فيديو السؤال: بحث وجود نهاية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

ابحث وجود النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لواحد على القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص اثنين.

في هذا السؤال، لدينا نهاية ومطلوب منا بحث وجود هذه النهاية. يمكننا تذكر أنه لكي تكون النهاية موجودة، يجب أن تقترب مخرجات الدالة من قيمة محددة عندما تقترب المدخلات من النقطة من الجهتين. هذا يكافئ القول بأننا نريد أن تكون النهايتان اليسرى واليمنى للدالة عند هذه النقطة موجودتين ومتساويتين.

هناك عدة طرق لتحليل هذه النهاية. على سبيل المثال، يمكننا رسم التمثيل البياني لهذه الدالة من خلال ملاحظة أنه يمكن إعادة كتابتها على صورة القيمة المطلقة لواحد على ﺱ ناقص اثنين. يمكننا رسم تمثيل بياني لهذه الدالة من خلال ملاحظة أنه يمثل تحويلًا لمنحنى دالة المقلوب. ننقل المنحنى بمقدار وحدتين إلى اليمين، ثم نعكس أي جزء من المنحنى يقع أسفل المحور ﺱ حول المحور ﺱ.

بتطبيق هذين التحويلين على منحنى دالة المقلوب، نحصل على الشكل الموضح. يمكننا ملاحظة أن خط التقارب الرأسي انتقل بمقدار وحدتين إلى يمين الخط المستقيم ﺱ يساوي اثنين، كما نلاحظ أن خط التقارب الأفقي يظل عند ﺹ يساوي صفرًا. يمكننا استخدام هذا الرسم لتحليل النهايتين اليسرى واليمنى لهذه الدالة عندما يقترب ﺱ من اثنين. أولًا، نلاحظ أنه عندما تقترب قيم ﺱ من اثنين من ناحية اليسار، فإن المنحنى يتجه لأعلى دون حد ويقترب من موجب ∞. ومن ثم يمكننا القول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين من ناحية اليسار لواحد على القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص اثنين تساوي ∞. من الجدير بالذكر أن نؤكد هنا على أنه عندما نقول إن النهاية تساوي ∞، فهذا يعني أيضًا أن النهاية غير موجودة. لكن من المفيد ملاحظة أن قيمة النهاية تساوي ∞.

لدينا حالة مشابهة جدًّا وهي أن نحلل التمثيل البياني باستخدام قيم ﺱ التي تقترب من اثنين من ناحية اليمين. في هذه الحالة نلاحظ أن المنحنى يتجه لأعلى دون حد باتجاه موجب ∞، إذن تقترب مخرجات الدالة من موجب ∞ عندما يقترب ﺱ من اثنين من ناحية اليمين. لذا يمكننا مرة أخرى القول إن نهاية هذه الدالة عندما يقترب ﺱ من اثنين من ناحية اليمين غير موجودة. لكن يمكننا القول إن قيمة نهاية الدالة تساوي موجب ∞.

بما أن كلتا النهايتين اليسرى واليمنى تساوي ∞، يمكننا القول إن قيمة النهاية تساوي ∞. لكن هذا يعني أن النهاية غير موجودة. إذن النهاية غير موجودة، لكن النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لواحد على القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص اثنين تساوي ∞.