فيديو الدرس: النسب المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد ونعبر عن قيم ثلاث نسب مثلثية: الجيب، وجيب التمام، والظل، لزاوية معطاة في مثلث قائم الزاوية.

١٢:٥٤

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتناول النسب المثلثية، وهي الجيب وجيب التمام والظل. وتطلق هذه الأسماء على النسب الموجودة بين أطوال أزواج الأضلاع المختلفة في المثلث القائم الزاوية. لنبدأ بالنظر إلى المثلث القائم الزاوية الظاهر على الشاشة هنا. في البداية، يجب أن نكون على دراية بالأسماء المستخدمة للإشارة إلى أضلاع المثلث القائم الزاوية.

لا بد أنك على دراية بالفعل بالوتر، وهو الاسم الذي يطلق على أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية. وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة. وربما تكون قد صادفته من قبل في نظرية فيثاغورس. أما الضلعان الآخران في المثلث القائم الزاوية، فلهما اسمان محددان أيضًا. ويرتبط اسم كل منهما بالزاوية التي تعنينا. في هذا المثلث القائم الزاوية، حددت إحدى الزاويتين الأخريين، بخلاف الزاوية القائمة. أطلقت على هذه الزاوية 𝜃. وعليه، فإن الضلعين يسميان من حيث علاقة كل منهما بالزاوية 𝜃. الاسم الأول هو الضلع المقابل. فمثلما يكون الوتر مقابلًا للزاوية القائمة، يكون الضلع المقابل مقابلًا للزاوية 𝜃. أي إنه سيكون هذا الضلع هنا. أما الاسم الذي نطلقه على الضلع الأخير، أي الضلع الثالث، فهو الضلع المجاور. وهو الضلع الذي يجاور أو يقع بجانب كل من الزاوية 𝜃 والزاوية القائمة. أي بين هاتين الزاويتين. وهكذا نميز الضلع المجاور من الأضلاع الأخرى. إذن، ينبغي أن تكون على دراية بهذه الأسماء الثلاثة: الضلع المقابل، والضلع المجاور، والوتر. ويجب أن تتمرس على تمييز هذه الأضلاع في المثلثات القائمة الزاوية.

إذن، النسب المثلثية الثلاث التي تعنينا هي النسب بين أزواج الأضلاع المختلفة في المثلث القائم الزاوية. أول نسبة سنتناولها تسمى نسبة الجيب. وبالنسبة إلى زاوية قياسها 𝜃، تكون نسبة الجيب هي النسبة بين طول الضلع المقابل وطول الوتر. إذن حسب تعريفها، فإن جيب الزاوية 𝜃 (أي جا 𝜃) يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. وذلك أيًا كان طولا هذين الضلعين. تسمى النسبة الثانية نسبة جيب التمام، وتختصر عادة إلى جتا. وهي النسبة بين طول الضلع المجاور وطول الوتر. ومن ثم، فإن جيب تمام الزاوية 𝜃 (أي جتا 𝜃) يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. والنسبة الأخيرة تسمى نسبة الظل، وتختصر عادة إلى ظا. وهي النسبة بين طول الضلع المقابل وطول الضلع المجاور. ومن ثم، فإن ظل الزاوية 𝜃 (أي ظا 𝜃) يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. إذن، هذه هي تعريفات النسب الثلاث.

من المهم أن نعرف أن هذه النسب تكون ثابتة بالنسبة إلى زاوية 𝜃 محددة، وذلك بغض النظر عن كبر أبعاد المثلث المرسوم. أي بغض النظر عن قيمة أطوال الضلع المقابل والضلع المجاور والوتر. فبالنسبة إلى زاوية 𝜃 محددة، ستظل قيم هذه النسب الثلاث كما هي دائمًا. ولذا، نفترض أننا سنمد هذا المثلث، مع الحفاظ على الزاوية 𝜃 ثابتة. في هذه الحالة، ستظل نسبة الجيب كما هي، سواء حسبناها باستخدام طول كل من الضلع المقابل والوتر المحددين في المثلث المرسوم بخط متصل. أو باستخدام طول كل من الضلع المقابل والوتر المحددين باللون الأحمر في المثلث الأكبر. وفي كلتا الحالتين، عند قسمة طول الضلع المقابل على طول الوتر، سأحصل على النسبة نفسها. وبالطبع، ينطبق الأمر نفسه على نسبة جيب التمام ونسبة الظل أيضًا.

تربط هذه النسب المثلثية بين زاوية وضلعين في المثلث. ويجب عليك معرفة أي ضلعين تربط بينهما كل نسبة من النسب المثلثية. ‏جا 𝜃 يربط المقابل والوتر. وهي نسبة الجيب. وجتا 𝜃 يربط المجاور والوتر. وهي نسبة جيب التمام. وظا 𝜃 يربط المقابل و المجاور، وهي نسبة الظل إذا تذكرت هذه العلاقات، فستتمكن من استخدام نسب الجيب وجيب التمام والظل بسهولة. إذا أردت أن تتأكد بنفسك من أن هذه النسب تظل ثابتة لأي زاوية 𝜃 محددة، فيمكنك أن تتحقق من ذلك بنفسك. ومن ثم، مثلما بدأنا على الشاشة، يمكنك رسم مثلث وقياس أطوال هذه الأضلاع بأدق صورة ممكنة وحساب النسب. ثم المتابعة ورسم مثلث متوسط ثم مثلث أكبر، وتأكد بنفسك من أن النسب ستظل كما هي. لنر كيف يمكن أن نستخدم ذلك للإجابة عن بعض الأسئلة.

في السؤال الأول، لدينا شكل مثلث قائم الزاوية. ومطلوب إيجاد قيمة جتا 𝜃.

عند حل أي مسألة تتعلق بحساب المثلثات، دائمًا ما تكون أول خطوة هي تسمية الأضلاع الثلاثة للمثلث في المسألة بأسمائها. إذن، نحدد الضلع المقابل والضلع المجاور والوتر. ونستخدم الحرف الأول من كل اسم هنا. تذكر أن الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. والضلع المقابل هو الضلع الذي يقابل الزاوية 𝜃. والضلع المجاور يقع بين الزاوية 𝜃 والزاوية القائمة. والآن مطلوب منا إيجاد قيمة جتا 𝜃. علينا إذن أن نتذكر تعريف جتا 𝜃. وإذا كنت تتذكر تعريفات النسب المثلثية التي ذكرناها سابقًا، فستعرف أن نسبة جيب التمام هي التي تتضمن الضلع المجاور والوتر. إذن، جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور مقسومًا على طول الوتر. ويتعين علينا بعد ذلك كتابة قيمة هذه النسبة في هذا المثلث تحديدًا. أي التعويض بطول الضلع المجاور وطول الوتر في هذا المثال.

بالنظر إلى المثلث، نجد أن طول الضلع المجاور يساوي ١٢ سنتيمترًا. أي إن جتا 𝜃 يساوي ١٢ على طول الوتر. وبالنظر إلى الشكل، نجد أن طول الوتر يساوي ١٣. وعليه، فإن جيب التمام للزاوية 𝜃، أي جتا 𝜃، يساوي ١٢ على ١٣. كل ما كان علينا فعله في هذا السؤال هو استرجاع تعريف جيب التمام ثم كتابة النسبة باستخدام القيم المذكورة في هذا السؤال.

حسنًا، لنتناول السؤال الثاني. لدينا مثلث آخر قائم الزاوية. والزاوية التي تعنينا تسمى هذه المرة 𝛼 بدلًا من 𝜃. والمطلوب منا في المسألة هو كتابة قيمة جا 𝛼.

في الخطوة الأولى، سنفعل كما فعلنا في السؤال السابق. أولًا، سأحدد كلًا من الأضلاع الثلاثة: المقابل، والمجاور، والوتر. وبعدها، علينا أن نتذكر تعريف نسبة الجيب. ‏وينص أن نسبة الجيب تساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. وبالنظر إلى الشكل، نجد أن طول الوتر معلوم. ويساوي ١٠ ملليمترات. لكننا لا نعرف طول الضلع المقابل. فهو غير موضح على الشكل. لكننا نريد معرفته لكي نحسب نسبة الجيب. يجب استرجاع بعض المعلومات لحل المسألة. علينا أن نتذكر نظرية فيثاغورس. وذلك لأن نظرية فيثاغورس تخبرنا بالعلاقة بين الأضلاع الثلاثة في المثلث القائم الزاوية. وسيمكننا استخدام نظرية فيثاغورس من حساب طول الضلع الثالث، إذا كنا نعلم طولي الضلعين الآخرين. وهو ما نعلمه في هذا السؤال. نرى أن طوليهما يساويان ١٠ ملليمترات وستة ملليمترات.

تكتب نظرية فيثاغورس عادة على الصورة: ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع. تذكر أنه في نظرية فيثاغورس، نأخذ طولي أقصر ضلعين في المثلث القائم الزاوية. وهما ﺃ وﺏ في هذه الحالة. ونقوم بتربيعهما ثم نجمع، ليساوي حاصل جمع مربعيهما مربع أطول ضلع، أي الوتر. إذن، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول هذا الضلع الثالث. هذا الضلع هو المقابل. سنرمز له بالحرف ﺏ. ثم نبدأ الحل. إذن عند حل هذا الجزء من المسألة، سنسمي الضلع الثالث ﺏ. نبدأ بكتابة نظرية فيثاغورس. لكننا سنعوض عن ﺃ بستة وسأحتفظ بـ ﺏ كما هو. وسنعوض عن ﺟ بـ ١٠. إذن لدينا ستة تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ١٠ تربيع.

بعد ذلك، نحسب قيمة ستة تربيع و ١٠ تربيع. يصبح لدينا ٣٦ زائد ﺏ تربيع يساوي ١٠٠. والآن نريد حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺏ. نطرح ٣٦ من كلا الطرفين. إذن لدينا الآن ﺏ تربيع يساوي ٦٤. لإيجاد ﺏ، نحسب الجذر التربيعي لكلا الطرفين. إذن، ﺏ يساوي الجذر التربيعي لـ ٦٤، وهو ما يساوي ثمانية. وهذا يعني أن طول الضلع الثالث، المقابل، لا بد أن يساوي ثمانية ملليمترات. ربما تكون قد تمكنت من إيجاد طول الضلع دون استخدام الطريقة المعتادة؛ لأن الأطوال ستة وثمانية و١٠ تعد مثالًا على ثلاثية فيثاغورس. حيث لدينا مثلث قائم الزاوية، أطوال أضلاعه الثلاثة كلها أعداد صحيحة. وبمعرفة ذلك، تمكنا من اختصار خطوات الحل قليلًا.

حسنًا، أردنا معرفة طول هذا الضلع الثالث حتى نتمكن من كتابة نسبة الجيب. نتذكر أن نسبة الجيب تساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. نعرف الآن أن طول الضلع المقابل يساوي ثمانية ملليمترات. وطول الوتر يساوي ١٠ ملليمترات. هذا يخبرنا أن جا 𝛼 لا بد أن يساوي ثمانية على ١٠. ويمكن تبسيط ذلك إلى أربعة أخماس. أو يمكننا كتابتها في صورة عدد عشري. إذن، إجابة هذا السؤال هي جا 𝛼 يساوي ٠٫٨.

حسنًا، المثال الأخير في هذا الفيديو.

المطلوب هو كتابة قيمة ظا 𝜃 في هذا المثلث القائم الزاوية المرسوم هنا.

نعرف أطوال الأضلاع الثلاثة في هذا المثلث تحديدًا. ولذا، لن نحتاج لإيجادها. إذن، الخطوة الأولى، كالمعتاد، هي تسمية الأضلاع الثلاثة: الوتر والضلع المقابل والضلع المجاور. بعد ذلك، علينا أن نتذكر تعريف نسبة الظل. وهي تساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور. بالنظر إلى الشكل، سنلاحظ أن الضلعين اللذين سنستخدمهما هما الضلع المقابل وطوله يساوي جذر اثنين على اثنين، والضلع المجاور وطوله يساوي نصفًا. ولأن لدينا كسرين، لن نكتب أحدهما على الآخر؛ لأن الناتج في هذه الحالة سيكون كسرًا من أربع طبقات. بل سنكتب ظا 𝜃 يساوي جذر اثنين على اثنين مقسومًا على نصف، كبداية.

والآن علينا تبسيط ذلك. هناك طريقتان مختلفتان للتفكير في ذلك. القسمة على نصف هي نفسها الضرب في اثنين. أو يمكنك التفكير أنه عند القسمة على كسر، نعكس هذا الكسر. أي نقلبه. ثم نضرب بدلًا من القسمة. وتؤدي الطريقتان إلى النتيجة نفسها، وهي أن ظا 𝜃 يساوي جذر اثنين على اثنين مضروبًا في اثنين. سيحذف اثنان في البسط مع اثنين في المقام. وبالتالي، يتبقى لدينا ظا 𝜃 يساوي جذر اثنين. ولذا، سنترك الإجابة على صورة جذر أصم؛ لأنها إجابة دقيقة. أما إذا حاولنا إيجاد القيمة في صورة عدد عشري، فسيتعين علينا التقريب.

إذن، تلخيصًا لما تناولناه، فقد حددنا النسب المثلثية الثلاث: الجيب وجيب التمام والظل، وهي النسب بين أزواج الأضلاع المختلفة في مثلث قائم الزاوية. وعرفنا كيف تربط نسبة الجيب ونسبة جيب التمام ونسبة الظل بين زاوية وأضلاع مختلفة في المثلث. كما رأينا كيف نحسب قيم هذه النسب المثلثية من مثلث قائم الزاوية به بعض أطوال الأضلاع المعلومة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.