فيديو: إيجاد مجموعة حل معادلة لوغاريتمية في مجموعة الأعداد الحقيقية

أوجد مجموعة حل ‪log₃ 𝑥 = log₉ 4‬‏ في ‪ℝ‬‏.

٠٣:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل ‪log 𝑥‬‏ للأساس ثلاثة يساوي ‪log‬‏ أربعة للأساس تسعة في مجموعة الأعداد الحقيقية.

من الواضح أننا نريد إيجاد قيمة ‪𝑥‬‏ أو القيم المحتملة لها، ولدينا ‪log 𝑥‬‏ للأساس ثلاثة في الطرف الأيسر. كيف يمكننا تحويل ذلك إلى ‪𝑥‬‏؟ ثلاثة مرفوعًا للقوة الموجودة في الطرف الأيسر يساوي ثلاثة مرفوعًا للقوة الموجودة في الطرف الأيمن، وبالطبع ثلاثة أس ‪log 𝑥‬‏ للأساس ثلاثة يساوي ‪𝑥‬‏. هذه إحدى الحالات الخاصة من الصيغة ‪𝑏‬‏ أس ‪log 𝑥‬‏ للأساس ‪𝑏‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏، حيث ‪𝑏‬‏ يساوي ثلاثة.

إذن لدينا ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة أس ‪log‬‏ أربعة للأساس تسعة. هل يمكننا تبسيط الطرف الأيمن؟ نعم، يمكننا ذلك. في الواقع، إذا حسبتها على الآلة الحاسبة، ستجد أن ثلاثة أس ‪log‬‏ أربعة للأساس تسعة يساوي اثنين. هل يمكننا حل ذلك دون استخدام الآلة الحاسبة؟ نعم، يمكننا ذلك. ثلاثة أس ‪log‬‏ أربعة للأساس تسعة في ثلاثة أس ‪log‬‏ أربعة للأساس تسعة يساوي تسعة أس ‪log‬‏ أربعة للأساس تسعة. وهذه حالة خاصة من الصيغة ‪𝑎‬‏ أس ‪𝑛‬‏ في ‪𝑏‬‏ أس ‪𝑛‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ في ‪𝑏‬‏ أس ‪𝑛‬‏. هنا كل من ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ يساوي ثلاثة، و‪𝑛‬‏ يساوي ‪log‬‏ أربعة للأساس تسعة. وتسعة أس ‪log‬‏ أربعة للأساس تسعة يساوي أربعة.

إذن إذا أخذنا الجذر التربيعي للطرفين، فسنرى أن ثلاثة أس ‪log‬‏ أربعة للأساس تسعة سيكون موجب أو سالب اثنين. وبالطبع عند رفع عدد موجب لقوة مكونة من عدد ما آخر، تحصل دائمًا على عدد موجب. إذن ثلاثة أس ‪log‬‏ أربعة للأساس تسعة يجب أن يساوي اثنين. يمكننا إذن كتابة ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين. ولكننا نبحث عن مجموعة حل هذه المعادلة، إذن علينا وضع هذا الحل، اثنين، في مجموعة.

مجموعة الحل هي المجموعة التي تحتوي على العدد اثنين فقط. بدلًا من محاولة وضع ‪𝑥‬‏ بالطرف الأيسر مباشرة، كان بإمكاننا أن نقرر أن نجعل الطرف الأيمن يتكون من ‪log‬‏ قيمة ما للأساس ثلاثة. بعد ذلك يمكننا قسمة الطرفين على ‪log‬‏ ثلاثة للأساس تسعة. اخترنا هذه الطريقة لأنه يمكننا بذلك تطبيق صيغة تغيير الأساس: ‪log 𝑎‬‏ للأساس ‪𝑘‬‏ على ‪log 𝑏‬‏ للأساس ‪𝑘‬‏ يساوي ‪log 𝑎‬‏ للأساس ‪𝑏‬‏، حيث ‪𝑘‬‏ يساوي تسعة و‪𝑎‬‏ يساوي أربعة و‪𝑏‬‏ يساوي ثلاثة. وبذلك نحصل على ‪log‬‏ قيمة ما للأساس ثلاثة في الطرف الأيمن.

ما هو ‪log‬‏ ثلاثة للأساس تسعة؟ هناك طريقة أخرى لطرح هذا السؤال، أن نقول تسعة مرفوعًا لأي قوة يساوي ثلاثة؟ الإجابة هي: نصف. وبذلك، يصبح الطرف الأيسر ‪log 𝑥‬‏ للأساس ثلاثة على نصف. بضرب الطرفين في نصف، يصبح لدينا ‪log 𝑥‬‏ للأساس ثلاثة يساوي نصف ‪log‬‏ أربعة للأساس ثلاثة.

ونجد أنه يمكننا تبسيط الطرف الأيمن باستخدام قانون آخر من قوانين اللوغاريتمات. الطرف الأيمن هو ‪log‬‏ أربعة للأساس ثلاثة أس نصف، أي ‪log‬‏ اثنين للأساس ثلاثة. وكما ذكرنا من قبل، نحصل على ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.