فيديو السؤال: تحليل اتزان سلم يستند بين حائط أملس وأرض خشنة أثناء تأثير قوة مائلة على طرف السلم الرياضيات

يستند سلم منتظم وزنه ‪72 N‬‏ بطرفه العلوي إلى حائط رأسي أملس، وبطرفه السفلي إلى أرض أفقية خشنة؛ حيث معامل الاحتكاك بين السلم وسطح الأرض ‪√3/5‬‏. إذا كانت هناك قوة مقدارها ‪12 N‬‏ تؤثر على الطرف السفلي للسلم محاولة تحريكه بعيدًا عن الحائط باتجاه أعلى من المستوى الأفقي؛ حيث تصنع القوة زاوية قياسها ‪30°‬‏ مع الأفقي، يكون السلم على وشك الانزلاق. أوجد ظل الزاوية التي يصنعها السلم مع الأرض الأفقية.

٠٩:٥٩

‏نسخة الفيديو النصية

يستند سلم منتظم وزنه 72 نيوتن بطرفه العلوي إلى حائط رأسي أملس، وبطرفه السفلي إلى أرض أفقية خشنة؛ حيث معامل الاحتكاك بين السلم وسطح الأرض جذر ثلاثة على خمسة. إذا كانت هناك قوة مقدارها 12 نيوتن تؤثر على الطرف السفلي للسلم محاولة تحريكه بعيدًا عن الحائط باتجاه أعلى من المستوى الأفقي؛ حيث تصنع القوة زاوية قياسها 30 درجة مع الأفقي، يكون السلم على وشك الانزلاق. أوجد ظل الزاوية التي يصنعها السلم مع الأرض الأفقية.

سنبدأ بإضافة كل القوى وأي معطيات نعرفها عن هذا السلم إلى الشكل نفسه. أولًا، علمنا أن السلم منتظم. وهذا يعني أنه يمكننا تمثيل قوة وزنه المتجهة لأسفل بأنها تحدث من نقطة عند منتصف السلم بالضبط. ولكن، ليس لدينا في المعطيات طول السلم، لذا سنعرفه بأنه يساوي ‪𝐿‬‏ وحدة طول. ومن ثم، تؤثر قوة وزن السلم المتجهة لأسفل عند نقطة تقع عند نصف ‪𝐿‬‏ وحدة طول من أي من طرفي السلم. بعد ذلك، علمنا من المعطيات أن الحائط أملس، ومن ثم لا توجد قوة احتكاك بين الحائط والسلم.

لكننا علمنا من المعطيات أن الأرض خشنة. وهذا يعني أن هناك قوة احتكاك بين السلم والأرض. وتؤثر قوة الاحتكاك هذه في عكس الاتجاه الذي يحاول السلم التحرك نحوه. وفي الشكل، تؤثر قوة الاحتكاك في اتجاه اليسار.

علمنا من المعطيات أيضًا أن معامل الاحتكاك بين السلم والأرض يساوي جذر ثلاثة على خمسة. وسنشير إليه بالرمز ‪𝜇‬‏. وسنعود إليه بعد قليل. رسمنا على الشكل بالفعل القوة التي مقدارها 12 نيوتن وتؤثر على الطرف السفلي من السلم. ونلاحظ أنها تصنع زاوية قياسها 30 درجة مع الأفقي. عند هذه النقطة، يكون السلم على وشك الانزلاق. وهذا يعني أن السلم سيكون في حالة اتزان نهائي. وعليه، فإن المجموع الاتجاهي للقوى المؤثرة على السلم سيساوي صفرًا. وبالمثل، إذا حسبنا العزوم حول نقطة معينة على السلم، فلا بد أن يساوي مجموع هذه العزوم صفرًا أيضًا.

يطلب منا السؤال إيجاد ظل الزاوية التي يصنعها السلم مع الأرض الأفقية. لذا، دعونا نضف هذه الزاوية إلى الشكل. وسنسميها ‪𝜃‬‏. بما أن السلم يؤثر بقوة على الأرض والحائط، فإننا نعلم أنه لا بد من وجود قوة رد فعل عمودي عند كل نقطة من هاتين النقطتين. وسنسمي هاتين القوتين ‪𝐺𝑅‬‏ و‪𝑤𝑅‬‏، وهما قوة رد فعل الأرض المؤثرة على السلم وقوة رد فعل الحائط المؤثرة على السلم، على الترتيب. أصبح لدينا الآن المعطيات الكافية لنبدأ في حل السؤال، لذا، دعونا نفرغ بعض المساحة.

نلاحظ أن هناك الكثير من القوى المرسومة على الشكل، لذا، سنبدأ بتحليل القوى في كلا الاتجاهين الرأسي والأفقي. وهذا سيمكننا من الحصول على بعض المعلومات الإضافية عن قوة الاحتكاك عند قاعدة السلم، على سبيل المثال. سنبدأ بالقوى الرأسية. دعونا نفترض أن الاتجاه لأعلى هو الاتجاه الموجب. تذكر أننا قلنا إن مجموع هذه القوى يساوي صفرًا؛ ومن ثم، فإن السلم في حالة اتزان نهائي. وفي الاتجاه لأعلى، لدينا القوة ‪𝐺𝑅‬‏. علينا أيضًا أن نتناول مركبة القوة التي مقدارها 12 نيوتن وتؤثر في هذا الاتجاه رأسيًّا لأعلى. إذن، بإضافة ضلع وتكوين مثلث قائم الزاوية، سنتمكن من حساب طول الضلع ‪𝑥‬‏.

الضلع ‪𝑥‬‏ هو الضلع المقابل للزاوية المحصورة. ونعرف أن طول الوتر يساوي 12. وعليه، يمكننا استخدام نسبة جيب الزاوية، حيث sin 30 يساوي ‪𝑥‬‏ على 12 أو ‪𝑥‬‏ يساوي 12 sin 30. ولكن، sin 30 يساوي نصفًا، ومن ثم، فإن 12 sin 30 يساوي ستة أو ستة نيوتن. إذن، مجموع القوى التي تؤثر رأسيًّا لأعلى هو ‪𝑅𝐺‬‏ زائد ستة. بعد ذلك، نطرح قوة وزن السلم المتجهة لأسفل. أصبح لدينا الآن مجموع كل القوى المؤثرة في هذا الاتجاه. وهو ‪𝐺𝑅‬‏ زائد ستة ناقص 72، ما يمكن تبسيطه إلى ‪𝐺𝑅‬‏ ناقص 66.

لكن تذكر أن مجموع هذه القوى يساوي صفرًا، إذن ‪𝑅𝐺‬‏ ناقص 66 يساوي صفرًا، وهو ما يعني أن ‪𝑅𝐺‬‏ يساوي 66 أو 66 نيوتن. هذا الناتج مفيد للغاية لأنه سيساعدنا في حساب قيمة قوة الاحتكاك. ومن ثم، سنتمكن من إيجاد قيمة قوة رد الفعل عند الحائط.

والآن، دعونا نحلل القوى في الاتجاه الأفقي. سنفترض أن الاتجاه إلى اليمين هو الاتجاه الموجب. لدينا القوة ‪𝑅𝑤‬‏ تؤثر في هذا الاتجاه، ولكن ثمة قوة أخرى تؤثر في اتجاه اليمين. إنها المركبة الأفقية للقوة التي مقدارها 12 نيوتن. دعونا نسمها ‪𝑦‬‏. ويمكننا استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية أو نظرية فيثاغورس لحساب هذه القيمة.

دعونا نستخدم حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. لدينا cos 30 يساوي ‪𝑦‬‏ على 12. إذن، ‪𝑦‬‏ يساوي 12 cos 30، ولكن، cos 30 درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. وعليه، فإن ‪𝑦‬‏ يساوي ستة جذر ثلاثة نيوتن. ومن ثم، فإن مجموع القوى المؤثرة في اتجاه اليمين يساوي ‪𝑅𝑤‬‏ زائد ستة جذر ثلاثة. ولكن لا يزال لدينا قوة الاحتكاك التي تؤثر في اتجاه اليسار. إذن، مجموع كل القوى في هذا الاتجاه يساوي ‪𝑅𝑤‬‏ زائد ستة جذر ثلاثة ناقص قوة الاحتكاك.

لكننا نعرف صيغة ستساعدنا في إعادة كتابة هذا التعبير. وهي أن قوة الاحتكاك تساوي ‪𝜇𝑅‬‏. يعني هذا معامل الاحتكاك مضروبًا في قوة رد الفعل العمودي عند هذه النقطة. نحن نعلم أن معامل الاحتكاك هو جذر ثلاثة على خمسة. وقد حسبنا للتو قوة رد الفعل العمودي عند هذه النقطة. وهي تساوي 66 نيوتن. إذن، قوة الاحتكاك هنا هي جذر ثلاثة على خمسة في 66. ويمكن تبسيط ذلك إلى ‪𝑅𝑤‬‏ ناقص 36 جذر ثلاثة على خمسة.

نسترجع مرة أخرى أن مجموع القوى المؤثرة في هذا الاتجاه يساوي صفرًا. وعليه، فإن قوة رد الفعل العمودي عند الحائط يجب أن تساوي 36 جذر ثلاثة على خمسة نيوتن.

إذن، ما الذي علينا فعله الآن؟ ما زال علينا إيجاد ظل الزاوية التي عرفناها بأنها تساوي ‪𝜃‬‏. تذكر أننا قلنا إن مجموع العزوم حول نقطة معينة سيساوي صفرًا أيضًا. وعليه، سنحسب قيم العزوم حول نقطة محددة على السلم. دعونا نفرغ بعض المساحة.

جدير بالذكر أنه يمكننا حساب العزوم حول أي نقطة على السلم. ولكن، بما أن العزم هو حاصل ضرب القوة والمسافة العمودية لها من محور العزم، فمن المنطقي عادة أن نختار النقطة التي نحسب العزوم حولها لتصبح النقطة التي تؤثر عندها أغلب القوى. حسنًا، هذه هي قاعدة السلم. وتؤثر قوة، قوتان، ثلاث قوى عند هذه النقطة. وعليه، سنحسب العزوم حول قاعدة السلم. لذا، سنحسب العزوم حول الأرض، أي العزوم حول ‪𝐺‬‏. وسنفترض أن الدوران عكس اتجاه دوران عقارب الساعة هو الاتجاه الموجب.

لنتناول أولًا عزم وزن السلم. بما أن القوة والمسافة يجب أن تكونا متعامدتين لحساب العزم، فسنوجد مركبة هذه القوة المؤثرة عموديًّا على السلم. وسنسميها ‪𝑎‬‏. برسم مثلث قائم الزاوية، نلاحظ أن لدينا زاوية محصورة ‪𝜃‬‏. و‪𝑎‬‏ هو الضلع المجاور في هذا المثلث. ونعرف طول الوتر. إذن، سنستخدم نسبة جيب التمام. وعندما نفعل ذلك، نجد أن هذه المركبة تساوي 72 cos 𝜃. إذن، عزم هذه القوة حول قاعدة السلم يساوي 72 cos 𝜃 مضروبًا في هذه المسافة التي قلنا إنها تساوي نصف ‪𝐿‬‏.

لقد انتهينا من هذه القوة إذن. علينا الآن أن نتناول قوة رد فعل الحائط. مرة أخرى، تصنع قوة رد الفعل هذه زاوية ‪𝜃‬‏ مع السلم. وعلينا حساب مركبة هذه القوة المؤثرة عموديًّا على السلم. نسمي هذا الضلع ‪𝑏‬‏ ونلاحظ أنه الضلع المقابل في مثلث نعرف طول وتره. وعليه، نستخدم نسبة جيب الزاوية، حيث ‪𝑏‬‏ يساوي ‪𝑅𝑤 sin 𝜃‬‏. ولكننا حسبنا بالفعل أن ‪𝑅𝑤‬‏ يساوي 36 جذر ثلاثة على خمسة. بذلك، أصبح لدينا تعبير نهائي لـ ‪𝑏‬‏.

نلاحظ أن هذه القوة تحاول تحريك السلم في اتجاه دوران عقارب الساعة، ومن ثم فإن عزمها سيكون سالبًا. وهو يساوي سالب 36 جذر ثلاثة على خمسة ‪sin 𝜃‬‏ في ‪𝐿‬‏. تذكر أن هذا هو طول السلم بوحدة الطول. مجموع هذه العزوم يساوي صفرًا بالطبع. ومن ثم، أصبح لدينا معادلة نهائية. وهي 72 cos 𝜃 في نصف ‪𝐿‬‏ ناقص 36 جذر ثلاثة على خمسة ‪sin 𝜃‬‏ في ‪𝐿‬‏ يساوي صفرًا. نعلم أن طول السلم لا يمكن أن يساوي صفرًا. وفي الواقع، يمكننا تبسيط المعادلة قليلًا بقسمة طرفيها على ‪𝐿‬‏. 72 في نصف يساوي 36. وعليه، تبسط المعادلة إلى 36 cos 𝜃 ناقص 36 جذر ثلاثة على خمسة ‪sin 𝜃‬‏ يساوي صفرًا. وفي الواقع، يمكننا القسمة على 36 مرة أخرى.

نلاحظ الآن أننا نحاول إيجاد ظل الزاوية. لذا، يمكننا استخدام المتطابقة ‪tan 𝜃‬‏ يساوي ‪sin 𝜃‬‏ على ‪cos 𝜃‬‏ لإيجاد ‪tan 𝜃‬‏. علينا إيجاد طريقة للحصول على ‪sin 𝜃‬‏ مقسومًا على ‪cos 𝜃‬‏. لذا، دعونا نضف أولًا جذر ثلاثة على خمسة ‪sin 𝜃‬‏ إلى طرفي المعادلة. هذا يعطينا ‪cos 𝜃‬‏ يساوي جذر ثلاثة على خمسة ‪sin 𝜃‬‏. بعد ذلك، إذا قسمنا الطرفين على ‪cos 𝜃‬‏، فسيتبقى لدينا واحد في الطرف الأيسر. وفي هذا الطرف الأيمن، ‪sin 𝜃‬‏ على ‪cos 𝜃‬‏ يساوي ‪tan 𝜃‬‏. إذن، تصبح المعادلة واحدًا يساوي جذر ثلاثة على خمسة ‪tan 𝜃‬‏.

تبقت لنا خطوة واحدة أخيرة. علينا قسمة طرفي هذه المعادلة على جذر ثلاثة على خمسة. واحد مقسومًا على جذر ثلاثة على خمسة يساوي خمسة على جذر ثلاثة. سنبسط هذا التعبير من خلال إنطاق المقام. ويمكننا فعل ذلك بضرب كل من البسط والمقام في جذر ثلاثة. جذر ثلاثة مضروبًا في جذر ثلاثة يساوي ثلاثة، وبذلك يصبح المقام ثلاثة. بذلك، نكون أوجدنا ظل الزاوية التي يصنعها السلم مع الأرض الأفقية. وهو يساوي خمسة جذر ثلاثة على ثلاثة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.