نسخة الفيديو النصية
حدد أين تكون الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ أس أربعة على اثنين ناقص ثلاثة ﺱ تربيع زائد ثلاثة مقعرة لأعلى وأين تكون مقعرة لأسفل.
يدور هذا السؤال حول الفترات التي تكون فيها الدالة الموجودة لدينا مقعرة لأعلى، والفترات التي تكون فيها مقعرة لأسفل. للإجابة عن هذا السؤال، من المفيد معرفة تعريفي التقعر لأعلى والتقعر لأسفل. تكون الدالة ﺩ مقعرة لأعلى على الفترة ﻑ إذا كانت ﺩ شرطة؛ أي المشتقة الأولى لـ ﺩ، دالة تزايدية على ﻑ. وتكون الدالة ﺩ مقعرة لأسفل على الفترة ﻑ إذا كانت مشتقتها ﺩ شرطة دالة تناقصية على ﻑ.
يتوقف كون الدالة ﺩ مقعرة لأعلى أم مقعرة لأسفل على ما إذا كانت مشتقتها ﺩ شرطة تزايدية أم تناقصية. حسنًا، نحن نعرف اختبارًا يوضح لنا ما إذا كانت الدالة المعطاة تزايدية أم تناقصية على فترة محددة. تكون الدالة ﺭ تزايدية على الفترة ﻑ إذا كانت مشتقتها ﺭ شرطة موجبة على ﻑ. وتكون الدالة ﺭ تناقصية على الفترة ﻑ إذا كانت مشتقتها ﺭ شرطة سالبة على ﻑ.
ما يهمنا هو معرفة ما إذا كانت ﺩ شرطة تزايدية أم تناقصية. لذا دعونا نعوض عن ﺭ بـ ﺩ شرطة. تكون ﺩ شرطة تزايدية إذا كانت مشتقتها؛ ﺩ شرطة شرطة أو ﺩ شرطتين، موجبة. وتكون ﺩ شرطة تناقصية إذا كانت مشتقتها؛ ﺩ شرطة شرطة أو ﺩ شرطتين، سالبة. وبتطبيق اختبار التزايد والتناقص على تعريف التقعر، نحصل على اختبار التقعر. ويوضح الاختبار أن الدالة ﺩ تكون مقعرة لأعلى على أي فترة ﻑ إذا كانت مشتقتها الثانية ﺩ شرطتين موجبة على ﻑ. وتكون الدالة ﺩ مقعرة لأسفل على أي فترة ﻑ إذا كانت مشتقتها الثانية سالبة على ﻑ.
هذا هو الاختبار الذي سنطبقه لحل هذه المسألة. دعونا نفرغ بعض المساحة لنتمكن من تطبيقه. علينا هنا إيجاد المشتقة الثانية للدالة لدينا. سنشتق مرة واحدة لإيجاد ﺩ شرطة ﺱ. سنشتق حدًّا تلو الآخر باستخدام المشتقة المعلومة لدالة وحيدة الحد. مشتقة ﺱ أس أربعة على اثنين تساوي اثنين ﺱ أس ثلاثة. ومشتقة ثلاثة ﺱ تربيع تساوي ستة ﺱ. ومشتقة ثلاثة تساوي صفرًا.
إذن المشتقة هي ﺩ شرطة ﺱ؛ وهي المشتقة الأولى لـ ﺩ. لكننا نحتاج إلى المشتقة الثانية للدالة ﺩ، لذا علينا اشتقاق ﺩ شرطة. مشتقة اثنين ﺱ تكعيب تساوي ستة ﺱ تربيع. ومشتقة ستة ﺱ تساوي ستة. وعليه، نجد أن المشتقة الثانية لـ ﺩ تساوي ستة ﺱ تربيع ناقص ستة. تكون الدالة ﺩ مقعرة لأعلى عندما يكون ستة ﺱ تربيع ناقص ستة أكبر من صفر، وتكون مقعرة لأسفل عندما يكون ستة ﺱ تربيع ناقص ستة أصغر من صفر.
هذا هو تطبيق اختبار التقعر على المقدار الذي أوجدناه مؤخرًا لـ ﺩ شرطتين ﺱ. لدينا الآن متباينتان تربيعيتان علينا حلهما. ويمكننا حلهما بعدة طرق. يمكننا البدء بقسمة كلا الطرفين على ستة، وبهذا يتبقى لدينا ﺱ تربيع ناقص واحد أكبر من صفر، وبعد ذلك نحلل الطرف الأيمن. ومن ثم، تصبح المتباينة الأولى ﺱ زائد واحد في ﺱ ناقص واحد أكبر من صفر.
يمكننا فعل الشيء نفسه مع المتباينة الأخرى. الفرق الوحيد هنا هو أن علامة أكبر من ستصبح علامة أصغر من. والآن، دعونا نحل هاتين المتباينتين باستخدام جدول. سنوجد الفترات التي يكون فيها العاملان ﺱ زائد واحد وﺱ ناقص واحد موجبين أو سالبين، وسنستخدم ذلك لإيجاد الفترات التي يكون فيها حاصل ضرب ﺱ زائد واحد في ﺱ ناقص واحد موجبًا أو سالبًا.
على سبيل المثال، عندما يكون ﺱ أصغر من سالب واحد، يكون ﺱ زائد واحد أصغر من صفر، وبالتالي يكون سالبًا. وﺱ ناقص واحد أصغر من اثنين؛ أي يكون سالبًا بالتأكيد. عندما يكون ﺱ بين سالب واحد وواحد، فإن ﺱ زائد واحد يكون بين صفر واثنين. أي يكون موجبًا، بينما يكون ﺱ ناقص واحد بين سالب اثنين وصفر. ولذلك، يكون سالبًا. وأخيرًا، عندما يكون ﺱ أكبر من واحد، فإن كلًّا من ﺱ زائد واحد وﺱ ناقص واحد يكونان موجبين.
ليس من قبيل المصادفة أن الفترات التي انتهينا إليها تقسم خط الأعداد الحقيقية عند جذري ﺱ زائد واحد في ﺱ ناقص واحد. ﺱ زائد واحد وﺱ ناقص واحد كلاهما سالب على الفترة ﺱ أصغر من سالب واحد. لذا، فإن حاصل ضربهما يكون قيمة موجبة. ذلك لأن قيمة سالبة في قيمة سالبة يعطينا قيمة موجبة. على هذه الفترة، لدينا حاصل ضرب قيمة موجبة في أخرى سالبة، وهو ما يعطينا قيمة سالبة. وأخيرًا، عندما يكون ﺱ أكبر من واحد، فإن ﺱ زائد واحد في ﺱ ناقص واحد؛ أي قيمة موجبة مضروبة في قيمة موجبة، يعطينا قيمة موجبة.
إذن، متى يكون حاصل ضرب ﺱ زائد واحد في ﺱ ناقص واحد قيمة موجبة أو أكبر من صفر؟ يكون قيمة موجبة على فترتين؛ وهما الفترة التي يكون فيها ﺱ أصغر من سالب واحد، والفترة التي يكون فيها ﺱ أكبر من واحد. ومتى يكون قيمة سالبة؟ حسنًا، نلاحظ من الجدول أن هذا يحدث عندما يكون ﺱ بين سالب واحد وواحد. دعونا ننتقل من استخدام المتباينات مثل ﺱ أصغر من سالب واحد إلى استخدام رمز الفترة.
ﺱ أصغر من سالب واحد هو الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى سالب واحد، وأكبر من واحد هو الفترة المفتوحة من واحد إلى ما لا نهاية. وﺱ بين سالب واحد وواحد هو الفترة المفتوحة من سالب واحد إلى واحد. باستخدام هذه الفترات في الإجابة، نجد أن الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ أس أربعة على اثنين ناقص ثلاثة ﺱ تربيع زائد ثلاثة تكون مقعرة لأعلى على الفترتين المفتوحتين من سالب ما لا نهاية إلى سالب واحد ومن واحد إلى ما لا نهاية، بينما تكون مقعرة لأسفل على الفترة المفتوحة من سالب واحد إلى واحد.
بهذا نكون قد توصلنا إلى هذه الإجابة باستخدام اختبار التقعر، وهو مجرد تطبيق لاختبار الدالة التزايدية والتناقصية على تعريف التقعر. وتطبيق هذا الاختبار على الدالة لدينا أعطانا المتباينتين التربيعيتين اللتين حللناهما بالطريقة العادية.
