فيديو السؤال: تحديد إذا ما كانت الدالة الكسرية الممثلة بيانيًّا زوجية أو فردية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

هل الدالة الممثلة بالشكل الآتي زوجية أو فردية أو ليست زوجية ولا فردية؟

يدور هذا السؤال حول تحديد إذا ما كانت الدالة في التمثيل البياني زوجية أو فردية، ولدينا ثلاثة خيارات هنا. هذه الدالة إما زوجية، وإما فردية، وإما ليست زوجية ولا فردية. دعونا نتذكر معًا معنى مصطلحي الدالة الزوجية والدالة الفردية في سياق الدوال.

تكون الدالة ﺩﺱ زوجية إذا كان ﺩ لسالب ﺱ يساوي ﺩﺱ. وهذا لا بد أن ينطبق على جميع قيم ﺱ. إذن ﺩ لسالب واحد يجب أن يساوي ﺩ لواحد، وﺩ لسالب سبعة يجب أن يساوي ﺩ لسبعة، وﺩ لسالب ‏𝜋‏‎ يجب أن يساوي ﺩ ‏𝜋‏‎، وهكذا.

تعريف الدالة الفردية لا يختلف كثيرًا؛ حيث تكون الدالة ﺩﺱ فردية إذا كان ﺩ لسالب ﺱ يساوي سالب ﺩﺱ. إذن، في الدالة الفردية، ﺩ لسالب واحد يساوي سالب ﺩ لواحد، وﺩ لسالب سبعة يساوي سالب ﺩ لسبعة، وﺩ لسالب ‏𝜋‏‎ يساوي سالب ﺩ ‏𝜋‏‎.

وعلى عكس الأعداد الكلية، فإن الدالة ﺩﺱ لا يجب بالضرورة أن تكون زوجية أو فردية، فقد لا تكون أيًّا منهما. دعونا أولًا نتحقق إذا ما كانت الدالة زوجية. بعبارة أخرى، هل ﺩ لسالب ﺱ يساوي ﺩﺱ لجميع قيم ﺱ؟ حسنًا، سنختار قيمة لـ ﺱ، لنقل واحدًا على سبيل المثال، ونوجد ﺩ لسالب واحد.

سنحدد سالب واحد على المحور ﺱ، ثم نتحرك لأعلى حتى نصل إلى المنحنى، وسنجد أن ﺩ لسالب واحد يساوي واحدًا. إذن، لكي تكون ﺩﺱ دالة زوجية، لا بد أن تكون ﺩ لواحد تساوي واحدًا أيضًا. سنقوم بذلك مرة أخرى لإيجاد ﺩ لواحد، ونتحرك لأسفل هذه المرة حتى نصل إلى المنحنى. بقراءة القيمة التي وصلنا إليها على المحور ﺹ، نجد أن ﺩ لواحد يساوي سالب واحد. يتضح من ذلك أن ﺩ لسالب واحد لا يساوي ﺩ لواحد، وعليه فإن الدالة ﺩﺱ ليست زوجية.

تذكر أن هذا لا يعني أن ﺩﺱ دالة فردية؛ حيث يمكن ألا تكون الدالة ﺩﺱ زوجية ولا فردية. سنتحقق الآن إذا ما كانت ﺩﺱ دالة فردية، هل ﺩ لسالب ﺱ يساوي سالب ﺩﺱ لجميع قيم ﺱ؟ يمكننا الاستعانة بالقيمتين اللتين حصلنا عليهما بالفعل، فمن الأفضل استخدامهما، ونلاحظ هنا أن ﺩ لسالب واحد يساوي سالب ﺩ لواحد.

في الطرف الأيمن، لدينا واحد، وفي الطرف الأيسر، لدينا سالب سالب واحد؛ وهو ما يساوي واحدًا أيضًا. ومن ثم، نجد بالفعل أن ﺩ لسالب ﺱ يساوي سالب ﺩﺱ عند ﺱ يساوي واحدًا على الأقل، لكن هذا لا يكفي لأن يكون ﺩ لسالب ﺱ يساوي سالب ﺩﺱ لقيمة واحدة لـ ﺱ؛ فلا بد أن ينطبق ذلك على جميع قيم ﺱ.

دعونا نتحقق من قيمة أخرى لـ ﺱ، لنقل سبعة مثلًا. على الرغم من أنه من الصعب قراءة قيمتي ﺩ لسالب سبعة وﺩ لسبعة، فمن المنطقي تمامًا أن تكون إشارة إحدى القيمتين عكس إشارة الأخرى؛ حيث ﺩ لسالب سبعة أكبر قليلًا من صفر، وﺩ لسبعة أصغر قليلًا من صفر. ويمكننا متابعة تجربة قيم أخرى لـ ﺱ حتى نقتنع أن ﺩﺱ دالة فردية.

لقد استخدمنا هنا تعريف الدالة الفردية لإثبات أن الدالة فردية بالفعل، ولكن ثمة طريقة أخرى لفعل ذلك؛ حيث يمكننا استخدام إحدى خواص الدوال الفردية. تكون الدالة فردية إذا كان تمثيلها البياني له تماثل دوراني بزاوية قياسها ١٨٠ درجة حول نقطة الأصل.

يمكننا ملاحظة أن هذا ينطبق على التمثيل البياني لدينا؛ فإذا قمنا بتدوير التمثيل البياني ١٨٠ درجة حول نقطة الأصل، فسنحصل على نفس التمثيل البياني. وهناك حقيقة مناظرة تتعلق بالدالة الزوجية؛ حيث تكون الدالة زوجية إذا كان تمثيلها البياني متماثلًا حول المحور ﺹ. لذا، إذا عكسنا التمثيل البياني لدالة زوجية حول المحور ﺹ، فسنحصل على نفس التمثيل البياني.

بالنظر إلى التمثيل البياني لدينا، نلاحظ أن التمثيل البياني ليس متماثلًا حول المحور ﺹ؛ ومن ثم الدالة لدينا ليست زوجية، ولكن كما ذكرنا من قبل، لأن هذا التمثيل البياني له تماثل دوراني بزاوية قياسها ١٨٠ درجة حول نقطة الأصل، فإن الدالة فردية.