فيديو الدرس: حل معادلات تتضمن أعدادًا نسبية الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

لنتحدث عن حل المعادلات التي تتضمن أعدادًا نسبية. لكن علينا أولًا مناقشة بعض المفاهيم الأساسية. أولها المقلوب، ويسمى أيضًا المعكوس الضربي. المقلوب هو ما تضربه في عدد ويصبح حاصل الضرب واحدًا. وهو ممثل هنا بـ ﺃ في واحد على ﺃ. بضربهما معًا، فإن ﺃ على ﺃ يساوي واحدًا. خمسة في خمس يساوي واحدًا. وخمس هو مقلوب الخمسة أو المعكوس الضربي له.

الخطوة التالية هي خاصية الإضافة في حالة التساوي. تنص هذه الخاصية على أنه إذا كان ﺃ يساوي ﺏ، فإن ﺃ زائد ﺟ يساوي ﺏ زائد ﺟ. وهذا مثال على استخدام خاصية الإضافة في حالة التساوي لحل معادلة. لقد أضفت خمسة لكلا الطرفين هنا لإيجاد قيمة ﺱ. أحيانًا نقول: إنه إذا فعلت شيئًا في أحد طرفي المعادلة، فعليك فعل الأمر نفسه في الطرف الآخر. وعندما نقول هذا، فإننا نستخدم خاصية الإضافة في حالة التساوي.

أما المفهوم الرئيسي الثالث والأخير، فهو خاصية الضرب في حالة التساوي، وهي شبيهة بخاصية الإضافة في حالة التساوي. وتنص على أنه إذا كان ﺃ يساوي ﺏ فإن ﺃ في ﺟ يساوي ﺏ في ﺟ. وهنا مثال: ﺃ مقسومًا على خمسة يساوي سبعة. ولإيجاد قيمة ﺃ، سأضرب خمسة في كلا طرفي المعادلة، وسأستخدم خاصية الضرب في حالة التساوي للقيام بذلك.

والآن، نبدأ في حل المعادلات. في المثال الأول: نصف ﺱ يساوي سالب خمسة أسداس. الهدف هنا هو إيجاد قيمة ﺱ. ولا بد أن نفعل ذلك بأن نستخدم أولًا المقلوب لعزل ﺱ في طرف بمفرده. هكذا يكون: أضرب كلا الطرفين في اثنين على واحد. وبمجرد أن أفعل ذلك، أحصل على ﺱ يساوي سالب ١٠ أسداس. ولكن هذه ليست هي الصورة المبسطة من هذا الكسر، إذ علينا دائمًا كتابة الكسور في أبسط صورة. الصورة المبسطة هي سالب خمسة أثلاث. ولإيجادها، قسمت سالب ١٠ أسداس على اثنين في الأعلى واثنين في الأسفل.

بعد ذلك، لدينا ﺱ ناقص واحد على ١٧ يساوي خمسة على ١٧. سنحل ذلك باستخدام خاصية الإضافة في حالة التساوي. بإضافة واحد على ١٧ إلى كلا طرفي المعادلة، تصبح إجابتنا النهائية ﺱ يساوي ستة على ١٧.

المثال الثالث: عند قسمة ثلاثة أرباع على ﺃ على ﺏ، يكون الناتج خمسة أثمان. أوجد قيمة ﺃ على ﺏ. الخطوة الأولى هي تحويل هذه المسألة الكلامية إلى معادلة. وقد قمنا بذلك من خلال كتابة ثلاثة أرباع مقسومًا على ﺃ على ﺏ يساوي خمسة أثمان. ولا تنس! عندما نقسم على كسر، فهذا يعني أننا نضرب في المقلوب. وهذا ما سنفعله؛ سنغير القسمة إلى ضرب ونغير ﺃ على ﺏ إلى ﺏ على ﺃ. دعونا نكتب المسألة بالأعلى لنتمكن من متابعة الحل. نحاول عزل ﺏ على ﺃ في طرف بمفرده، ولذلك ضربت كلا الطرفين في أربعة أثلاث. وبعد ضرب كلا الطرفين في أربعة أثلاث، يتبقى لدينا ﺏ على ﺃ يساوي ٢٠ على ٢٤. مرة أخرى، نريد دائمًا الوصول إلى أبسط صورة ممكنة، وأعرف أن ٢٠ على ٢٤ يمكن تبسيطه. والصورة المبسطة من هذا الكسر هي خمسة أسداس، إذ قسمنا بسط الكسر ومقامه على أربعة. وبذلك وجدنا قيمة ﺏ على ﺃ، ولكن المسألة لم تطلب منا إيجاد قيمة ﺏ على ﺃ. بل إنها تطلب منا إيجاد قيمة ﺃ على ﺏ، ومن ثم نقلب الكسر للحصول على الإجابة النهائية، وﺃ على ﺏ يساوي ستة أخماس.

أما المسألة التالية، فهي: ثلاثة وسبعة على ١٣ مقسومًا على عدد ما يساوي واحدًا. ثلاثة وسبعة على ١٣ مقسومًا على عدد ما يساوي واحدًا؛ أريدك أن تفكر في المسألة لدقيقة. ما العدد المجهول في رأيك؟ كيف باعتقادك يمكننا حل هذه المسألة؟ إذا كنت لا تزال غير متأكد، فإليك هذا التلميح: ثلاثة مقسومًا على ماذا يساوي واحدًا، أو خمسة مقسومًا على ماذا يساوي واحدًا؟ إنه العدد نفسه! ثلاثة مقسومًا على ثلاثة يساوي واحدًا، وخمسة مقسومًا على خمسة يساوي واحدًا. أي شيء مقسومًا على نفسه يساوي واحدًا. كان علينا فقط أن نتذكر هذه الحقيقة لحل المسألة. الجواب هنا هو ثلاثة وسبعة على ١٣؛ لأن ثلاثة وسبعة على ١٣ مقسومًا على نفسه يساوي واحدًا.

المثال الخامس: ١٤ على ٢٧ مقسومًا على عدد ما يساوي واحدًا وخمسة أسداس، ومن ثم لدينا ١٤ على ٢٧ مقسومًا على ﺃ يساوي ١١ سدسًا. أجريت تغييرين: غيرت عملية القسمة على ﺃ إلى عملية ضرب في واحد على ﺃ. إذن، انتقلنا من القسمة على عدد ما إلى الضرب في مقلوبه. ولعزل المتغير، ضربت طرفي المعادلة في المقلوب ٢٧ على ١٤. وللتبسيط، قسمت ٢٧ على ثلاثة وستة على ثلاثة، وأصبح لدي تسعة واثنان. ويساعد ذلك في الوصول إلى أبسط صورة من هذا الكسر. والآن، تبقى لدينا واحد على ﺃ يساوي ١١ في تسعة على اثنين في ١٤. وبضرب ذلك نجد أن واحدًا على ﺃ يساوي ٩٩ على ٢٨. ولكن لو ركزت قليلًا فستلاحظ أننا لا نبحث عن واحد على ﺃ، وإنما نبحث عن ﺃ. وبذلك لا بد أن تصبح الإجابة النهائية ٢٨ على ٩٩.

أثناء حل هذه المسائل، تذكر المفاهيم الأساسية. فهي أدواتك لحل المسائل من هذا النوع. المقلوب هو أن ﺃ في واحد على ﺃ يساوي واحدًا. وخاصية الإضافة في حالة التساوي تعني أنه إذا أضفت شيئًا إلى أحد طرفي المعادلة فعليك إضافته إلى الطرف الآخر. والأمر نفسه ينطبق في حالة الضرب؛ إذا ضربت شيئًا في أحد الأطراف، فعليك أن تفعل الأمر نفسه في الطرف الآخر. الآن أصبحت جاهزًا، وقد حان دورك لحل بعض المسائل بنفسك.