نسخة الفيديو النصية
بدأ جسم الحركة من السكون من قمة منحدر طوله ٣١٢ سنتيمترًا يميل بزاوية ٦٠ درجة على الأفقي. عندما وصل الجسم إلى قاع المنحدر، استمر بالتحرك على مستوى أفقي. مقاومة حركة الجسم ثابتة على كل من المنحدر والمستوى وتساوي الجذر التربيعي لثلاثة مقسومًا على أربعة من وزن الجسم. أوجد المسافة التي قطعها الجسم على المستوى الأفقي إلى أن وصل إلى السكون.
حسنًا، دعونا نبدأ برسم شكل. سنضمن في هذا الشكل الجسم، والمنحدر، والمستوى الأفقي الموجود عند قاع المنحدر. هذا هو الشكل. لدينا المنحدر الذي يبلغ طوله ٣١٢ سنتيمترًا، وسنشير إلى هذا الطول بالحرف ﻝ. ولدينا المستوى الأفقي ذو المسافة المجهولة، التي سنمثلها بالحرف ﻑ. لدينا أيضًا الجسم في موضعيه الابتدائي والنهائي. الموضعان الابتدائي والنهائي مشار إليهما بأنهما موضعي سكون؛ لأننا علمنا أن الجسم يكون في حالة سكون في هذين الموضعين. وأخيرًا، حددنا أيضًا الزاوية التي قياسها ٦٠ درجة والتي يصنعها المنحدر مع المستوى الأفقي.
هناك أيضًا كميتان أخريان في المسألة لم نضمنهما في الشكل بعد. إنهما الوزن أو قوة الجاذبية المؤثرة على الجسم ومقاومة حركة الجسم. سنسمي وزن الجسم ﻭ. وبما أن الوزن يكون نتيجة للجاذبية، فإن اتجاهه يكون دائمًا لأسفل. وعلى الجانب الآخر، يكون اتجاه مقاومة الحركة دائمًا عكس اتجاه الحركة؛ أي إن اتجاه المقاومة يكون لأعلى المنحدر عندما يتحرك الجسم لأسفل المنحدر، أو يكون اتجاهها للخلف على المستوى الأفقي عندما يتحرك الجسم للأمام. سنسمي قوة المقاومة ﺡﻙ. وكما هو موضح في المسألة، هذه القوة تساوي الجذر التربيعي لثلاثة مقسومًا على أربعة من وزن الجسم.
والآن بعد أن وضعنا جميع المعطيات لدينا على هذا الشكل، نحتاج إلى طريقة لإيجاد المسافة المجهولة. تشير حقيقة أن لدينا معلومات عن القوى والمسافات في هذه المسألة إلى التفكير في كمية الشغل المرتبطة بالقوى المؤثرة على الأجسام أثناء تحركها. يعرف الشغل بأنه الطاقة التي يكتسبها جسم ما أو يفقدها عندما يتحرك في نفس اتجاه قوة خارجية أو في عكس اتجاهها. على وجه التحديد، عندما تكون القوى ثابتة واتجاهها في نفس اتجاه الحركة، فإن الشغل يساوي القوة المؤثرة مضروبة في المسافة التي يقطعها الجسم.
في معظم الحالات التي علينا فيها استخدام الشغل، يكون من المهم أيضًا استخدام مبدأ الشغل والطاقة. ينص مبدأ الشغل والطاقة على أن الشغل الكلي، وهو مساهمة كل قوة منفردة تؤثر على جسم ما بين موضع بدايته وموضع نهايته، يساوي التغير الكلي في طاقة الحركة بين هذين الموضعين. بوجود هاتين المعادلتين، نكون قد وجدنا الطريقة التي سنستخدمها لحل هذه المسألة. التغير في طاقة الحركة هو كمية يمكننا حسابها مباشرة بمعرفة أن الجسم يكون في حالة سكون في موضعي البداية والنهاية. ومن ثم، فإن هذا التغير في طاقة الحركة يساوي الشغل الكلي، وهو مساهمة الوزن ومساهمة مقاومة الحركة.
ونظرًا لأن الشغل يعتمد على المسافة، فسنجد أن جزءًا من العملية الحسابية الخاصة بإيجاد الشغل المبذول الناتج عن هاتين القوتين سيشمل المسافة المجهولة. لذا، بحساب طاقة الحركة والشغل المبذول بواسطة كل قوة من القوتين، سنحصل على معادلة تتضمن مجهولًا وحيدًا، وهو المسافة التي نريد إيجادها. دعونا نبدأ إذن. تذكر أن طاقة الحركة تساوي نصفًا في الكتلة في السرعة تربيع. حسنًا، الجسم في حالة سكون، ووفقًا لتعريف الجسم في هذه الحالة، فإن سرعته تساوي صفرًا، ومن ثم فإن طاقة حركته، التي تساوي نصفًا في الكتلة في صفر تربيع، تساوي صفرًا أيضًا. وبما أن طاقة الحركة النهائية تساوي صفرًا وطاقة الحركة الابتدائية تساوي صفرًا أيضًا، فإن التغير الكلي في طاقة الحركة يساوي صفرًا.
دعونا الآن نوجد الشغل المبذول بواسطة الوزن والمقاومة. سنبدأ بالمقاومة. بما أن اتجاه المقاومة يكون دائمًا عكس اتجاه الحركة، فهذا يعني أن الحركة والقوة متوازيتان، ويمكننا استخدام القوة مضروبة في المسافة دون تعديل. نحن نعلم أن مقدار القوة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة مقسومًا على أربعة من وزن الجسم، وأن المسافة الكلية المقطوعة هي ﻝ، وهو طول المنحدر، زائد ﻑ، وهو المسافة المجهولة على المستوى الأفقي. لاحظ أننا نستخدم المسافة الكاملة ﻝ زائد ﻑ؛ لأنه على الرغم من تغير اتجاه المقاومة، فإنه يتغير بالطريقة نفسها التي تتغير بها الحركة. لذا، فالمقاومة والحركة متوازيتان دائمًا.
بالنسبة إلى الشغل المبذول بواسطة الوزن، علينا أن نضع في اعتبارنا حقيقة أن اتجاه تأثير الوزن يكون رأسيًّا لأسفل لكن الجسم يتحرك إما لأسفل المنحدر وإما على المستوى الأفقي، لكنه لا يتحرك في اتجاه رأسي لأسفل مطلقًا. وتذكر أن الشغل هو طاقة مكتسبة أو مبذولة عند التحرك في نفس اتجاه القوة أو في الاتجاه المعاكس لها. وعندما يتحرك الجسم على المستوى الأفقي، فإنه يتحرك عموديًّا على الاتجاه لأسفل. وبما أن هذين الاتجاهين متعامدان، فهما لا يتجهان إلى الاتجاه نفسه ولا الاتجاه المعاكس. ومن ثم، فإن الشغل المبذول بواسطة الوزن عندما يتحرك الجسم على المستوى الأفقي يساوي صفرًا.
على الجانب الآخر، عندما يتحرك الجسم لأسفل المنحدر، حتى وإن كان يتحرك بزاوية، يظل جزء من حركته في الاتجاه لأسفل. ولإيجاد الشغل في هذه الحالة، نحتاج إلى المسافة التي قطعها الجسم في نفس اتجاه القوة. اتجاه تأثير الوزن يكون لأسفل مباشرة. بعبارة أخرى، إنه اتجاه رأسي، إذن المسافة التي نبحث عنها تمثل الارتفاع الرأسي للجسم فوق المستوى الأفقي. وبما أن هذا الخط الرأسي عمودي على المستوى الأفقي، يكون لدينا مثلث قائم الزاوية قياس زاوية قاعدته يساوي ٦٠ درجة وطول وتره ﻝ. ومن ثم، فإن طول الضلع الرأسي يساوي ﻝ في جا ٦٠ درجة أو ﻝ في الجذر التربيعي لثلاثة مقسومًا على اثنين.
حسنًا، القوة المؤثرة على الجسم عندما يتحرك لأسفل المنحدر هي ﻭ، والمسافة الكلية التي يقطعها الجسم في نفس اتجاه القوة ﻭ تساوي ﻝ في الجذر التربيعي لثلاثة مقسومًا على اثنين. ومن ثم، فإن الشغل المبذول بواسطة الوزن يساوي ﻭ في ﻝ في الجذر التربيعي لثلاثة مقسومًا على اثنين. لاحظ أن المسافة الأفقية المرتبطة بالمنحدر لا تؤثر على الشغل المبذول بواسطة الوزن؛ وذلك للسبب نفسه الذي يجعل المسافة المقطوعة على المستوى الأفقي لا تؤثر عليه. في الحالتين، نظرًا لأن المستوى الأفقي والرأسي متعامدان، فإن المساهمة الكلية للوزن تساوي صفرًا.
حسنًا، لدينا الآن التغير الكلي في طاقة الحركة ومقدار الشغل المبذول بواسطة كل قوة من القوتين. إذن، يمكننا الآن ضم القوتين إلى مبدأ الشغل والطاقة. بما أن اتجاه المقاومة يكون دائمًا عكس اتجاه الحركة، فإن الطريقة الصحيحة للحصول على الشغل الكلي هي طرح الشغل المبذول بواسطة المقاومة من الشغل المبذول بواسطة الوزن. باستخدام الصيغ التي حسبناها بالفعل، نجد أن الشغل المبذول بواسطة الوزن ناقص الشغل المبذول بواسطة المقاومة يساوي صفرًا.
دعونا الآن نفرغ بعض المساحة لنتمكن من حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة المجهول ﻑ. بما أن هذه المعادلة بها صفر في أحد طرفيها، فإذا ضربنا الطرف الآخر في أي كمية لا تساوي صفرًا، فإن المعادلة ستظل صحيحة. وبما أن حدي الطرف الأيمن يحتويان على ﻭ والجذر التربيعي لثلاثة، ولأن ﻭ والجذر التربيعي لثلاثة لا يساويان صفرًا، دعونا نقسم حدي الطرف الأيمن على هاتين الكميتين بالضرب في مقلوباتهما. وأثناء فعل ذلك، يمكننا أيضًا التخلص من الكسرين عن طريق الضرب في أربعة.
في الحد الأول، ﻭ في الجذر التربيعي لثلاثة مقسومًا على الجذر التربيعي لثلاثة في ﻭ يساوي واحدًا، وأربعة مقسومًا على اثنين يساوي اثنين. إذن، الحد الأول يصبح اثنين ﻝ. في الحد الثاني، أربعة مقسومًا على أربعة يساوي واحدًا، والجذر التربيعي لثلاثة مقسومًا على الجذر التربيعي لثلاثة يساوي واحدًا، وﻭ مقسومًا على ﻭ يساوي واحدًا. وهذا يعطينا ﻝ زائد ﻑ. وصفر مضروبًا في أي قيمة يظل صفرًا. وبذلك، أصبح لدينا الآن اثنان ﻝ ناقص ﻝ زائد ﻑ يساوي صفرًا. إذا وزعنا عملية الطرح على ما بين القوسين، نحصل على اثنين ﻝ ناقص ﻝ ناقص ﻑ يساوي صفرًا. اثنان ﻝ ناقص ﻝ يساوي ﻝ. وإذا أضفنا ﻑ إلى كلا الطرفين، فسنحصل على ﻑ زائد سالب ﻑ يساوي صفرًا وصفر زائد ﻑ يساوي ﻑ.
إذن، نجد أن ﻑ، وهو المسافة المقطوعة على المستوى الأفقي التي نبحث عنها، تساوي ﻝ، وهو طول المنحدر. لكننا نعرف هذا الطول. إنه معطى لنا، ويساوي ٣١٢ سنتيمترًا. إذن، الإجابة التي نبحث عنها، أي المسافة التي قطعها الجسم على المستوى الأفقي، هي ٣١٢ سنتيمترًا.
