فيديو السؤال: إيجاد عدد الأعداد المميزة التي يمكن تكوينها باستخدام أربع بطاقات أعداد مختلفة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

لدينا أربع بطاقات أعداد مرقمة بالأرقام ثلاثة، وأربعة، وخمسة، وستة. كم عددًا مميزًا يمكن تكوينه باستخدام بطاقة واحدة على الأقل من البطاقات؟

بقراءة السؤال جيدًا، نجد أنه يطلب منا إيجاد عدد الأعداد المميزة التي يمكننا تكوينها باستخدام بطاقة واحدة على الأقل من بين أربع بطاقات. يعني هذا أنه يمكننا استخدام بطاقة واحدة فقط لتكوين عدد مكون من رقم واحد، أو بطاقتين لتكوين عدد مكون من رقمين. كذلك يمكننا استخدام ثلاث بطاقات لتكوين عدد مكون من ثلاثة أرقام. ويمكننا استخدام جميع البطاقات الأربع لتكوين عدد مكون من أربعة أرقام. علينا أن نتناول كل حالة ممكنة على حدة.

إذا كنا سنستخدم بطاقة واحدة فقط، فسنجد أنه من المنطقي أن نحصل على أربعة نواتج ممكنة. ويمكننا استخدام كل بطاقة من البطاقات: إما ثلاثة، أو أربعة، أو خمسة، أو ستة. إذن، ثمة أربعة أعداد مميزة يمكن تكوينها إذا استخدمنا بطاقة واحدة فقط. دعونا نتناول الحالة التي سنستخدم فيها بطاقتين، وعلينا أن نكون أكثر انتباهًا هنا. يمكننا فعل ذلك من خلال التفكير في عدد الخيارات المتاحة لكل رقم في العدد المكون من رقمين.

بالنسبة إلى الرقم الأول، ثمة أربعة خيارات ممكنة: إما ثلاثة، أو أربعة، أو خمسة، أو ستة. ولكن، عندما ننتقل إلى الرقم الثاني، سنكون قد اخترنا إحدى البطاقات بالفعل لتكوين الرقم الأول. وعليه، يتبقى لنا ثلاثة خيارات ممكنة فقط. يمكن دمج أي رقم من الأرقام المتاحة للرقم الأول مع أي رقم من الأرقام المتاحة للرقم الثاني. إذن، يصبح لدينا أربعة مضروبًا في ثلاثة، وهو ما يساوي ١٢ عددًا ممكنًا مكونًا من رقمين.

والآن، يجب أن نلاحظ أن الترتيب مهم هنا. فالعدد ٥٦ يختلف عن العدد ٦٥؛ لذا سنعد هاتين البطاقتين مرتين نظرًا لترتيبيهما الممكنين. في الواقع، نحن نتعامل هنا مع تطبيق على التباديل، أي عدد الطرق المختلفة التي يمكننا من خلالها اختيار بطاقتين من بين أربع بطاقات، عندما يكون الترتيب مهمًّا. ويمكن كتابة هذا باستخدام الترميز أربعة ﻝ اثنين. بصفة عامة، يعني الترميز ﻥﻝﺭ عدد التباديل المختلفة لاختيار عدد ﺭ من العناصر من عدد ﻥ من العناصر المختلفة. ويمكن حساب ذلك باستخدام الصيغة: مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ﺭ.

هذه ليست طريقة مختلفة لإيجاد عدد الخيارات المتاحة، إنها الشيء نفسه. وبالرجوع إلى عدد الخيارات المتاحة عند استخدام بطاقتين، نجد أنه كان بإمكاننا إيجاد ذلك عن طريق إيجاد قيمة أربعة ﻝ اثنين، التي تساوي مضروب أربعة على مضروب أربعة ناقص اثنين. وهذا يساوي مضروب اثنين. مضروب أربعة يساوي أربعة في ثلاثة في اثنين في واحد، وهو ما يساوي ٢٤، ومضروب اثنين يساوي اثنين في واحد، وهو ما يساوي اثنين. إذن، يصبح لدينا ٢٤ على اثنين، وهو ما يساوي ١٢ بالتأكيد.

عندما نصل إلى عدد الأعداد المختلفة التي يمكن تكوينها باستخدام ثلاث بطاقات، يمكننا استخدام عملية التباديل مباشرة. وعدد الطرق التي يمكننا استخدامها لاختيار ثلاث بطاقات من بين أربع بطاقات، عندما يكون الترتيب مهمًّا، هو أربعة ﻝ ثلاثة، ما يساوي مضروب أربعة على مضروب أربعة ناقص ثلاثة، أي مضروب واحد. مضروب واحد يساوي واحدًا ومضروب أربعة، كما عرفنا، يساوي ٢٤. إذن، لدينا ٢٤ على واحد، وهو ما يساوي ٢٤.

يمكننا التأكد من ذلك بالتفكير في عدد الخيارات لكل رقم. ثمة أربعة خيارات للرقم الأول، وثلاثة خيارات للرقم الثاني؛ لأننا استخدمنا بطاقة بالفعل، وأخيرًا يوجد خياران للرقم الثالث؛ لأننا استخدمنا بطاقتين. إذن، إجمالي عدد الترتيبات الممكنة لثلاث بطاقات من إجمالي أربع بطاقات هو أربعة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في اثنين، وهو ما يساوي ١٢ مضروبًا في اثنين، ما يعطينا ٢٤ بالتأكيد.

وأخيرًا، عدد الأعداد المميزة التي يمكننا تكوينها باستخدام البطاقات الأربع هو أربعة ﻝ أربعة، وهو ما يساوي مضروب أربعة على مضروب أربعة ناقص أربعة، أي مضروب صفر. في هذه المرحلة، علينا أن نتذكر أن مضروب صفر يعرف بأنه يساوي واحدًا. إذن، لدينا ٢٤ على واحد، وهو ما يساوي ٢٤. وبالتفكير مرة أخرى في عدد الخيارات لكل رقم، يصبح لدينا أربعة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في اثنين مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي ٢٤.

بذلك، نكون أوجدنا عدد الأعداد المميزة التي يمكن تكوينها باستخدام بطاقة واحدة وبطاقتين وثلاث بطاقات، وأخيرًا باستخدام جميع البطاقات الأربع. ولإيجاد إجمالي عدد الأعداد المميزة التي يمكن تكوينها، علينا جمع هذه النواتج معًا: أربعة زائد ١٢ زائد ٢٤ زائد ٢٤ يساوي ٦٤. إذن، عدد الأعداد المميزة التي يمكن تكوينها باستخدام بطاقة واحدة على الأقل من البطاقات الأربع المختلفة هو ٦٤.