فيديو الدرس: الجدول التكراري ذو المجموعات: تقدير الوسط الحسابي الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نقدر الوسط الحسابي باستخدام الجداول التكرارية ذات المجموعات. لنبدأ بتلخيص تعريف الجدول التكراري ذي المجموعات. الجدول التكراري ذو المجموعات جدول تكراري يحتوي على بيانات منظمة في مجموعات أصغر، يشار إليها عادة بالمجموعات أو الفئات. هذه الجداول مفيدة عادة عندما نتعامل مع مجموعات كبيرة من البيانات أو مجموعات بيانات ذات نطاق كبير من القيم. نتيجة لذلك يعد الجدول التكراري ذو المجموعات طريقة عملية لتمثيل البيانات. ومع ذلك يتمثل عيب الجداول التكرارية ذات المجموعات في عدم إمكانية استخراج قيم البيانات الأصلية منها.

لننظر إلى الجدول الموضح الذي يمثل الدرجات التي حصل عليها الطلاب في أحد الاختبارات. المجموعات معطاة في صورة فترات مفتوحة: صفر فأكثر، عشرة فأكثر، ٢٠ فأكثر، ٣٠ فأكثر. هذا يعني أنه يمكن اعتبار قيم البيانات في المجموعة الأولى صفرًا أو أكثر، ولكن أقل من عشرة. إذن قيمتاها الحديتان هما صفر وعشرة. نلاحظ أن أحد الطلاب حصل على درجة في هذه الفترة. بما أننا لا نعرف الدرجة بالضبط، فإن الأمر يصبح أكثر صعوبة عند إجراء أي حسابات إحصائية بناء على جدول تكراري ذي مجموعات.

نتذكر أنه يمكننا حساب الوسط الحسابي لمجموعة بيانات بقسمة مجموع قيم البيانات على إجمالي عدد قيم البيانات. إذا كانت لدينا الدرجات الفردية لكل طالب كما هو موضح؛ إذن من السهل حساب الوسط الحسابي. نوجد مجموع كل الدرجات، الذي يساوي ٣٦٠، ونقسمه على ١٥؛ لأنه توجد ١٥ درجة إجمالًا. هذا يعطينا وسطًا حسابيًّا يساوي ٢٤. لكن هذا غير ممكن في هذا الجدول التكراري ذي المجموعات. لذا بدلًا من ذلك نوجد قيمة تقديرية للوسط الحسابي. نبدأ بإضافة صفين إلى الجدول. الصف الأول لنقطة المنتصف لكل فترة فئة. يمكن حساب نقطة المنتصف بجمع قيم الحدود المجمعة للعمود الأول، صفر وعشرة، ثم القسمة على اثنين. هذا يساوي خمسة.

بالنسبة إلى فترة الفئة الثانية نجمع الحدين عشرة و٢٠، ثم نقسم على اثنين. هذا يساوي ٣٠ مقسومًا على اثنين؛ وهو ما يعطينا نقطة منتصف تساوي ١٥. في العمود التالي نقطة المنتصف تساوي ٢٥؛ لأن ٢٠ زائد ٣٠ مقسومًا على اثنين يساوي ٢٥. بافتراض أن كل الفئات لها عرض متساو، فإن الحد العلوي للمجموعة الأخيرة هو ٤٠، ونقطة المنتصف بين ٣٠ و٤٠ هي ٣٥.

خطوتنا التالية هي ضرب التكرار في كل عمود في نقطة المنتصف. سيعطينا هذا تقديرًا لإجمالي عدد الدرجات في هذه المجموعة. واحد في خمسة يساوي خمسة. خمسة في ١٥ يساوي ٧٥. بتكرار ذلك في العمودين الأخيرين نحصل على القيمتين ١٢٥ و١٤٠. خطوتنا التالية هي إيجاد مجموع الصفين الثاني والرابع. واحد زائد خمسة زائد خمسة زائد أربعة يساوي ١٥. إذن كان إجمالي عدد الطلاب الذين خضعوا للاختبار ١٥ طالبًا. بجمع الأعداد الأربعة الموجودة في الصف السفلي نحصل على ٣٤٥.

يمكننا الآن حساب قيمة تقديرية للوسط الحسابي. نقسم إجمالي التكرار مضروبًا في نقطة المنتصف على إجمالي التكرار. في هذا المثال لدينا ٣٤٥ مقسومًا على ١٥. هذا يساوي ٢٣. سنتناول الآن مثالًا في سياق مختلف.

في مقتطف من كتاب ما، عدت الكلمات في كل جملة. أوجد العددين المجهولين في الجدول الموضح. استخدم الجدول السابق لحساب تقدير لمتوسط عدد الكلمات. قرب إجابتك لأقرب جزء من مائة.

في هذا السؤال لدينا جدول تكراري ذو مجموعات يوضح عدد كلمات كل جملة في كتاب إلى جانب تكراراتها. تحتوي ١٥ جملة على ما بين كلمة واحدة وسبع كلمات. تحتوي ٢٠ جملة على ما بين ثماني كلمات و١٤ كلمة. تحتوي ٤٥ جملة على ما بين ١٥ كلمة و٢١ كلمة. معطى لنا أيضًا تكرارات الجمل التي تحتوي على ما بين ٢٢ كلمة و٢٨ كلمة، و٢٩ كلمة و٣٥ كلمة، و٣٦ كلمة و٤٢ كلمة. العمود الثالث في الجدول يوضح نقاط المنتصف. لحساب هذه القيم نجمع القيمتين الحديتين في كل مجموعة ونقسم على اثنين. على سبيل المثال في الصف الأول نجمع واحدًا وسبعة لنحصل على ثمانية، وبقسمة ذلك على اثنين يعطينا أربعة. هذه هي نقطة المنتصف للمجموعة من واحد إلى سبعة.

علينا حساب نقطة المنتصف للمجموعة الثانية في الجدول؛ حيث يتراوح عدد الكلمات بين ثماني كلمات و١٤ كلمة. ومن ثم فإن نقطة المنتصف تساوي ثمانية زائد ١٤ مقسومًا على اثنين. يمكن تبسيط ذلك إلى ٢٢ مقسومًا على اثنين؛ وهو ما يساوي ١١. العمود الأخير من الجدول يوضح حاصل ضرب التكرار في نقطة المنتصف. في الصف الأول؛ ١٥ في أربعة يساوي ٦٠. علينا حساب التكرار ٢٠ مضروبًا في نقطة المنتصف ١١. هذا يساوي ٢٢٠. العددان المجهولان في الجدول هما ١١ و٢٢٠.

يطلب منا الجزء الثاني من هذا السؤال حساب تقدير متوسط عدد الكلمات. نتذكر أنه يمكن إيجاد تقدير للوسط الحسابي بقسمة إجمالي التكرارات مضروبًا في عمود نقطة المنتصف على إجمالي التكرار. بإضافة صف آخر إلى الجدول علينا إيجاد إجمالي العمودين الثاني والرابع. بجمع التكرارات نحصل على ١٦٠. بجمع الأعداد الموجودة في العمود الأخير الذي يتضمن حاصل ضرب التكرارات في نقاط المنتصف؛ نحصل على ٣٣٩١. إذن تقديرنا للوسط يساوي ٣٣٩١ على ١٦٠. هذا يساوي ٢١٫١٩٣٧٥. وبما أن المطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة، فهذا يساوي ٢١٫١٩. هذا تقدير لمتوسط عدد كلمات كل جملة في الكتاب.

قبل أن نتناول مثالًا آخر دعونا نلخص الخطوات التي علينا اتباعها لحساب تقدير الوسط الحسابي لجدول تكراري ذي مجموعات.

يمكن فعل ذلك في أربع خطوات بسيطة. أولًا نوجد نقطة المنتصف ﻡ لكل مجموعة في الجدول عن طريق جمع القيمتين الحديتين والقسمة على اثنين. ثانيًا نضرب نقاط المنتصف في تكراراتها ﻙ للفئات المناظرة لنحصل على ﻙﻡ. من المفيد عادة إضافة صفوف أو أعمدة أخرى إلى الجدول التكراري لتسجيل هذه القيم. بعد ذلك نوجد مجموع ﻙﻡ المعروف بإجمالي ﻙﻡ. أخيرًا نقسم هذا المجموع على إجمالي التكرار المعروف باسم إجمالي ﻙ. يمكن تلخيص ذلك على النحو الآتي. تقدير الوسط الحسابي يساوي إجمالي ﻙﻡ مقسومًا على إجمالي ﻙ. لنتناول الآن مثالًا نطبق فيه ذلك.

يوضح الجدول الآتي الرواتب ﺭ للموظفين في إحدى الشركات، بفئة الجنيه المصري. قدر متوسط الراتب (بفئة الجنيه المصري)، مقربًا إجابتك لأقرب جزء من مائة.

الجدول المعطى جدول تكراري ذو مجموعات. يخبرنا العمود الأول أن خمسة موظفين يتقاضون راتبًا أكبر من أو يساوي ١٠٠٠ جنيه مصري وأقل من ٣٠٠٠ جنيه مصري. يخبرنا العمود الثاني أن ثمانية موظفين يتقاضون راتبًا أكبر من أو يساوي ٣٠٠٠ جنيه مصري وأقل من ٥٠٠٠ جنيه مصري. يوجد ثلاثة موظفين وخمسة موظفين في المجموعتين الثالثة والرابعة على الترتيب. بما أننا لا نعلم رواتب أي من الموظفين بالضبط، فلا يمكننا تحديد الوسط الحسابي الدقيق. بدلًا من ذلك علينا إيجاد قيمة تقديرية للوسط الحسابي.

للقيام بذلك نتبع عملية من أربع خطوات، أولها إيجاد نقطة المنتصف لكل مجموعة، وهي التي سنسميها ﻡ. لإيجاد نقطة المنتصف لكل مجموعة نجمع القيمتين الحديتين، ونقسم على اثنين. هذا يعني أن علينا جمع ١٠٠٠ و٣٠٠٠ ثم قسمة هذا الناتج على اثنين، في العمود الأول. هذا يساوي ٢٠٠٠. إذن نقطة المنتصف بين ١٠٠٠ و٣٠٠٠ جنيه مصري هي ٢٠٠٠ جنيه مصري. بتكرار ذلك مع العمود الثاني نجد أن نقطة المنتصف بين ٣٠٠٠ و٥٠٠٠ هي ٤٠٠٠. وبالمثل فإن نقطة المنتصف بين ٥٠٠٠ و٧٠٠٠ هي ٦٠٠٠، ونقطة المنتصف بين ٧٠٠٠ و٩٠٠٠ هي ٨٠٠٠.

خطوتنا التالية هي ضرب نقاط المنتصف في التكرارات ﻙ؛ وهي في هذه الحالة عدد الموظفين في كل مجموعة. في العمود الأول نضرب ٢٠٠٠ في خمسة، ونضيف الإجابة إلى الصف السفلي من الجدول؛ الذي أسميناه ﻙﻡ. ‏٢٠٠٠ مضروبًا في خمسة يساوي ١٠٠٠٠. بعد ذلك نضرب ٤٠٠٠ في ثمانية؛ وهو ما يعطينا ٣٢٠٠٠. ‏٦٠٠٠ مضروبًا في ثلاثة يساوي ١٨٠٠٠. وأخيرًا ٨٠٠٠ مضروبًا في خمسة يساوي ٤٠٠٠٠.

خطوتنا التالية هي إيجاد إجمالي ﻙ؛ أي عدد الموظفين، وإجمالي ﻙﻡ. وذلك لأن تقدير الوسط الحسابي يحسب بقسمة إجمالي ﻙﻡ على إجمالي ﻙ. مجموع خمسة وثمانية وثلاثة وخمسة هو ٢١. بجمع ١٠٠٠٠ و٣٢٠٠٠ و١٨٠٠٠ و٤٠٠٠٠ نحصل على ١٠٠٠٠٠. يمكننا إذن حساب تقدير للوسط الحسابي بقسمة ١٠٠٠٠٠ على ٢١. هذا يساوي ٤٧٦١٫٩٠٤٧ وهكذا مع توالي الأرقام. مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة. ومن ثم يمكننا استنتاج أن القيمة التقديرية للوسط الحسابي للراتب في الشركة بالجنيه المصري هي ٤٧٦١٫٩٠ جنيهًا مصريًّا.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو.

تعلمنا في هذا الفيديو أن الجدول التكراري ذا المجموعات ينظم البيانات في مجموعات أصغر تسمى فئات. بما أنه لا يمكننا تحديد قيم البيانات المنفردة من جدول تكراري ذي مجموعات، فلا يمكننا حساب الوسط الحسابي الدقيق. بدلًا من ذلك نحسب قيمة تقديرية للوسط الحسابي. وذلك باتباع عملية من أربع خطوات.

أولًا نوجد نقطة المنتصف ﻡ لكل مجموعة في الجدول عن طريق جمع القيمتين الحديتين والقسمة على اثنين. ثانيًا نضرب نقاط المنتصف في التكرارات. نوجد بعد ذلك مجموع هذه القيم، وأخيرًا نقسم هذا المجموع على إجمالي التكرار. يمكن تلخيص ذلك بأن تقدير الوسط الحسابي يساوي إجمالي ﻙﻡ مقسومًا على إجمالي ﻙ؛ حيث ﻡ هي نقطة المنتصف لكل مجموعة وﻙ هو التكرار المناظر لها. أخيرًا تعلمنا من الأمثلة أن من المفيد إضافة صفوف أو أعمدة إلى الجدول التكراري لتسجيل هذه القيم.