فيديو السؤال: اشتقاق الدوال التي تتضمن نسبًا مثلثية باستخدام قاعدة القسمة الرياضيات

إذا كان ﺹ = (٧ جا ٢ﺱ)‏/‏(٢ − ٢ جتا ٢ﺱ)، فأوجد ﺩﺹ‏/‏ﺩﺱ.

٠٤:٥٠

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺹ يساوي سبعة جا اثنين ﺱ مقسومًا على اثنين ناقص اثنين جتا اثنين ﺱ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

نريد إيجاد قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ، أي المشتقة لدالة هي نفسها عبارة عن خارج قسمة دالتين قابلتين للاشتقاق. هذا يعني أنه يمكننا استخدام قاعدة القسمة لإيجاد هذه المشتقة. تنص قاعدة القسمة على أن مشتقة خارج القسمة لدالتين قابلتين للاشتقاق هما ﻉ وﻕ تساوي ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ ناقص ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ على ﻕ تربيع. حسنًا، هيا نعرف ﻉ وﻕ الواردتين في السؤال.

بسط الكسر لدينا هو سبعة جا اثنين ﺱ. لذا، سنجعل ﻉ يساوي هذا. وعليه، فإن ﻕ يساوي اثنين ناقص اثنين جتا اثنين ﺱ. مهمتنا التالية هي إيجاد ﺩﻉ على ﺩﺱ وﺩﻕ على ﺩﺱ. لذا، بعد ذلك، سنكتب النتائج العامة لمشتقة دالة الجيب وجيب التمام. مشتقة جا ﺃﺱ هي ﺃ جتا ﺃﺱ. ومشتقة جتا ﺃﺱ تساوي سالب ﺃ جا ﺃﺱ. يمكننا إذن القول إن ﺩﻉ على ﺩﺱ لا بد وأن يساوي سبعة في اثنين جتا اثنين ﺱ، وهو ما يساوي ١٤ جتا اثنين ﺱ. وبما أن مشتقة الثابت تساوي صفرًا، فإن ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ببساطة سالب اثنين في سالب اثنين جا اثنين ﺱ، وهو ما يساوي أربعة جا اثنين ﺱ.

ما علينا فعله الآن هو التعويض بكل قيمة في صيغة قاعدة القسمة. لدينا ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. ذلك يساوي اثنين ناقص اثنين جتا اثنين ﺱ في ١٤ جتا اثنين ﺱ ناقص ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ. ذلك يساوي سبعة جا اثنين ﺱ في أربعة جا اثنين ﺱ، وهو، بالطبع، الكل مقسومًا على ﻕ تربيع، أي اثنين ناقص اثنين جتا اثنين ﺱ الكل تربيع. سنوزع الأقواس في بسط الكسر. وبذلك، نحصل على ٢٨ جتا اثنين ﺱ ناقص ٢٨ جتا تربيع اثنين ﺱ ناقص ٢٨ جا تربيع اثنين ﺱ. وبشكل مؤقت، سنترك المقام كما هو؛ اثنان ناقص اثنين جتا اثنين ﺱ الكل تربيع. يمكننا قسمة البسط والمقام على أربعة. وعندما نفعل ذلك، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سبعة جتا اثنين ﺱ ناقص سبعة جتا تربيع اثنين ﺱ ناقص سبعة جا تربيع اثنين ﺱ الكل على واحد ناقص جتا اثنين ﺱ الكل تربيع. لكن ذلك لا يزال يبدو معقدًا. لنحاول إذن استخدام بعض المتطابقات المثلثية للتبسيط أكثر من ذلك. هيا نفرغ بعض المساحة.

أول شيء سنفعله هو إخراج العامل المشترك سالب سبعة في البسط. ربما يمكنك الآن معرفة كيف ستفيدنا هذه الخطوة. لدينا الآن متطابقة تجمع بين جتا تربيع ﺱ وجا تربيع ﺱ. إنها جتا تربيع ﺱ زائد جا تربيع ﺱ يساوي واحدًا. إذن، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب سبعة في سالب جتا اثنين ﺱ زائد واحد على واحد ناقص جتا اثنين ﺱ تربيع. هيا نعد كتابة البسط على صورة واحد ناقص جتا اثنين ﺱ. بعد ذلك، نلاحظ أنه يمكننا التبسيط بقسمة كل من البسط والمقام على واحد ناقص جتا اثنين ﺱ.

في الخطوة التالية، نذكر متطابقة ضعف الزاوية التي تنص على: «جتا اثنين ﺱ يساوي واحدًا ناقص اثنين جا تربيع ﺱ». إذا أعدنا ترتيب هذا، فسنجد أن اثنين جا تربيع ﺱ يساوي واحدًا ناقص جتا اثنين ﺱ. إذن يصبح ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب سبعة في واحد على اثنين في جا تربيع ﺱ. سنعيد صياغة هذا قليلًا ونكتبه على صورة سالب سبعة على اثنين في واحد على جا تربيع ﺱ؛ لأنه يمكننا بعد ذلك استخدام المتطابقة واحد على جا ﺱ يساوي قتا ﺱ. إذن واحد على جا تربيع ﺱ يساوي قتا تربيع ﺱ.

إذن، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب سبعة على اثنين قتا تربيع ﺱ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.