فيديو السؤال: جمع المتجهات الموضحة على شبكة الرسم الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

أي ثلاثة من المتجهات الموضحة في الشكل تنتج متجهًا مقداره صفر عند جمعها معًا؟

لدينا هنا شكل يوضح خمسة متجهات مختلفة. كي ينتج عن جمع ثلاثة متجهات معًا متجه مقداره صفر، فهذا يعني أننا إذا بدأنا من نقطة الأصل وجمعنا المتجهات الثلاثة معًا باستخدام طريقة الرأس للذيل، فيجب أن يعودوا إلى نقطة الأصل. إذن، في هذا المثال، ‪𝐀‬‏ زائد ‪𝐁‬‏ زائد ‪𝐂‬‏ هو المتجه الصفري، وهو متجه مقداره صفر.

هناك طريقة أخرى للتفكير في هذا السؤال، وهي أننا إذا كتبنا المتجهات التي لدينا في الصورة المركبة، فسنجد أن ‪𝐀‬‏ يساوي ‪𝑎𝑥𝐢‬‏ زائد ‪𝑎𝑦𝐣‬‏، و‪𝐵‬‏ يساوي ‪𝑏𝑥𝐢‬‏ زائد ‪𝑏𝑦𝐣‬‏، و‪𝐶‬‏ يساوي ‪𝑐𝑥𝐢‬‏ زائد ‪𝑐𝑦𝐣‬‏؛ ومن ثم، فإن ‪𝑎𝑥‬‏ زائد ‪𝑏𝑥‬‏ زائد ‪𝑐𝑥‬‏ يجب أن يساوي صفرًا. و‪𝑎𝑦‬‏ زائد ‪𝑏𝑦‬‏ زائد ‪𝑐𝑦‬‏ يجب أيضًا أن يساوي صفرًا.

إذا بدأنا بالنظر إلى المركبات الأفقية للمتجهات الخمسة التي يتعين علينا الاختيار من بينها، فسنلاحظ أن اثنين لهما مركبات أفقية سالبة، وثلاثة لها مركبات أفقية موجبة. ولكي يصبح مجموع المركبات الأفقية صفرًا، يجب أن يكون لدينا مركبة موجبة وأخرى سالبة على الأقل. فلا يمكننا جمع المتجهات الثلاثة ذات المركبات الأفقية الموجبة فقط لأن ذلك سيبعدنا أكثر فأكثر عن نقطة الأصل في الاتجاه الأفقي. لذلك يجب أن تتضمن المتجهات الثلاثة التي نختارها المتجه ‪𝐏‬‏ أو ‪𝐐‬‏.

لنبدأ بالمتجه ‪𝐏‬‏. من رأس المتجه ‪𝐏‬‏، نحتاج إلى السير في الاتجاه الموجب أفقيًّا ورأسيًّا؛ لذا يبدو المتجه ‪𝐑‬‏ اختيارًا جيدًا. فلننقل المتجه ‪𝐑‬‏ لأسفل بحيث يلامس ذيله رأس المتجه ‪𝐏‬‏. وهنا نواجه مشكلة لأنه من رأس المتجه الجديد ‪𝐑‬‏، نحتاج إلى متجه ثالث يتجه رأسيًّا بشكل مستقيم؛ أي بلا مركبة أفقية. ولا يوجد لدينا متجه يطابق هذا الوصف. لذا يبدو أن البدء من المتجه ‪𝐏‬‏ لم يكن خيارًا جيدًا.

لنجرب بدلًا من ذلك البدء بالمتجه ‪𝐐‬‏. بدءًا من رأس المتجه ‪𝐐‬‏، نحتاج إلى متجه يشير إلى الاتجاه الموجب أفقيًّا وإلى الاتجاه السالب رأسيًّا. لذا يمكننا تجربة المتجه ‪𝐒‬‏. ولكن إذا نقلنا المتجه ‪𝐒‬‏ بحيث يلامس ذيله رأس المتجه ‪𝐐‬‏، فإننا ننتهي على المحور الأفقي، مما يعني أننا نحتاج الآن إلى متجه يشير في الاتجاه الموجب أفقيًّا؛ أي بلا مركبة رأسية. ولا يوجد لدينا متجه يطابق هذا الوصف.

لكن لدينا خيار آخر لمتجه له مركبة أفقية موجبة ومركبة رأسية سالبة. وهو المتجه ‪𝐓‬‏. لننقل المتجه ‪𝐓‬‏ بحيث يلامس ذيله رأس المتجه ‪𝐐‬‏.

نحتاج الآن أن يكون للمتجه الثالث مركبة رأسية موجبة ومركبة أفقية موجبة. ولا يوجد لدينا سوى خيار واحد وهو المتجه ‪𝐑‬‏. إذا نقلنا المتجه ‪𝐑‬‏ بحيث يلامس ذيله رأس المتجه ‪𝐓‬‏، فسنحصل على متجه محصل يعود إلى نقطة الأصل.

ومن ثم، مجموع المتجهات الثلاثة ‪𝐐‬‏ و‪𝐓‬‏ و‪𝐑‬‏ يعطينا المتجه الصفري. إذن، المتجهات الثلاثة التي تنتج متجهًا مقداره صفر عند جمعها معًا هي ‪𝐐‬‏ و‪𝐑‬‏ و‪𝐓‬‏.