فيديو السؤال: إيجاد مجموعة حل معادلة لوغاريتمية في مجموعة الأعداد الحقيقية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة يساوي لوغاريتم أربعة للأساس تسعة في مجموعة الأعداد الحقيقية.

من الواضح أننا نريد إيجاد قيمة ﺱ أو القيم المحتملة لها، ولدينا لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة في الطرف الأيمن. كيف يمكننا تحويل ذلك إلى ﺱ؟ ثلاثة مرفوعًا للقوة الموجودة في الطرف الأيمن يساوي ثلاثة مرفوعًا للقوة الموجودة في الطرف الأيسر، وبالطبع ثلاثة أس لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة يساوي ﺱ. هذه إحدى الحالات الخاصة من الصيغة ﺏ أس لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ يساوي ﺱ، حيث ﺏ يساوي ثلاثة.

إذن لدينا ﺱ يساوي ثلاثة أس لوغاريتم أربعة للأساس تسعة. هل يمكننا تبسيط الطرف الأيسر؟ نعم، يمكننا ذلك. في الواقع، إذا حسبتها على الآلة الحاسبة، ستجد أن ثلاثة أس لوغاريتم أربعة للأساس تسعة يساوي اثنين. هل يمكننا حل ذلك دون استخدام الآلة الحاسبة؟ نعم، يمكننا ذلك. ثلاثة أس لوغاريتم أربعة للأساس تسعة في ثلاثة أس لوغاريتم أربعة للأساس تسعة يساوي تسعة أس لوغاريتم أربعة للأساس تسعة. وهذه حالة خاصة من الصيغة ﺃ أس ﻥ في ﺏ أس ﻥ يساوي ﺃ في ﺏ أس ﻥ. هنا كل من ﺃ وﺏ يساوي ثلاثة، وﻥ يساوي لوغاريتم أربعة للأساس تسعة. وتسعة أس لوغاريتم أربعة للأساس تسعة يساوي أربعة.

إذن إذا أخذنا الجذر التربيعي للطرفين، فسنرى أن ثلاثة أس لوغاريتم أربعة للأساس تسعة سيكون موجب أو سالب اثنين. وبالطبع عند رفع عدد موجب لقوة مكونة من عدد ما آخر، تحصل دائمًا على عدد موجب. إذن ثلاثة أس لوغاريتم أربعة للأساس تسعة يجب أن يساوي اثنين. يمكننا إذن كتابة ﺱ يساوي اثنين. ولكننا نبحث عن مجموعة حل هذه المعادلة، إذن علينا وضع هذا الحل، اثنين، في مجموعة.

مجموعة الحل هي المجموعة التي تحتوي على العدد اثنين فقط. بدلًا من محاولة وضع ﺱ بالطرف الأيمن مباشرة، كان بإمكاننا أن نقرر أن نجعل الطرف الأيسر يتكون من لوغاريتم قيمة ما للأساس ثلاثة. بعد ذلك يمكننا قسمة الطرفين على لوغاريتم ثلاثة للأساس تسعة. اخترنا هذه الطريقة لأنه يمكننا بذلك تطبيق صيغة تغيير الأساس: لوغاريتم ﺃ للأساس ﻙ على لوغاريتم ﺏ للأساس ﻙ يساوي لوغاريتم ﺃ للأساس ﺏ، حيث ﻙ يساوي تسعة وﺃ يساوي أربعة وﺏ يساوي ثلاثة. وبذلك نحصل على لوغاريتم قيمة ما للأساس ثلاثة في الطرف الأيسر.

ما هو لوغاريتم ثلاثة للأساس تسعة؟ هناك طريقة أخرى لطرح هذا السؤال، أن نقول تسعة مرفوعًا لأي قوة يساوي ثلاثة؟ الإجابة هي: نصف. وبذلك، يصبح الطرف الأيمن لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة على نصف. بضرب الطرفين في نصف، يصبح لدينا لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة يساوي نصف لوغاريتم أربعة للأساس ثلاثة.

ونجد أنه يمكننا تبسيط الطرف الأيسر باستخدام قانون آخر من قوانين اللوغاريتمات. الطرف الأيسر هو لوغاريتم أربعة للأساس ثلاثة أس نصف، أي لوغاريتم اثنين للأساس ثلاثة. وكما ذكرنا من قبل، نحصل على ﺱ يساوي اثنين.