فيديو السؤال: تكامل كثيرات الحدود باستخدام قاعدة القوة الرياضيات

أوجد تكامل (١٠ﺱ^٢ + ٢١ﺱ − ٤٩) ﺩﺱ.

٠٣:٣٤

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد تكامل الدالة ١٠ﺱ تربيع زائد ٢١ﺱ ناقص ٤٩ بالنسبة إلى ﺱ.

نبدأ بتذكر أن تكامل مجموع الدالتين ﺩﺱ وﺭﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي مجموع تكاملي هاتين الدالتين بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا استخدام هذا لتقسيم التكامل الموجود في السؤال إلى تكامل ١٠ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ زائد تكامل ٢١ﺱ بالنسبة إلى ﺱ زائد تكامل سالب ٤٩، مرة أخرى، بالنسبة إلى ﺱ.

الآن، يمكننا الاستعانة بحقيقة أنه لأي ثابت ﻙ، تكامل ﻙ مضروبًا في دالة بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻙ مضروبًا في تكامل هذه الدالة بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا استخدام ذلك لإخراج المعامل الثابت من كل تكامل من التكاملات الثلاثة. نحن الآن جاهزون لبدء إيجاد قيمة هذه التكاملات. سنستخدم قاعدة القوة للتكاملات، التي تنص على أن تكامل ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل.

في التكامل الأول، يمكننا ملاحظة أننا نكامل ﺱ تربيع. إذن لدينا ﻥ يساوي اثنين. وعليه، باستخدام قاعدة القوة للتكاملات، نجد أن تكامل ﺱ تربيع يساوي ﺱ أس اثنين زائد واحد الكل مقسومًا على اثنين زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ واحد. في التكامل الثاني، نعلم أنه يمكن إعادة كتابة ﺱ على الصورة ﺱ أس واحد. لذا، يمكننا استخدام قاعدة القوة للتكاملات؛ حيث ﻥ يساوي واحدًا.

وعليه، فإن تكامل ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ أس واحد زائد واحد مقسومًا على واحد زائد واحد. وبعد ذلك، نضيف ثابت التكامل ﺙ اثنين. أخيرًا، في التكامل الثالث، نعلم أن ﺱ أس صفر يساوي واحدًا. إذن يمكننا استخدام قاعدة القوة لإيجاد قيمة هذا التكامل؛ حيث ﻥ يساوي صفرًا. هذا يعطينا أن تكامل واحد بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ أس صفر زائد واحد مقسومًا على صفر زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ ثلاثة.

يمكننا فك هذا التعبير وتبسيطه وإعادة ترتيبه لنحصل على ١٠ﺱ تكعيب على ثلاثة زائد ٢١ﺱ تربيع على اثنين ناقص ٤٩ﺱ زائد ١٠ مضروبًا في ﺙ واحد زائد ٢١ مضروبًا في ﺙ اثنين ناقص ٤٩ مضروبًا في ﺙ ثلاثة. بما أن ﺙ واحدًا وﺙ اثنين وﺙ ثلاثة ثوابت للتكامل، نلاحظ أن ١٠ﺙ واحد زائد ٢١ﺙ اثنين ناقص ٤٩ﺙ ثلاثة هو أيضًا ثابت. لذا، يمكننا التعويض عن هذا الجزء من التعبير بثابت جديد سنسميه ﺙ. يصبح الناتج النهائي هو أن تكامل ١٠ﺱ تربيع زائد ٢١ﺱ ناقص ٤٩ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ١٠ﺱ تكعيب على ثلاثة زائد ٢١ﺱ تربيع على اثنين ناقص ٤٩ﺱ زائد ثابت التكامل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.