فيديو: إيجاد مجموعة حل معادلة لوغاريتمية في مجموعة الأعداد الحقيقية

أوجد مجموعة حل ‪log₃ 𝑥 = log₉ 4‬‏ في ‪ℝ‬‏.

٠٣:٢١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل log 𝑥 للأساس ثلاثة يساوي log أربعة للأساس تسعة في مجموعة الأعداد الحقيقية.

من الواضح أننا نريد إيجاد قيمة 𝑥 أو القيم المحتملة لها، ولدينا log 𝑥 للأساس ثلاثة في الطرف الأيسر. كيف يمكننا تحويل ذلك إلى 𝑥؟ ثلاثة مرفوعًا للقوة الأسية الموجودة في الطرف الأيسر يساوي ثلاثة مرفوعًا للقوة الأسية الموجودة في الطرف الأيمن، وبالطبع ثلاثة مرفوعًا للقوة الأسية log 𝑥 للأساس ثلاثة يساوي 𝑥. هذه إحدى الحالات الخاصة من الصيغة 𝑏 مرفوعًا للقوة الأسية log 𝑥 للأساس 𝑏 يساوي 𝑥، حيث 𝑏 يساوي ثلاثة.

إذن لدينا 𝑥 يساوي ثلاثة مرفوعًا للقوة الأسية log أربعة للأساس تسعة. هل يمكننا تبسيط الطرف الأيمن؟ نعم، يمكننا ذلك. في الواقع، إذا حسبتها على الآلة الحاسبة، ستجد أن ثلاثة مرفوعًا للقوة الأسية log أربعة للأساس تسعة يساوي اثنين. هل يمكننا حل ذلك دون استخدام الآلة الحاسبة؟ نعم، يمكننا ذلك. ثلاثة مرفوعًا للقوة الأسية log أربعة للأساس تسعة في ثلاثة مرفوعًا للقوة الأسية log أربعة للأساس تسعة يساوي تسعة مرفوعًا للقوة الأسية log أربعة للأساس تسعة. وهذه حالة خاصة من الصيغة 𝑎 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑛 في 𝑏 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑛 يساوي 𝑎 في 𝑏 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑛. هنا كل من 𝑎 و𝑏 يساوي ثلاثة، و𝑛 يساوي log أربعة للأساس تسعة. وتسعة مرفوعًا للقوة الأسية log أربعة للأساس تسعة يساوي أربعة.

إذن إذا أخذنا الجذر التربيعي للطرفين، فسنرى أن ثلاثة مرفوعًا للقوة الأسية log أربعة للأساس تسعة سيكون موجب أو سالب اثنين. وبالطبع عند رفع عدد موجب لقوة أسية مكونة من عدد آخر، تحصل دائمًا على عدد موجب. إذن ثلاثة مرفوعًا للقوة الأسية log أربعة للأساس تسعة يجب أن يساوي اثنين. يمكننا إذن كتابة 𝑥 يساوي اثنين. ولكننا نبحث عن مجموعة حل هذه المعادلة، إذن علينا وضع هذا الحل، اثنين، في مجموعة.

مجموعة الحل هي المجموعة التي تحتوي على العدد اثنين فقط. بدلًا من محاولة وضع 𝑥 بالطرف الأيسر مباشرة، كان بإمكاننا أن نقرر أن نجعل الطرف الأيمن يتكون من log قيمة ما للأساس ثلاثة. بعد ذلك يمكننا قسمة الطرفين على log ثلاثة للأساس تسعة. اخترنا هذه الطريقة لأنه يمكننا بذلك تطبيق صيغة تغيير الأساس: log 𝑎 للأساس 𝑘 على log 𝑏 للأساس 𝑘 يساوي log 𝑎 للأساس 𝑏، حيث 𝑘 يساوي تسعة و𝑎 يساوي أربعة و𝑏 يساوي ثلاثة. وبذلك نحصل على log قيمة ما للأساس ثلاثة في الطرف الأيمن.

ما هو log ثلاثة للأساس تسعة؟ هناك طريقة أخرى لطرح هذا السؤال، أن نقول تسعة مرفوعًا لأي قوة أسية يساوي ثلاثة؟ الإجابة هي: نصف. وبذلك، يصبح الطرف الأيسر log 𝑥 للأساس ثلاثة على نصف. بضرب الطرفين في نصف، يصبح لدينا log 𝑥 للأساس ثلاثة يساوي نصف log أربعة للأساس ثلاثة.

ونجد أنه يمكننا تبسيط الطرف الأيمن باستخدام قانون آخر من قوانين اللوغاريتمات. الطرف الأيمن هو log أربعة للأساس ثلاثة مرفوعًا للقوة الأسية نصف، أي log اثنين للأساس ثلاثة. وكما ذكرنا من قبل، نحصل على 𝑥 يساوي اثنين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.