هي: اثنان، وستة، و18. ويمكنني حساب النسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ عن طريق قسمة الحد الثاني على الحد الأول. ستة على اثنين. إذن، النسبة المشتركة هي ثلاثة. والصيغة العامة للحد ذي الرتبة ‪𝑛‬‏ لأي متتابعة هي: ‪𝑎 𝑛‬‏، وهو الحد ذو الرتبة ‪𝑛‬‏، يساوي الحد الأول، ‪𝑎‬‏ واحد، في النسبة المشتركة، ‪𝑟‬‏، أس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد. والآن لدينا قيمتا ‪𝑎‬‏ واحد، و‪𝑟‬‏. وتصبح صيغة الحد ذي الرتبة ‪𝑛‬‏ هي ‪𝑎 𝑛‬‏ يساوي اثنين في ثلاثة أس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد.

وبالتأكيد ليس عليك وضع قوسين حول الثلاثة. لكنه يوضح أن الثلاثة فقط هو العدد أس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد، وليس الاثنين أيضًا. والآن، نعود إلى رأس المسألة ونتأكد من أننا أجبنا على كل شيء. أوجد القيم المحتملة لـ ‪𝑥‬‏. هناك قيمة واحدة فقط محتملة لـ ‪𝑥‬‏ إذا كانت المتتابعة تتضمن حدودًا موجبة فقط. وأردنا التوصل للصيغة العامة للحد ذي الرتبة ‪𝑛‬‏ للمتتابعة. وقد حصلنا عليها هنا.

حسنًا، يبدو أننا انتهينا.