فيديو: استخدام حساب مثلثات المثلث القائم لحل المسائل الكلامية التي تتضمن زوايا الارتفاع

شيد فنار ارتفاعه ‪89‬‏ مترًا على تل. رصدت زاوية ارتفاع قمة الفنار من قارب في البحر فكانت ‪72°‬‏، وزاوية ارتفاع قاعدة الفنار فكانت ‪34°‬‏. أوجد ارتفاع التل عن مستوى سطح البحر لأقرب متر.

٠٦:٣٠

‏نسخة الفيديو النصية

شيد فنار ارتفاعه 89 مترًا على تل. رصدت زاوية ارتفاع قمة الفنار من قارب في البحر فكانت 72 درجة، وزاوية ارتفاع قاعدة الفنار فكانت 34 درجة. أوجد ارتفاع التل عن مستوى سطح البحر لأقرب متر.

لنبدأ برسم شكل يعبر عن هذه المسألة. لدينا فنار بارتفاع 89 مترًا على قمة تل. ويوجد قارب في البحر، ومعلوم لدينا من رأس المسألة زاوية ارتفاع قمة الفنار وزاوية ارتفاع قاعدته. زاوية الارتفاع هي زاوية تقاس من الخط الأفقي عند النظر لأعلى باتجاه جسم ما. زاوية الارتفاع من القارب إلى قمة الفنار هي 72 درجة. زاوية الارتفاع من القارب إلى قاعدة الفنار هي 34 درجة. والمطلوب منا إيجاد ارتفاع التل عن سطح البحر، والذي سنشير إليه بالرمز 𝑥 أمتار.

والآن إذا نظرنا إلى الشكل، سنرى أن لدينا مثلثين قائمي الزاوية تكونا من الخط الأفقي من القارب إلى قاعدة التل، والخط الرأسي الذي يشكله التل والفنار، وخط النظر من القارب إلى قاعدة الفنار وإلى قمته. المثلثان بهما ضلع مشترك — وهو الخط الأفقي بين قاعدة التل والقارب.

واستراتيجيتنا هي أن نحاول كتابة تعبيرين لهذا الضلع المشترك باستخدام المثلثين. بعد ذلك سنرى إذا كان بإمكاننا جعل هذين التعبيرين متساويين وحل المعادلة لإيجاد قيمة 𝑥. سنضع قيمة لطول هذا الضلع المشترك — 𝑦 أمتار — ونبدأ بالمثلث الأصغر أولًا. لنتذكر أن هذا هو المثلث الذي به زاوية 34 درجة. بالنسبة للزاوية 34 درجة، فإن الضلعين 𝑥 و𝑦 هما الضلعان المقابل والمجاور في المثلث القائم الزاوية.

وبالعودة لـ SOHCAHTOA، نتذكر أن النسبة بين هذين الضلعين هي دالة الظل. وتعرف دالة الظل بأنها طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور. إذن لدينا tan 34 درجة يساوي 𝑥 على 𝑦. وبضرب كلا طرفي هذه المعادلة في 𝑦، نحصل على 𝑦 tan 34 درجة يساوي 𝑥. وبقسمة كلا طرفي المعادلة على tan 34 درجة، وهو مجرد عدد، نحصل على التعبير الأول لإيجاد قيمة 𝑦. إنه يساوي 𝑥 على tan 34 درجة. إذن لدينا الآن التعبير الأول لإيجاد 𝑦.

بعد ذلك ننتقل إلى المثلث الأكبر — الذي به زاوية 72 درجة. بالنسبة لهذه الزاوية، يظل الضلع 𝑦 هو الضلع المجاور. والضلع المقابل لهذه الزاوية هو الارتفاع الكلي للتل والفنار: 𝑥 زائد 89. إذن دالة الظل في هذا المثلث؛ وهي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور، هي tan 72 درجة وتساوي 𝑥 زائد 89 على 𝑦.

والآن سنعيد ترتيب هذه المعادلة لنحصل على تعبير لإيجاد قيمة 𝑦. بضرب كلا طرفي المعادلة في 𝑦، نحصل على 𝑦 tan 72 درجة يساوي 𝑥 زائد 89. وبقسمة طرفي المعادلة على tan 72 درجة، نحصل على المقدار الثاني لإيجاد 𝑦:‏ ‏𝑦 يساوي 𝑥 زائد 89 على tan 72 درجة.

علينا أن نتذكر أن الغرض من كتابة هذين التعبيرين لإيجاد 𝑦 هو أن نتمكن من جعلهما متساويين، والحصول على معادلة بدلالة 𝑥 فقط. وبمساواة المقدارين نحصل على 𝑥 على tan 34 درجة يساوي 𝑥 زائد 89 على tan 72 درجة.

سأمسح بعضًا من الخطوات السابقة ليكون لدي مساحة لحل هذه المعادلة. فإذا أردتم تدوين أي من ذلك، فعليكم إيقاف الفيديو الآن وكتابة ما تريدون. إذن المعادلة التي حصلنا عليها هي 𝑥 على tan 34 درجة يساوي 𝑥 زائد 89 على tan 72 درجة. الخطوة الأولى لحل هذه المعادلة هي التخلص من المقامات. لذلك سنستخدم الضرب التبادلي. فنحصل بذلك على 𝑥 في tan 72 درجة يساوي 𝑥 زائد 89 في tan 34 درجة.

ثم نفك الأقواس في الطرف الأيمن لنحصل على 𝑥 tan 34 درجة زائد ‎89 tan 34‎ درجة. والآن لدينا حدان يحتويان على 𝑥 في كلا طرفي المعادلة ونريد تجميعهما معًا في الطرف الأيسر. لذلك خطوتنا التالية هي طرح 𝑥 tan 34 درجة من كلا الطرفين. أصبح لدينا الآن 𝑥 tan 72 درجة ناقص 𝑥 tan 34 درجة يساوي ‎89 tan 34‎ درجة. يمكن تحليل الطرف الأيسر من هذه المعادلة عن طريق أخذ 𝑥 عاملًا مشتركًا بين الحدين. فنحصل على 𝑥 مضروبًا في tan 72 درجة ناقص tan 34 درجة يساوي ‎89 tan 34‎ درجة.

ولإيجاد قيمة 𝑥، علينا فقط قسمة كلا الطرفين على ما بداخل القوسين. فنحصل بذلك على تعبير لإيجاد قيمة 𝑥. إنه يساوي ‎89 tan 34‎ درجة على tan 72 درجة ناقص tan 34 درجة.

والآن في هذه المرحلة، يمكننا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة ذلك، مع التأكد من ضبطها على نظام الدرجات. وباستخدام الآلة الحاسبة سنحصل على 24.97997. إذا لم تحصل على هذه القيمة، فتحقق أولًا من أن الآلة الحاسبة مضبوطة بالفعل على نظام الدرجات، ثم تأكد من استخدامك للأقواس بطريقة صحيحة عند كتابة الكسر.

بالعودة للسؤال، كان المطلوب هو إيجاد الحل لأقرب متر. إذن، ارتفاع التل عن سطح البحر لأقرب متر هو 25 مترًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.