فيديو: القطع الزائد

يوضح الفيديو ما القطع الزائد، وخصائصه وشكله باتجاهَيْه في حالة أن مركزه هو نقطة الأصل (٠، ٠)، أو أن مركزه نقطة (د، ھ) مخالفة لنقطة الأصل، ومثالًا عليها.

١٥:٣٦

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده، هنتكلّم عَ القطع الزائد.

هنتكلّم عن شكل الرسمة. هنتكلّم عَ الخصائص. هنتكلّم على المعادلة بتاعة القطع الزائد؛ إيه أشكالها، وإيه صورها. بس الأول خلّينا نبدأ بتعريف يعني إيه قطع زائد. القطع الزائد هو المحلّ الهندسي لمجموعة نقاط في المستوى. بحيث تكون القيمة المطلقة للفرق بين بُعد أيّ نقطة، أيّ نقطة من النقط دي، عن نقطتين ثابتين مقدار ثابت.

خلّينا الأول نبدأ بالنقطتين الثابتين اللي في التعريف دول. إحنا قلنا: بحيث تكون القيمة المطلقة للفرق بين بُعد أيّ نقطة عن نقطتين ثابتين مقدار ثابت. النقطتين الثابتين دول بنسمّيهم بؤرتين. خلّينا بقى نشوف التعريف ده على الرسم إزّاي. التعريف بيقول: إن فيه مجموعة نقاط في المستوى. فبنقول: إن دي نقطة، ودي نقطة، ودي نقطة، ودي نقطة، ودي نقطة. كلّ دي مجموعة نقاط بتمثّل لي القطع الزائد بتاعنا.

خلّينا ناخد نقطتين كده، ونشوف التعريف هينطبق إزّاي عَ النقطتين دول. لو عندنا النقطة دي، اللي إحنا شايفينها دي، ورُحنا نشوف البُعد بينها وبين البؤرة، زيّ ما إحنا شايفين. البؤرة الأولى، ودي البؤرة التانية. فلو جينا نشوف البُعد بين النقطة دي وبين البؤرة دي، اللي هو بالرصاصي الغامق ده، زيّ ما إحنا شايفين. اللي هو البُعد ده. والبُعد بين نفس النقطة والبؤرة التانية، اللي هو البُعد ده، زيّ ما إحنا شايفين كده. وجِبنا الفرق بين البُعدين دول. وأخدنا المقياس بتاعه. طلع مقدار. خلّي المقدار ده على جنب كده.

خلّينا نشوف النقطة التانية اللي بالأخضر دي. النقطة اللي بالأخضر دي، زيّ ما إحنا شايفين، هنروح نجيب بُعدها عن البؤرة الأولى. يطلع زيّ ما إحنا شايفين كده. ونجيب بُعد نفس النقطة عن البؤرة التانية، زيّ ما إحنا شايفين كده. لو جينا نشوف البُعدين دول؛ البُعد ده، والبُعد ده، وطرحناهم من بعض، وأخدنا مقياسه. هيطلع معانا مقدار مساوي لنفس المقدار بتاع النقطة الأولى.

يبقى إحنا عندنا نقطتين. رُحت أشوف بُعد النقطة الأولى دي عن البؤرتين، وطرحتهم. وعندنا نقطة تانية كانت بالأخضر أهي. رُحنا قِسنا بُعدها عن البؤرتين، وطرحنا البُعدين دول. وجِبنا مقياس الطرح ده. طلع إن مقياس الطرح الأولاني بتاع النقطة الأولى يساوي نفس مقياس الطرح بتاع النقطة التانية. وبكده التعريف بيكون مظبوط. إن بُعد أيّ نقطة تقع على القطع الزائد عن البؤرتين مقدار ثابت، بعد ما نطرحهم من بعض وبنجيب المقياس. يبقى أيّ نقطة هنجيب بُعدَيْها عن البؤرتين. نطرح البُعدين دول، نجيب بالمقياس دائمًا وأبدًا، هيطلع ثابت.

لو جينا نتكلّم عن خصائص القطع الزائد، فأول حاجة هنتكلّم عنها هي المركز. زيّ ما إحنا شايفين، اللي في النصّ ده هو مركز القطع الزائد. لو جينا نشوف البؤرتين، لسه متكلّمين عنهم، عبارة عن نقطتين ثابتين في المستوى. بنلاحظ إن بُعد البؤرة الأولى عن المركز يساوي بُعد البؤرة التانية عن المركز. المركز يقع في النصّ. والتلاتة يقعوا على استقامة واحدة؛ البؤرتين، والمركز.

خلّينا نتكلّم بعد كده عن الرأس. خلّينا نشوف الرأسين. الرأسين عندنا، زيّ ما إحنا شايفين كده، الرأس الأولى، ودي الرأس التانية. خلّيني أعلّمها بنقطة تانية، بلون تاني. آدي الرأس الأولى، وآدي الرأس التانية. برضو بنلاحظ إن المركز يقع في النصّ. لو جينا نشوف محور السينات هنا، بنسمّيه محور قاطع؛ لأنه بيقطع القطع الزائد، زيّ ما إحنا شايفين. طب بيقطعه فين؟ بيقطعه في النقطتين بتوع الرأس، زيّ ما إحنا شايفين كده.

لو جينا نشوف، بنلاقي إن محور الصادات هنا بنسمّيه محور مرافق. المحور المرافق ده مش بيقطع القطع الزائد، ولكنه بيكون عمودي على المحور القاطع. يبقى عندنا محور قاطع، ومحور مرافق. القاطع بيقطع القطع الزائد في الرأسين. وبنلاقي المحور المرافق بيكون عمودي على المحور القاطع.

خلّينا بقى بعد كده نتكلّم عن الرأسين المرافقين. الرأسين المرافقين اللي همّ بالأخضر اللي شايفينهم دول؛ النقطة دي، والنقطة دي. دول بيقعوا على المحور المرافق. يبقى دول مش بيقعوا على القطع الزائد. لأ، دول بيقعوا على المحور المرافق بتاع القطع الزائد.

آخر حاجة هنتكلّم عنها هي الخطوط التقارُبية. الخطوط التقارُبية هي خطوط مستقيمة يقترب منها القطع الزائد، ولا يقطعها. زيّ ما إحنا شايفين، الخطوط اللي بالأزرق المنقّطة دي هي عبارة عن الخطوط التقارُبية بتاعتنا. بنلاحظ إن القطع بيحاول يقرّب منها، بس عمره ما بيقطعها، فبنسمّيها خطوط تقارُبية.

يبقى إحنا عرفنا تعريف القطع الزائد. عرفنا خصائصه. دلوقتي شُفنا شكل الرسمة بتاعته إزّاي. خلّينا نتكلّم بعد كده عن المعادلة بتاعة القطع الزائد؛ بيكون شكلها إيه.

لو جينا نشوف معادلات القطع الزائد اللي مركزه نقطة الأصل، يعني صفر، وصفر. أول حاجة بنشوف الصورة القياسية. الصورة القياسية عندنا ليها شكلين؛ أول حاجة لو كان الاتجاه أفقي. يعني إيه الاتجاه أفقي؟ زيّ ما إحنا شايفين كده، بنلاقي عندنا إن هو مرسوم على محور السينات. أو بنلاقي إن الوجهين اتجاه الفتحة عبارة عن أفقي. الاتجاه الفتحة بيبصّ يمين، وبيبصّ شمال. القطع الزائد شمال ويمين، اتجاه الفتحة بتاعته. لو جينا نشوف شكل المعادلة، بيبقى: س تربيع على أ تربيع ناقص، ص تربيع على ب تربيع.

طب لو جينا نشوف الصورة القياسية، لو كان الاتجاه رأسي. بنلاقي هنا إن الفتحة لأعلى، والفتحة لأسفل. فبنقول عليه: إن الاتجاه بتاعه رأسي. شكل المعادلة: ص تربيع على أ تربيع ناقص، س تربيع على ب تربيع يساوي واحد. طب من المعادلة، إزّاي نعرف الاتجاه؟ بنشوف، بنلاقي إن س تربيع المعامل بتاعها بالموجب. يبقى أفقي. لو لقينا إن ص تربيع المعامل بتاعها هي اللي بالموجب، فبنقول ساعتها: إنه رأسي. نلاحظ كده، بنلاقي السالب قدّام الـ ص. لأ، يبقى هو أفقي؛ لأن الـ س تربيع هي اللي معاملها بالموجب. وهكذا في المعادلة الأخرى، أو شكل المعادلة الآخر.

إذن أ وَ ب ممكن نعرفهم من المعادلة. إيه ج دي بقى؟ بنلاقي عندنا إن الـ ج تربيع بتساوي أ تربيع زائد ب تربيع. وبرضو ج تربيع بتساوي أ تربيع زائد ب تربيع. يبقى كرياضة لو جمعت أ تربيع وَ ب تربيع تطلع ج تربيع. إنما ج بقى على الرسمة بتمثّل إيه؟ بتمثّل بُعد المركز اللي عندنا ده. زيّ ما إحنا شايفين، بُعد المركز عن البؤرة بيمثّل ج.

يبقى دلوقتي عندنا نقطة الأصل هي المركز. فبالنسبة لنا إحنا هنعمل إزاحة ناحية اليمين، طبعًا على الإحداثي السيني. فبنزوّد ج، وبنطرح ج؛ عشان نجيب البؤرتين، زيّ ما إحنا شايفين. أمَّا لو كان اتجاه القطع الزائد بتاعنا رأسي، فمن المركز كده، نلاقي إن الإزاحة بتبقى في الـ ص. بنعمل إزاحة لفوق؛ عشان نجيب … أو لأعلى؛ عشان نجيب البؤرة الأولى. وبنعمل إزاحة لأسفل عشان نجيب البؤرة التانية من عند المركز.

فبالتالي المركز، اللي هو صفر وصفر، هيحصل تغيُّر مقداره ج في الإحداثي الصادي لأعلى ولأسفل. يعني بالموجب وبالسالب، زيّ ما إحنا شايفين. لو جينا نشوف، هنلاقي طول المحور القاطع، سواء في الحالة دي أو الحالة دي، عبارة عن اتنين أ. وطول المحور المرافق عبارة عن اتنين ب.

لو جينا نشوف أ وَ ب تعريفهم إيه على الرسمة برضو، بنلاقي إن أ ده عبارة عن الرأس الأول، وده عبارة عن الرأس التاني. أ هي بُعد المركز عن الرأس، يبقى المقدار ده طوله أ. وإحنا قلنا: إن ده عبارة عن الرأس المرافق. يبقى من المركز لحدّ الرأس، المرافق عبارة عن ب. يبقى دلوقتي هنلاقي إن اتنين ب هي طول المحور المرافق، أي البُعد بين الرأسين المرافقين. لو جينا نشوف طول المحور القاطع، هنلاقي إن عبارة عن أ وَ أ. يعني المسافة بين الرأس الأولى والرأس التانية. لمّا نجمع البُعد بين الرأسين دول، بنلاقي إن هو ده طول المحور القاطع.

آخر حاجة هنتكلّم عنها هي معادلة الخطوط التقاربية. معادلة الخطوط التقارُبية، زيّ ما إحنا شايفين، لو كان اتجاهه أفقي عبارة عن ص تساوي موجب أو سالب ب على أ س. ولو كان اتجاهه رأسي عبارة عن موجب أو سالب أ على ب س. يبقى دي عبارة عن معادلة الخطّين المنقّطين اللي بنقول عليهم: الخطوط التقارُبية. لو عايزين نعرفهم من شكل المعادلة، كده كده هو فيه ص في الطرفين، زيّ ما إحنا شايفين. وفيه س برضو في الطرفين، زيّ ما إحنا شايفين. وفيه موجب أو سالب.

فاضل بقى ب على أ، ولّا أ على ب؟ بنروح نشوف الـ ص، المعامل اللي تحتها إيه. لو كان المعامل اللي تحتها ب تربيع، يبقى ب على أ. إنما لو ص كان المعامل اللي تحتها أ تربيع، فيبقى شكل المعادلة بتاعة الخطوط التقاربية أ على ب، زيّ ما إحنا شايفين. يبقى على حسب ص تربيع تحتها إيه، أنت ممكن تعرف معادلة الخطوط التقارُبية من الصورة القياسية للمعادلة بتاعة القطع الزائد.

خلّينا نتكلّم بعد كده عن معادلات القطع الزائد، بس المركز مش صفر وصفر، ولا نقطة الأصل. لأ، ده هو عبارة عن د وَ ﻫ. خلّينا مع بعض في صفحة جديدة نشوف. لو جينا نشوف معادلات القطع الزائد، لو كان مركزه د وَ ﻫ، فأول حاجة عندنا الصورة القياسية س ناقص د لكل تربيع، على أ تربيع. ناقص ص ناقص ﻫ لكل تربيع، على ب تربيع يساوي واحد.

وبالنسبة لنا، لو كان الاتجاه بتاعه رأسي، فبنلاقي إن شكل المعادلة بيبقى كده. يبقى ص ناقص ﻫ لكل تربيع، زيّ ما إحنا شايفين كده، ناقص س ناقص د لكل تربيع، على ب تربيع يساوي واحد. يبقى سواء لو كان الاتجاه أفقي أو كان الاتجاه رأسي، إحنا نعرف نحدّد اتجاهه من شكل المعادلة. لسه برضو س تربيع، أيًّا كان مطروح منها رقم أو لأ. لو كان المعامل بتاع س تربيع موجب، فبنقول: إن الاتجاه أفقي. لو كان معامل ص تربيع هو اللي موجب، بنقول: إن الاتجاه رأسي.

طبعًا البؤرتين لو كان أفقي بنزوّد على الإحداثي السيني موجب أو ناقص ج. يعني بنزوّد ج، ونطرح ج. إنما لو كان رأسي بنزوّد على ﻫ أو الإحداثي الصادي ج. وبننقّص ج. شكل الرأسين، طبعًا إحنا عارفين لو كان المركز د وَ ﻫ بنزود أ وننقّص أ على اتجاه السيني. إنما لو كان اتجاه القطع الزائد رأسي، بنزوّد ونطرح أ من الاتجاه الصادي، اللي هو ﻫ، الاتجاه الصادي للمركز.

معادلة الخطوط التقارُبية هتبقى: ص ناقص ﻫ س ناقص د. طبعًا زيّ ما إحنا شايفين. هي هي نفس الشكل لو كان المركز صفر وصفر، بس بنطرح من الـ ص ﻫ، نطرح من الـ س د. ونفس الكلام في الطرف الآخر، لو كان اتجاه القطع رأسي، بنطرح من الـ ص ﻫ، ومن الـ س د. طبعًا طول المحور القاطع لسه زيّ ما هو مش بيتغيّر. بيبقى اتنين أ. طول المحور المرافق بيفضل برضو اتنين ب مش بيتغيّر.

خلّينا نشوف مع بعض مثال على شكل معادلات القطع الزائد. نفتح صفحة جديدة. المثال بيقول: اوجد معادلة القطع الزائد التالي.

زيّ ما إحنا شايفين، مدّينا قطع زائد، وراسمه، ومحدّد لك كام نقطة. وبيقول: أنا عاوز معادلة القطع الزائد. أول حاجة، زيّ ما إحنا شايفين، المركز عندنا عبارة عن صفر وصفر. فلازم نكتب شكل المعادلة لو كان مركز القطع صفر وصفر. بس خلّينا نشوف هو اتجاهه أفقي ولّا اتجاهه رأسي. بنلاحظ إن الفتحتين شمال ويمين. فبنقول: لأ، ده الاتجاه بتاعه أفقي. يبقى نكتب الصورة القياسية للقطع الزائد لو كان اتجاهه أفقي، ومركزه صفر وصفر. وبتكون كالتالي. شكل المعادلة عبارة عن: س تربيع على أ تربيع ناقص، ص تربيع على ب تربيع يساوي واحد. كل اللي إحنا محتاجينه، محتاجين أ وَ ب؛ عشان نقدر نوجد المعادلة.

خلّينا مِ الرسم كده نقدر نوجد أ وَ ب. ونشوف هنقدر نجيبه إزّاي. أ عبارة عن البُعد بين المركز والرأس. زيّ ما إحنا شايفين، آدي الرأس، وإحنا عايزين البُعد ده. عايزين نعرف بكام. هو أصلًا محدّد لنا الرأس، وبيقول: إنها بأربعة وصفر. إذن الإحداثي السيني بأربعة. يعني البُعد ده، اللي هو أ، يساوي أربعة. فبنكتب كده: أ يساوي أربع وحدات، أربعة وحدات. مدّينا كمان البؤرة. بيقول: البؤرة عبارة عن خمسة وصفر. طب ما إحنا عارفين إن البُعد بين المركز والبؤرة، يعني البُعد ده، عبارة عن ج. فبالتالي ج عندنا تساوي خمسة. فبنكتب كده: ج تساوي خمس وحدات.

طب بس أنا عايز ب. أنا عندي أ وَ ج، وعايز ب. طب ما هي فيه علاقة بتربط أ وَ ب وَ ج، وهي إن ج تربيع تساوي أ تربيع زائد ب تربيع. خلّينا نبدأ نعوّض عن أ وعن ج. وعشان نجيب الـ ب، ونشوف بكام. عوّضنا عن ج بخمسة، وعوّضنا عن الـ أ بأربعة. دلوقتي خمسة تربيع تساوي أربعة تربيع زائد ب تربيع. فبنلاقي إذن إن ب تربيع تساوي خمسة وعشرين، اللي هي خمسة تربيع ناقص ستاشر، اللي هي أربعة تربيع. يطلع الناتج بتسعة. يبقى إحنا عرفنا ب تربيع بكام. ممكن دلوقتي نعوّض في المعادلة، اللي هي الصورة العامّة يعني. الصورة القياسية للقطع الزائد ده، لو كان مركزه صفر وصفر، وكان اتجاهه أفقي؛ عشان نجيب المعادلة.

خلّينا نعوّض عن أ تربيع وَ ب تربيع. أ، زيّ ما إحنا شايفين، بأربعة. يبقى أ تربيع بستاشر. وعندنا ب تربيع بتسعة. كتبناها بتسعة. وبكده دي تكون معادلة القطع الزائد، اللي مدّينا رسمته في المثال عندنا.

يبقى إحنا النهارده اتكلّمنا عن القطع الزائد. اتكلّمنا عن: تعريفه. شكل رسوماته. الخصائص بتاعته. صور المعادلة أيًّا إن كان اتجاهه أفقي ولّا رأسي. سواء كان مركزه صفر وصفر، أو مركزه نقطة د وَ ﻫ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.