فيديو السؤال: تحديد خواص مصفوفة بمعلومية المعادلة التي تحققها المصفوفة الرياضيات

إذا كانت ﺃ مصفوفة مربعة، فإن المصفوفة ﺃ + ﺃ^𝑡 = ___. [أ] مصفوفة شبه متماثلة [ب] مصفوفة متماثلة [ج] مصفوفة قطرية [د] مصفوفة صفرية.

٠٨:٢٣

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت ﺃ مصفوفة مربعة، فإن المصفوفة ﺃ زائد مدور المصفوفة ﺃ تساوي (فراغ). الخيار (أ) مصفوفة شبه متماثلة أم الخيار (ب) مصفوفة متماثلة أم الخيار (ج) مصفوفة قطرية أم الخيار (د) مصفوفة صفرية.

في هذا السؤال، لدينا مصفوفة مربعة ﺃ، وعلينا تحديد نوع المصفوفة الناتجة عن جمع المصفوفة ﺃ ومدور المصفوفة ﺃ. لدينا هنا أربعة خيارات ممكنة. هناك طرق مختلفة لحل هذه المسألة. على سبيل المثال، يمكننا محاولة التعويض بمصفوفة مربعة ﺃ في الطرف الموجود به ﺃ زائد مدور المصفوفة ﺃ. وعلينا بعد ذلك ملاحظة أي خواص مثيرة للاهتمام تظهر في الناتج. على سبيل المثال، يمكننا أن نجرب أن تكون المصفوفة ﺃ مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، وعناصرها هي: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة. إننا نريد معرفة ناتج جمع المصفوفة: واحد، اثنين، ثلاثة، أربعة، ومدور هذه المصفوفة. ولفعل ذلك، علينا أن نتذكر ما نعنيه بمدور المصفوفة.

عندما نوجد مدور المصفوفة، فإننا نكتب صفوف المصفوفة في صورة أعمدة، والأعمدة في صورة صفوف. وعليه، في المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين التي لدينا، وعناصرها هي: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، نلاحظ أن الصف الأول به واحد واثنان. إننا نريد أن يكون هذا الصف هو العمود الأول في مدور المصفوفة. وعليه، سيكتب العمود الأول على الصورة: واحد، اثنين. بعد ذلك، نلاحظ أن الصف الثاني هو: ثلاثة، أربعة. ونريد أن يكون الصف الثاني هنا هو العمود الثاني في مدور المصفوفة. ومن ثم، نجد أن مدور هذه المصفوفة هو مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، وعناصرها هي: واحد، ثلاثة، اثنان، أربعة.

حسنًا، نريد الآن جمع هاتين المصفوفتين. تذكر أنه لجمع مصفوفتين من الرتبة نفسها، كل ما علينا فعله هو جمع عناصرهما. بجمع عناصر هاتين المصفوفتين، نحصل على مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، وعناصرها هي: اثنان، خمسة، خمسة، ثمانية. قد يكون من الصعب معرفة خواص هذه المصفوفة. لكن ثمة أمرًا يمكننا ملاحظته. دعونا نطرح هذا السؤال: ماذا يحدث إذا أوجدنا مدور هذه المصفوفة؟ إننا نريد إيجاد مدور المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين، وعناصرها هي: اثنان، خمسة، خمسة، ثمانية. تذكر أنه لإجراء ذلك، تكتب الصفوف في صورة أعمدة، والأعمدة في صورة صفوف.

سنبدأ بالصف الأول. الصف الأول من هذه المصفوفة هو: اثنان، خمسة؛ لذا يكتب العمود الأول على الصورة: اثنين، خمسة. لدينا بعد ذلك الصف الثاني؛ وهو: خمسة، ثمانية. نريد أن يكون هذا الصف هو العمود الثاني من مدور المصفوفة، وعليه فإن العمود الثاني من مدور المصفوفة سيكون: خمسة، ثمانية. لكن يمكننا هنا ملاحظة أمر مثير للاهتمام. عندما أوجدنا مدور المصفوفة، لم نغير المصفوفة فعليًّا. لقد حصلنا على المصفوفة نفسها. وهذه إحدى خواص المصفوفات. إذا كانت المصفوفة ﺏ تساوي مدورها، يمكننا القول إن المصفوفة ﺏ مصفوفة متماثلة.

هناك أمر مثير للاهتمام في هذا التعريف علينا الإشارة إليه. تذكر أنه عند إيجاد مدور المصفوفة، فإن الصفوف تصبح أعمدة والأعمدة تصبح صفوفًا. بعبارة أخرى، المصفوفة التي رتبتها ﻥ في ﻡ تصبح مصفوفة رتبتها ﻡ في ﻥ. ونحن نعرف أنه لكي تتساوى مصفوفتان، يجب أن تكون رتبتاهما متساويتين. وعليه، إذا كانت المصفوفة ﺏ تساوي مدورها، فإن ﺏ لا بد أن تكون مصفوفة مربعة. لذا، بالنظر إلى المثال، نجد أن المصفوفة ﺃ زائد مدورها لا بد أن تساوي مصفوفة متماثلة. دعونا نر ما إذا كان بإمكاننا إثبات ذلك.

سنبدأ بافتراض أن ﺃ مصفوفة مربعة، وعليه تكون رتبتها ﻥ في ﻥ، حيث يكون العنصر الذي يقع في الصف ﺱ والعمود ﺹ في المصفوفة ﺃ معرفًا بـ ﺃﺱﺹ؛ حيث يكتب ﺃ بحرف صغير. أول ما يمكننا فعله هو إيجاد مدور المصفوفة ﺃ. لنفعل ذلك، فإننا نبدل بين الصفوف والأعمدة في المصفوفة ﺃ. إذن في الصف ﺱ والعمود ﺹ من مدور المصفوفة، نحصل على: ﺃﺹﺱ؛ لأننا بدلنا بين الصفوف والأعمدة في المصفوفة ﺃ. والآن بعد أن أصبح لدينا العنصر الموجود في الصف ﺱ والعمود ﺹ من المصفوفة ﺃ، والعنصر الموجود في الصف ﺱ والعمود ﺹ من مدور المصفوفة ﺃ؛ يمكننا جمعهما معًا. تذكر أنه لجمع مصفوفتين من الرتبة نفسها، كل ما علينا فعله هو جمع عناصرهما.

وبالطبع، تجدر الإشارة هنا إلى أنه بما أن ﺃ مصفوفة مربعة، فإننا نعلم أن مدور المصفوفة ﺃ سيكون مصفوفة مربعة أيضًا، ومن ثم يمكننا جمع عناصرهما ليكون العنصر في الصف ﺱ والعمود ﺹ من المصفوفة ﺃ زائد مدور المصفوفة ﺃ هو: ﺃﺱﺹ زائد ﺃﺹﺱ. وتذكر أننا نحاول إثبات أن هذه مصفوفة متماثلة. إننا نريد إثبات أن هذه المصفوفة تساوي مدورها، وهناك طرق مختلفة لفعل ذلك. إحدى هذه الطرق هي تسمية المصفوفة. سنطلق على هذه المصفوفة ﺏ. والآن علينا إيجاد مدور المصفوفة ﺏ. لكن ماذا يعني ذلك؟ هذا يعني أن العنصر الموجود في الصف ﺱ والعمود ﺹ من مدور المصفوفة ﺏ سيكون هو العنصر الموجود في الصف ﺹ والعمود ﺱ من المصفوفة ﺏ. نريد أن نعرف إذن العنصر الموجود في الصف ﺹ والعمود ﺱ في المصفوفة ﺏ.

لإجراء ذلك، كل ما علينا فعله هو التبديل بين ﺱ وﺹ. هذا سيعطينا العنصر الموجود في الصف ﺹ والعمود ﺱ من المصفوفة ﺏ. إذن، سيكون العنصر في الصف ﺱ والعمود ﺹ من مدور المصفوفة ﺏ هو: ﺃﺹﺱ زائد ﺃﺱﺹ. حسنًا، نحن نعلم أن الجمع عملية إبدالية، لذا يمكننا تغيير ترتيب هذين الحدين. ومن ذلك، نجد أن مدور المصفوفة ﺏ يساوي ﺃﺱﺹ زائد ﺃﺹﺱ. نلاحظ هنا أن هذا يساوي المصفوفة ﺏ. وبما أن هاتين المصفوفتين لهما الرتبة نفسها، وجميع عناصرهما متساو؛ نكون قد أثبتنا أن المصفوفة ﺏ تساوي مدور المصفوفة ﺏ.

وتذكر أن المصفوفة ﺏ هي الإجابة التي سنضعها مكان الفراغ في السؤال. وقد أوضحنا للتو أنه بالنسبة إلى أي مصفوفة مربعة ﺃ، فإن المصفوفة ﺃ زائد مدور المصفوفة ﺃ تحقق خاصية أن المصفوفة المربعة تساوي مدورها. بعبارة أخرى، هذا يعطينا دائمًا مصفوفة متماثلة. وبهذا نكون قد أوضحنا أنه إذا كانت ﺃ مصفوفة مربعة، فإن المصفوفة ﺃ زائد مدور المصفوفة ﺃ تساوي دائمًا مصفوفة متماثلة، وهو الخيار (ب).

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.