نسخة الفيديو النصية
أوجد دالة التغير ﺕ ﻫ للدالة ﺩ ﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد اثنين عندما يكون ﺱ يساوي واحدًا، وإذا كانت ﺕ لنصف تساوي سبعة على اثنين وﺩ لواحد تساوي ستة، فأوجد قيمة كل من الثابتين ﺃ وﺏ.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد دالة التغير ﺕ ﻫ لدالة تربيعية مجهولة ﺩ ﺱ عندما تكون قيمة ﺱ تساوي واحدًا. هذا هو الجزء الأول من السؤال. لذا، دعونا نبدأ بالإجابة عنه. ولفعل ذلك، علينا تذكر ما نعنيه بدالة التغير للدالة ﺩ ﺱ عند قيمة محددة. نحن نعلم أن دالة التغير ﺕ ﻫ لأي دالة ﺩ ﺱ عندما يكون ﺱ يساوي ﺩ تعطى بواسطة ﺩ ﺩ زائد ﻫ ناقص ﺩ ﺩ. وهي مقياس لمقدار تغير الدالة عند تغير قيمة ﺱ من ﺩ إلى ﺩ زائد ﻫ.
في هذا المثال، الدالة ﺩ ﺱ هي الدالة التربيعية ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد اثنين، وقيمة ﺩ تساوي واحدًا. لإيجاد دالة التغير ﺕ ﻫ، سنبدأ بالتعويض عن ﺩ بواحد. وبهذا، نجد أن ﺕ ﻫ تساوي ﺩ لواحد زائد ﻫ ناقص ﺩ لواحد. كل ما علينا فعله الآن لإيجاد تعبير لدالة التغير لدينا هو التعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا زائد ﻫ وﺱ يساوي واحدًا في الدالة لدينا، ﺩ ﺱ.
سنعوض في البداية بـ ﺱ يساوي واحدًا زائد ﻫ في الدالة ﺩ ﺱ. وبهذا، يصبح لدينا ﺃ مضروبًا في واحد زائد ﻫ تربيع زائد ﺏ في واحد زائد ﻫ زائد اثنين. بعد ذلك، علينا طرح ﺩ لواحد. هذا يعني أننا سنطرح ﺃ في واحد تربيع زائد ﺏ في واحد زائد اثنين. وهذا هو تعبير دالة التغير. علينا الآن تبسيط هذا التعبير. دعونا نبدأ بتوزيع الأس على ما بداخل القوسين في الحد الأول. ويمكننا فعل ذلك باستخدام صيغة ذات الحدين أو باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. في كلتا الحالتين، سنحصل بعد التوزيع على واحد زائد اثنين ﻫ زائد ﻫ تربيع، الكل مضروب في ﺃ.
في الحد الثاني، يمكننا توزيع قيمة ﺏ على ما بداخل القوسين. سنضرب كل حد في ﺏ. ﺏ في واحد يساوي ﺏ، وﺏ في ﻫ يساوي ﺏﻫ. سنضيف بعد ذلك اثنين إلى هذه القيمة، ثم سنقوم بالتبسيط أكثر. كما نلاحظ، ﺃ في واحد تربيع يساوي ﺃ، وﺏ في واحد يساوي ﺏ. وأخيرًا، يمكننا توزيع الإشارة السالبة على ما بداخل هذين القوسين. ومن ثم، فإننا نطرح ﺃ ونطرح ﺏ، ثم نطرح اثنين، لنحصل بذلك على هذا التعبير لـ ﺕ ﻫ. ويمكننا تبسيط ذلك أكثر. لدينا هنا ﺏ ناقص ﺏ، وهو ما يساوي صفرًا، ولدينا كذلك اثنان ناقص اثنين، وهو ما يساوي صفرًا أيضًا.
حسنًا، دعونا الآن نوزع ﺃ على ما بداخل القوسين في الحد الأول. سنضرب كل حد داخل القوسين في ﺃ. وبهذا، يصبح لدينا ﺃ زائد اثنين ﺃﻫ زائد ﺃﻫ تربيع، وتذكر أن علينا إضافة ﺏﻫ ثم طرح ﺃ. ويمكننا التبسيط أكثر. لدينا هنا ﺃ ناقص ﺃ، وهو ما يساوي صفرًا. وأخيرًا، يمكننا ملاحظة أن الحدين الأول والثالث في هذا التعبير يتشاركان العامل ﻫ. وبإخراج هذا العامل المشترك، نجد أن ﺕ ﻫ تساوي ﺃﻫ تربيع زائد ﻫ مضروبًا في اثنين ﺃ زائد ﺏ.
دعونا الآن نفرغ بعض المساحة وننتقل إلى الجزء الثاني من هذا السؤال. علينا تحديد قيمتي الثابتين ﺃ وﺏ بالاستعانة بمعطيين لدينا. علمنا من السؤال أن ﺕ لنصف تساوي سبعة على اثنين، وﺩ لواحد تساوي ستة. سنبدأ بالمعادلة الأولى. وهي ﺕ لنصف تساوي سبعة على اثنين. يمكننا إيجاد تعبير لقيمة الدالة ﺕ لنصف بالتعويض بـ ﻫ يساوي نصفًا في معادلة ﺕ ﻫ.
بالتعويض بـ ﻫ يساوي نصفًا في معادلة الدالة ﺕ ﻫ، نجد أن ﺕ لنصف تساوي ﺃ في نصف تربيع زائد نصف مضروبًا في اثنين ﺃ زائد ﺏ. ويمكننا تبسيط ذلك. نصف تربيع يساوي ربعًا، وبهذا يكون الحد الأول هو ﺃ على أربعة. وفي الحد الثاني، يمكننا توزيع نصف على ما بداخل القوسين لنحصل بذلك على ﺃ زائد ﺏ على اثنين. وبهذا، يصبح التعبير لدينا ﺃ على أربعة زائد ﺃ زائد ﺏ على اثنين. ويمكن تبسيط أول حدين، ﺃ على أربعة زائد ﺃ، إلى خمسة ﺃ على أربعة. وتذكر أن هذا يساوي سبعة على اثنين.
حسنًا، لدينا الآن معادلة واحدة تتضمن ﺃ وﺏ. لذا، دعونا نفرغ بعض المساحة ونوجد المعادلة الثانية باستخدام حقيقة أن قيمة ﺩ لواحد تساوي ستة. نحن نعلم أن ستة يساوي ﺩ لواحد. ويمكننا إيجاد تعبير لقيمة ﺩ لواحد بالتعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا في الدالة ﺩ ﺱ. وبهذا، يصبح لدينا ستة يساوي ﺃ في واحد تربيع زائد ﺏ مضروبًا في واحد زائد اثنين. ويمكننا إيجاد قيمة ذلك وتبسيطه لنحصل على ﺃ زائد ﺏ زائد اثنين. تذكر أن هذا لا بد أن يساوي ستة. لكن يمكننا طرح اثنين من طرفي المعادلة. وبما أن ستة ناقص اثنين يساوي أربعة، فسيصبح لدينا أربعة يساوي ﺃ زائد ﺏ.
حسنًا، لدينا الآن معادلتان آنيتان بدلالة ﺃ وﺏ. ويمكننا حلهما بعدة طرق مختلفة. لكن دعونا نفرغ بعض المساحة أولًا. إحدى طرق حل هاتين المعادلتين الآنيتين هي ملاحظة أن كلًّا من معاملي ﺃ وﺏ في المعادلة الثانية يساوي واحدًا. إذن، يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة بسهولة لإيجاد تعبير لـ ﺏ بدلالة ﺃ أو تعبير لـ ﺃ بدلالة ﺏ. إذا طرحنا ﺏ من طرفي المعادلة على سبيل المثال، فسنجد أن ﺃ لا بد أن يساوي أربعة ناقص ﺏ. ويمكننا عندئذ التعويض بـ ﺃ يساوي أربعة ناقص ﺏ في المعادلة الآنية الأولى. بفعل هذا، يصبح لدينا سبعة على اثنين يساوي خمسة في أربعة ناقص ﺏ على أربعة زائد ﺏ على اثنين.
لدينا الآن معادلة كاملة بدلالة ﺏ فقط. ويمكننا الحل لإيجاد قيمة ﺏ بجعل ﺏ بمفرده في أحد طرفي المعادلة. لفعل هذا، علينا في البداية توزيع خمسة على ما بداخل القوسين. سنضرب كل حد داخل القوسين في خمسة. وهذا يعطينا ٢٠ ناقص خمسة ﺏ الكل مقسوم على أربعة. لدينا الآن سبعة على اثنين يساوي ٢٠ ناقص خمسة ﺏ الكل مقسوم على أربعة زائد ﺏ على اثنين. يمكننا تبسيط المعادلة بضرب طرفيها في المضاعف المشترك الأصغر للمقامات. وهو في هذه الحالة أربعة. لذا، سنضرب طرفي المعادلة في أربعة لحذف المقامات. وبهذا، نحصل على ١٤ يساوي ٢٠ ناقص خمسة ﺏ زائد اثنين ﺏ.
يمكننا الآن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺏ. سالب خمسة ﺏ زائد اثنين ﺏ يساوي سالب ثلاثة ﺏ. يمكننا بعد ذلك إعادة ترتيب المعادلة ليصبح لدينا ثلاثة ﺏ يساوي ستة، ثم يمكننا قسمة كلا طرفي المعادلة على ثلاثة. وبهذا، نجد أن ﺏ يساوي اثنين. ويمكننا التحقق من ذلك بالتعويض بـ ﺏ يساوي اثنين في المعادلة التي لدينا بدلالة ﺏ فقط. يمكننا أيضًا استخدام قيمة ﺏ هذه لإيجاد قيمة ﺃ؛ حيث نعرف أن ﺃ يساوي أربعة ناقص ﺏ.
بالتعويض بـ ﺏ يساوي اثنين في هذه المعادلة، نحصل على ﺃ يساوي أربعة ناقص اثنين، وهو ما يمكن تبسيطه إلى اثنين. والآن، بعدما أوضحنا أن ﺃ يساوي اثنين وﺏ يساوي اثنين، يمكننا التعويض بقيمتي هذين الثابتين في الدالة ﺕ ﻫ. لكن هذا ليس ضروريًّا. يمكننا ببساطة قول إن ﺃ يساوي اثنين وﺏ يساوي اثنين.
إذن، لقد تمكنا من توضيح أن دالة التغير ﺕ ﻫ للدالة ﺩ ﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد اثنين عندما يكون ﺱ يساوي واحدًا، هي ﺕ ﻫ تساوي ﺃﻫ تربيع زائد ﻫ في اثنين ﺃ زائد ﺏ. وإذا كانت ﺕ لنصف تساوي سبعة على اثنين وﺩ لواحد تساوي ستة، فإن ﺃ يساوي اثنين وﺏ يساوي اثنين.
