نسخة الفيديو النصية
افترض أن ﺱ متغير عشوائي متصل، له دالة كثافة الاحتمال: ﺩﺱ تساوي ﺱ على ثمانية إذا كان ﺱ أكبر من اثنين وأصغر من ثلاثة، وﺩﺱ تساوي واحدًا على ٤٨ إذا كان ﺱ أكبر من ثلاثة وأصغر من ٣٦، وﺩﺱ تساوي صفرًا ما عدا ذلك. أوجد احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ١١ وأصغر من أو يساوي ٢٤.
تذكر أن المتغير العشوائي المتصل هو المتغير الذي يأخذ عددًا لا نهائيًّا من القيم الممكنة. ولإيجاد احتمال وقوع ﺱ في فترة ما، نستخدم دالة كثافة الاحتمال. وتحقق دالة كثافة الاحتمال بعض المعايير. المعيار الأول هو أن قيم ﺩﺱ يجب أن تكون أكبر من أو تساوي صفرًا لجميع قيم ﺱ. والمعيار الثاني هو أن التكامل المحدد بين سالب ∞ و∞ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي واحدًا. والمعيار الثالث، وهو المعيار الذي يعنينا، ينص على أن احتمال أن يأخذ ﺱ قيمًا أكبر من ﺃ وأصغر من ﺏ يساوي التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
في الحقيقة، من المهم أن ندرك أنه بما أن هذه دالة متصلة، فإن الأمر نفسه ينطبق على احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ﺃ وأصغر من أو يساوي ﺏ. وهذا رائع؛ لأننا نريد إيجاد احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ١١ وأصغر من أو يساوي ٢٤. وعليه، فإن احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ١١ وأصغر من أو يساوي ٢٤ يجب أن يساوي التكامل المحدد بين ١١ و٢٤ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ولكن ﺩﺱ معرفة باستخدام دالة متعددة التعريف. إذن ما الجزء الذي سنستخدمه من الدالة؟
حسنًا، جزء الدالة الذي يعنينا هو عندما تكون قيم ﺱ أكبر من ثلاثة وأصغر من ٣٦. تذكر أننا نبحث عن قيم ﺱ الأكبر من أو تساوي ١١ والأصغر من أو تساوي ٢٤. ومن ثم، علينا إيجاد التكامل المحدد بين ١١ و٢٤ لواحد على ٤٨ بالنسبة إلى ﺱ. وعند حساب تكامل واحد على ٤٨، نحصل على: ﺱ على ٤٨. ومن ثم، فإن احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ١١ وأصغر من أو يساوي ٢٤ هو ٢٤ على ٤٨ ناقص ١١ على ٤٨، وهو ما يساوي ١٣ على ٤٨. ومن ثم إذا كان ﺱ هو المتغير العشوائي المتصل الذي له دالة كثافة الاحتمال الموضحة، فإن احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ١١ وأصغر من أو يساوي ٢٤ هو: ١٣ على ٤٨.
