فيديو الدرس: قاعدة القوة للاشتقاق الرياضيات

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نستخدم قاعدة القوى للمشتقات ومشتقة مجموع الدوال لإيجاد مشتقات الدوال كثيرات الحدود ودوال القوى العامة.

١٨:٢٦

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعرف على قاعدة القوى للمشتقات ونتعلم كيف نستخدمها. سيمكننا ذلك من اشتقاق دوال القوى ذات الأسس الموجبة، والسالبة، والكسرية. وسنناقش كذلك قواعد إيجاد مشتقة مجموع الحدود أو الفرق بينها، ما يمكننا من إيجاد مشتقات الدوال كثيرات الحدود ذات الأسس الحقيقية. وسنطبق بعد ذلك هذه القواعد على مجموعة من الأمثلة.

لنبدأ بتذكر صورة أو تعريف مشتقة الدالة. بالنسبة للدالة ﺩ في المتغير ﺱ، تكون مشتقتها المشار إليها بـ ﺩ شرطة ﺱ، تساوي النهاية عند اقتراب ﻫ من صفر لـ ﺩ(ﺱ) زائد ﻫ ناقص ﺩ(ﺱ) على ﻫ عند النقاط التي توجد عندها هذه النهاية. من أين أتى هذا التعريف؟ لننظر إلى التمثيل البياني للدالة ﺹ يساوي ﺩ(ﺱ) التي نريد إيجاد مشتقتها عند نقطة معينة بالقيمة العامة لإحداثي ﺱ، وهي ﺱ. إذا حددنا نقطة أخرى على مسافة قريبة من إحداثي ﺱ لها هو ﺱ زائد ﻫ، فسيمكننا رسم وتر يصل بين هاتين النقطتين.

سيعطينا ميل هذا الوتر قيمة تقريبية لميل المنحنى؛ وبالتالي المشتقة الأولى للمنحنى، عند النقطة التي إحداثي ﺱ لها هو ﺱ. يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية أسفل هذا الوتر ثم إيجاد صيغة تعبر عن ميله باستخدام التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. يكون التغير في ﺹ هو قيمة الدالة عند ﺱ زائد ﻫ ناقص قيمة الدالة عند ﺱ. وهو ما يساوي ﺩ(ﺱ) زائد ﻫ ناقص ﺩ(ﺱ). والتغير الأفقي هو ﺱ زائد ﻫ ناقص ﺱ. يلغي حدا ﺱ في المقام أحدهما الآخر. ويتبقى لدينا ﺩ(ﺱ) زائد ﻫ ناقص ﺩ(ﺱ) على ﻫ. لكن تذكر أن ذلك هو ميل الوتر القصير، وليس ميل المنحنى نفسه. لكن لو كانت قيمة ﻫ صغيرة بما فيه الكفاية، فإنها ستعطي قيمة تقريبية جيدة.

ما نفعله إذن هو افتراض سلسلة متوالية من الأوتار يقل طولها تدريجيًّا. فنقلل قيمة ﻫ بحيث تقترب هاتان النقطتان بعضهما من بعض. كلمة اقترب ﻫ من الصفر، اقتربت سلسلة الأوتار من أن تصبح مماسًّا للتمثيل البياني لـ ﺩ عند النقطة ﺱ. إذن ميل المماس، وهو ميل المنحنى ومشتقته الأولى ﺩ شرطة ﺱ، يساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لهذه القيمة ﺩ(ﺱ) زائد ﻫ ناقص ﺩ(ﺱ) على ﻫ. وهو ما كتبناه سابقًا في التعريف الرسمي.

حسنًا، هذا رائع. نعلم التعريف الرسمي لإيجاد مشتقة دالة. ونعلم أيضًا من أين حصلنا عليه. ولكن عمليًّا، قد يكون استخدام هذا التعريف عملية مملة ومستهلكة للوقت. لذا سيكون من الرائع لو أن هناك بعض القواعد العامة التي يمكننا تطبيقها بدلًا من ذلك. لكن دعونا أولًا نستخدم هذا التعريف لإيجاد صيغة تعبر عن مشتقة الدالة ﺩ(ﺱ) يساوي ﺱ تربيع، وهو ما يسمى بالاشتقاق من التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات. وسنستخدم ذلك، بعد ذلك، لمعرفة إذا ما كان يمكننا التعميم.

من التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات، يكون ﺩ شرطة ﺱ، للدالة ﺩ(ﺱ)، يساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ﺱ زائد ﻫ الكل تربيع ناقص ﺱ تربيع على ﻫ. وبفك الأقواس، نحصل على النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱﻫ زائد ﻫ تربيع ناقص ﺱ تربيع الكل على ﻫ. يلغي الحدان ﺱ تربيع في البسط أحدهما الآخر. ويوجد عامل مشترك بين الحدود المتبقية كلها، وهو ﻫ، الذي يمكننا التبسيط بالقسمة عليه بسطًا ومقامًا. تتبقى لدينا النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لاثنين ﺱ زائد ﻫ. ومع اقتراب ﻫ من صفر، ستساوي هذه النهاية اثنين ﺱ.

إذن باستخدام الاشتقاق من التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات، عرفنا أن مشتقة ﺱ تربيع هي اثنان ﺱ. يمكننا تطبيق الطريقة نفسها لإيجاد مشتقات ﺱ تكعيب، وﺱ أس أربعة، وهكذا. وإذا قمنا بذلك، فسنجد أن مشتقة ﺱ تكعيب هي ثلاثة ﺱ تربيع، ومشتقة ﺱ أس أربعة هي أربعة ﺱ تكعيب. هل يمكنك ملاحظة نمط ما في هذه النتائج؟ يمكننا ملاحظة النمط بصورة أسهل إذا أعدنا كتابة اثنين ﺱ بالصورة اثنين ﺱ أس واحد. ما يجب علينا ملاحظته هو أنه في المشتقة، قل الأس بمقدار واحد كل مرة. وضربت الدالة في الأس الأصلي.

على سبيل المثال، في حالة ﺱ تكعيب، قل الأس بمقدار واحد؛ إذ قل من ثلاثة إلى اثنين. وضربنا الدالة في الأس الأصلي وهو ثلاثة. هذا يعطينا القاعدة العامة الأولى، التي تسمى بقاعدة القوى. وهي تنص على أن مشتقة ﺱ أس ﻥ بالنسبة لـ ﺱ تساوي ﻥ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. نطرح واحدًا من الأس ثم نضرب في الأس الأصلي.

تجدر الإشارة هنا إلى أننا أوضحنا هذه القاعدة العامة فقط. ولم نثبتها. ولكي نفعل ذلك، على الأقل بالنسبة لقيم ﻥ الصحيحة الموجبة، علينا تطبيق نظرية ذات الحدين. لكن هذه النظرية خارج نطاق موضوع هذا الفيديو. تسري هذه القاعدة، في الواقع، على أي قيمة حقيقية لـ ﻥ. وبالتالي، فهي تشمل الأسس الموجبة والسالبة والكسرية.

هذا جيد إذا كان معامل الحد يساوي واحدًا فقط. لكن ماذا إذا كان لدينا معامل قيمته العامة ﺃ؟ لدينا ثابت مضروب في ﺱ أس قيمة حقيقية هي ﻥ. يمكننا العودة إلى التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات، ربما بالاستعانة بالمثال الذي يتضمن الدالة ﺩ(ﺱ) يساوي أربعة ﺱ تربيع. إذا فعلنا ذلك، ويمكنك إيقاف الفيديو مؤقتًا والتحقق باستخدام العمليات الجبرية إذا أردت، فسنجد أن ﺩ شرطة ﺱ يساوي ثمانية ﺱ. كيف يرتبط ذلك بما تساويه مشتقة الدالة الأبسط ﺱ تربيع؟ ثمانية ﺱ يساوي أربعة مضروبًا في اثنين ﺱ. واثنان ﺱ هي مشتقة ﺱ تربيع بالنسبة لـ ﺱ.

ونجد أنه بالضرب في ثابت، وهو أربعة في هذه الحالة، تضرب المشتقة أيضًا في الثابت نفسه. وبالتالي، يمكننا تعميم قاعدة القوى بصورة أكبر بقولنا إن مشتقة ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ للثابتين الحقيقيين ﺃ وﻥ تساوي ﺃ مضروبًا في ﻥﺱ أس ﻥ ناقص واحد. يمكننا تفسير ذلك عمليًّا أيضًا. نتذكر أن الضرب في ثابت يعطينا تمددًا رأسيًّا بمعامل قياس يساوي ذلك الثابت. وبالتالي، فإن المنحنى ﺹ يساوي أربعة ﺱ تربيع هو تمدد رأسي للمنحنى ﺹ يساوي ﺱ تربيع بمعامل قياس يساوي أربعة.

وميل مماسات هذه المنحنيات؛ ومن ثم مشتقاتها لأي قيمة لـ ﺱ، تزيد بمقدار أربعة أمثال على المنحنى ﺹ يساوي أربعة ﺱ تربيع مقارنة بقيمتها على المنحنى ﺹ يساوي ﺱ تربيع. وبذلك يكون لدينا العامل الإضافي أربعة في المشتقة، أو بشكل أعم، العامل الإضافي ﺃ.

ثمة تطبيق آخر لقاعدة القوى، وهو قاعدة إيجاد مشتقة ثابت. افترض أنك تريد إيجاد مشتقة الدالة ﺩ(ﺱ) يساوي سبعة. تذكر أنه يمكننا أيضًا النظر إلى سبعة على أنها سبعة ﺱ أس صفر؛ حيث ﺱ أس صفر يساوي واحدًا. بتطبيق قاعدة القوى، نحصل على المشتقة ﺩ شرطة ﺱ يساوي سبعة مضروبًا في صفر ﺱ أس صفر ناقص واحد، وهو ما يساوي صفرًا. إذن مشتقة الدالة ﺩ(ﺱ) يساوي سبعة، وفي الواقع مشتقة أي ثابت ﺙ بالنسبة إلى ﺱ، تساوي صفرًا.

يمكننا مجددًا معرفة التفسير العملي لذلك إذا نظرنا إلى التمثيل البياني للدالة ﺩ(ﺱ) يساوي سبعة. وهو عبارة عن خط أفقي يمر بالعدد سبعة على المحور الرأسي. إذا تذكرنا أن المشتقة تعطينا معدل تغير ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، فسنجد أنه بما أن ﺹ لا يتغير، فإن معدل تغيره يساوي صفرًا. ينطبق الأمر نفسه إذا نظرنا إلى التمثيلين البيانيين لـ ﺹ يساوي ﺭ(ﺱ) وﺹ يساوي ﺭ(ﺱ) زائد ﺙ لدالة ﺭ(ﺱ) وثابت ﺙ. سنعلم أن التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺭ(ﺱ) زائد ﺙ هو انتقال رأسي للتمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺭ(ﺱ) بمقدار ﺙ من الوحدات.

وبتذكر أن المشتقة الأولى للدالة تعبر عن ميلها عند تلك النقطة، نجد أن ميلي المنحنيين متطابقان لكل قيمة من قيم ﺱ. وأحدهما يقع رأسيًّا فوق الآخر. وبالتالي، نرى مجددًا أن إضافة ثابت إلى الدالة لا يشكل فرقًا لمشتقتها. ومن ثم، فإن مشتقة الحد الثابت هي صفر.

أخيرًا، ننظر في مشتقة المجموع أو الفرق بين دالتين أو أكثر. بالعودة إلى التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات، يمكننا إثبات أن مشتقة مجموع دالتين أو الفرق بينهما تساوي مجموع مشتقات الدالتين أو الفرق بين مشتقاتهما. مشتقة الدالة ﺩ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ زائد أو ناقص ﺭ(ﺱ) تساوي مشتقة الدالة ﺩ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ زائد أو ناقص مشتقة ﺭ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ. وبما أن كثيرة الحدود هي مجموع الحدود الأسية التي أصبحنا نعرف الآن كيفية اشتقاقها، فيمكننا إيجاد مشتقة الدوال كثيرات الحدود بدمج هذه القواعد، دون الحاجة إلى العودة إلى التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات. لننظر الآن إلى بعض الأمثلة على ذلك.

أوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ، إذا كان ﺹ يساوي ٢٢ﺱ أس أربعة.

الدالة المطلوب منا اشتقاقها هي حد أسي عام. يمكننا إذن حل هذه المسألة باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق. وهي تنص على أنه بالنسبة للثابتين الحقيقيين ﺃ وﻥ، تكون مشتقة ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ هي ﺃﻥﺱ أس ﻥ ناقص واحد. نضرب في الأس الأصلي ثم نطرح واحدًا من الأس. في هذه المسألة، قيمة ﺃ، أي المعامل، تساوي ٢٢. وقيمة ﻥ، أي الأس، تساوي أربعة. بتطبيق قاعدة القوى، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺃ، أي ٢٢، مضروبًا في ﻥ، أي أربعة، مضروبًا في ﺱ أس أربعة ناقص واحد.

تذكر أنه من الناحية العملية، ما فعلناه هو أننا ضربنا في الأس الأصلي ثم طرحنا واحدًا من الأس. يمكننا تبسيط المعامل؛ ٢٢ مضروبًا في أربعة يساوي ٨٨. ونبسط بعد ذلك الأس؛ أربعة ناقص واحد يساوي ثلاثة. إذن بتطبيق قاعدة القوى للاشتقاق، وجدنا أنه إذا كان ﺹ يساوي ٢٢ﺱ أس أربعة، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ٨٨ﺱ تكعيب.

أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي اثنين ﺱ مضروبًا في تسعة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد ١٠ﺱ.

للبدء في الحل، دعونا نبسط الدالة ﺹ بفك الأقواس. لدينا اثنان ﺱ مضروبًا في تسعة ﺱ تربيع، وهو ما يعطينا ١٨ﺱ تكعيب. ولدينا، بعد ذلك، اثنان ﺱ مضروبًا في سالب ثلاثة ﺱ، وهو ما يعطينا سالب ستة ﺱ تربيع. إذن الدالة ﺹ تساوي ١٨ﺱ تكعيب ناقص ستة ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ. نلاحظ أن الدالة ﺹ هي مجموع الحدود الأسية لـ ﺱ. فهي كثيرة الحدود. وبالتالي، يمكننا إيجاد مشتقتها باستخدام قاعدة القوى. وهي تنص على أن مشتقة ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ للثابتين الحقيقيين ﺃ وﻥ تساوي ﺃﻥﺱ أس ﻥ ناقص واحد. نضرب في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس.

علينا أن نتذكر أيضًا أنه لإيجاد مشتقة مجموع دوال أو الفرق بينها، يمكننا حساب مجموع مشتقاتها أو الفرق بينها. يمكننا اشتقاق كل حد على نحو منفصل ثم إجراء عملية الجمع أو الطرح. لنشتق كل حد على حدة. مشتقة ١٨ﺱ تكعيب هي ١٨ مضروبًا في ثلاثة ﺱ تربيع. ضربنا في الأس ثلاثة ثم طرحنا واحدًا من الأس. مشتقة سالب ستة ﺱ تربيع هي سالب ستة في اثنين ﺱ. ولإيجاد مشتقة ١٠ﺱ، قد يكون من المفيد اعتبارها ١٠ﺱ أس واحد. وبالتالي، فإن المشتقة تساوي ١٠ مضروبًا في واحد مضروبًا في ﺱ أس صفر.

لكن تذكر أن ﺱ أس صفر يساوي واحدًا. إذن مشتقة ١٠ﺱ هي ١٠. بتبسيط العوامل، يصبح لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ٥٤ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺱ زائد ١٠.

في المثال التالي، سنعرف كيف نوجد مشتقة حد أسي بإشارة سالبة.

أوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ، إذا كان ﺹ يساوي سالب ٤٣ على ﺱ أس ثمانية.

الخطوة الأولى لحل هذه المسألة هي تذكر أنه يمكن كتابة المقلوب باستخدام أس سالب. واحد على ﺱ أس ﻥ يساوي ﺱ أس سالب ﻥ. وبالتالي، يمكننا إعادة كتابة الدالة ﺹ على الصورة ﺹ يساوي سالب ٤٣ﺱ أس سالب ثمانية. نلاحظ أن الدالة تتكون من حد أسي عام يمكننا إيجاد مشتقته باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق. وهي تنص على أنه بالنسبة للثابتين الحقيقيين ﺃ وﻥ، مشتقة ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃﻥﺱ أس ﻥ ناقص واحد.

بتطبيق قاعدة القوى، يصبح لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ٤٣ مضروبًا في سالب ثمانية ﺱ أس سالب تسعة. يجب أن ننتبه جيدًا إلى الأس هنا. حصلنا على القيمة سالب تسعة بطرح واحد من الأس الأصلي سالب ثمانية. تذكر أننا نطرح واحدًا. لكن لأن الأس سالب، فمن الأخطاء الشائعة تغيير الأس إلى سالب سبعة. غير أن هذا سيكون بمثابة إضافة واحد. احرص على الانتباه لذلك عند اشتقاق الحدود ذات الأسس السالبة.

يمكننا بعد ذلك تبسيط المعامل. سالب ٤٣ مضروبًا في سالب ثمانية يعطينا ٣٤٤. وأخيرًا، نعيد كتابة ﺱ أس سالب تسعة في صورة مقلوب. عرفنا أنه إذا كان ﺹ يساوي سالب ٤٣ على ﺱ أس ثمانية، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ٣٤٤ على ﺱ أس تسعة.

في المثال الأخير، سنعرف كيف نوجد مشتقة مقدار يتضمن جذرًا تربيعيًّا.

أوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ، إذا كان ﺹ يساوي ستة جذر ﺱ على سبعة.

لحل هذه المسألة، علينا التفكير في الطرق البديلة التي يمكننا التعبير بها عن الجذر التربيعي. نعلم من قوانين الأسس أنه يمكن إعادة كتابة الجذر ﻥ لـ ﺱ بالصورة ﺱ أس واحد على ﻥ. وعلى الرغم من أننا لا نكتب اثنين صغيرة للجذر التربيعي، فهذه هي قيمة ﻥ. لذا يمكننا إعادة كتابة الجذر التربيعي لـ ﺱ على الصورة ﺱ أس نصف. وبالتالي يمكن إعادة كتابة ﺹ على الصورة ستة أسباع ﺱ أس نصف. نلاحظ أن لدينا حدًّا أسيًّا عامًّا. يمكننا اشتقاق ذلك باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق التي تنص على أنه فيما يخص الثابتين الحقيقيين ﺃ وﻥ، مشتقة ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃﻥﺱ أس ﻥ ناقص واحد.

لنبدأ في الحل. نضرب أولًا في الأس ﻥ؛ أي نصف. ونطرح بعد ذلك واحدًا من الأس؛ ما يعطينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ستة أسباع مضروبًا في نصف مضروبًا في ﺱ أس نصف ناقص واحد. يمكننا تبسيط المعامل بحذف العامل المشترك اثنين. نصف ناقص واحد يساوي سالب نصف. نتذكر قاعدة أخرى من قواعد الأسس، وهي أن الأس السالب يعرف المقلوب. إذن ﺱ أس سالب نصف يساوي واحدًا على ﺱ أس نصف، أو واحدًا على الجذر التربيعي لـ ﺱ. بذلك نتوصل إلى أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ثلاثة على سبعة جذر ﺱ.

لنلخص ما تناولناه في هذا الفيديو. تنص قاعدة القوى للاشتقاق في أبسط صورة لها على أنه بالنسبة للأس الحقيقي ﻥ، تكون مشتقة ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ هي ﻥﺱ أس ﻥ ناقص واحد. وبوجه عام، إذا كان لدينا المعامل ﺃ، فإن مشتقة ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ هي ﺃﻥﺱ أس ﻥ ناقص واحد. عرفنا أيضًا أن أحد تطبيقات ذلك يتمثل في أن مشتقة أي ثابت ﺙ بالنسبة إلى ﺱ تساوي صفرًا.

وأخيرًا، عرفنا أن مشتقة مجموع حدود أو دوال أو الفرق بينها تساوي مجموع مشتقاتها أو الفرق بين هذه المشتقات. عرفنا كذلك كيفية تطبيق هذه القواعد لاشتقاق أسس ﺱ، بما في ذلك الأسس الكسرية أو السالبة. ورأينا كيف نشتق كثيرات الحدود دون العودة إلى التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات. من الممكن بعد ذلك تطبيق هذه القواعد لاشتقاق مجموعة أوسع نطاقًا من الدوال.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.