فيديو السؤال: إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين يمثلان ضلعين في مثلث متساوي الساقين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺃﺏﺟ مثلثًا متساوي الساقين، فيه طول الضلع ﺃﺏ يساوي طول الضلع ﺃﺟ يساوي ١٩ سنتيمترًا، وقياس الزاوية ﺃ يساوي ٥١ درجة، فأوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺏﺃ وﺏﺟ، لأقرب جزء من مائة.

في هذا السؤال، لدينا بعض المعطيات عن المثلث ﺃﺏﺟ. في البداية، علمنا أن هذا مثلث متساوي الساقين. وعلمنا بعد ذلك أن الضلعين المتساويين في المثلث المتساوي الساقين هما ﺃﺏ وﺃﺟ، وطول كل منهما يساوي ١٩ سنتيمترًا. كما علمنا أن قياس الزاوية ﺃ يساوي ٥١ درجة. علينا استخدام ذلك لإيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺏﺃ وﺏﺟ. وعلينا تقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة.

للإجابة عن هذا السؤال، من الجيد دائمًا أن نرسم المعطيات التي لدينا. لكي نبدأ الحل، علينا رسم المثلث المتساوي الساقين ﺃﺏﺟ؛ حيث طول كل من الضلع ﺃﺏ والضلع ﺃﺟ يساوي ١٩ سنتيمترًا، والزاوية عند ﺃ قياسها ٥١ درجة. سنرسم أيضًا المتجهين ﺏﺃ وﺏﺟ على هذا الشكل. بحيث يكون ﺏﺃ هو المتجه الذي يبدأ من ﺏ وينتهي عند ﺃ، وﺏﺟ هو المتجه الذي يبدأ من ﺏ وينتهي عند ﺟ. يمكننا الآن أن نرى على الرسم المتجهين ﺏﺃ وﺏﺟ المطلوب منا حساب حاصل الضرب القياسي لهما.

ويمكن أن نلاحظ شيئًا مثيرًا للاهتمام بشأن هذين المتجهين. يمكننا بالفعل إيجاد قياس الزاوية المحصورة بينهما. كما أننا نعلم بالفعل علاقة تربط بين الضرب القياسي لمتجهين والزاوية المحصورة بينهما. لذا يمكننا استخدام ذلك لإيجاد قيمة حاصل الضرب القياسي. إننا نتذكر أنه إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين ﻉ وﻕ، فإن جتا 𝜃 يجب أن يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻉ وﻕ مقسومًا على معيار ﻉ في معيار ﻕ. ونعلم بعضًا من هذه المعلومات حول حاصل الضرب القياسي من المعطيات في السؤال.

على سبيل المثال، يمكننا إعادة كتابة هذه الصيغة باستخدام المتجهين ﺏﺃ وﺏﺟ. ويمكننا أيضًا إضافة الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين على الشكل. سنسمي هذه الزاوية 𝜃. لدينا بعد ذلك جتا 𝜃 يساوي المتجه ﺏﺃ ضرب قياسي ﺏﺟ مقسومًا على معيار ﺏﺃ في معيار ﺏﺟ. إذن لإيجاد حاصل الضرب القياسي باستخدام هذه الطريقة، علينا إيجاد قياس الزاوية 𝜃، وعلينا أيضًا إيجاد معياري المتجهين ﺏﺃ وﺏﺟ.

يمكننا أن نلاحظ قيمة أحد المعيارين مباشرة. فمعيار المتجه ﺏﺃ هو طول الضلع. أي يساوي ١٩. بعد ذلك، دعونا نوجد قياس الزاوية 𝜃. ولفعل ذلك، علينا استخدام حقيقة أن المثلث ﺃﺏﺟ مثلث متساوي الساقين. ونحن نعلم أن في المثلث المتساوي الساقين، الزاويتان المقابلتين للضلعين المتساويين تكونان متساويتين في القياس. ومن ثم، فإن قياس الزاوية الأخرى المجهول يساوي قياس الزاوية 𝜃 أيضًا. لكن هذا ليس الشيء الوحيد الذي نعرفه. فنحن نعلم أيضًا أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي ١٨٠ درجة. لذا يمكننا جمع قياسات هذه الزوايا الثلاثة معًا لنحصل على ١٨٠ درجة؛ أي إن ١٨٠ يساوي 𝜃 زائد 𝜃 زائد ٥١ درجة.

والآن علينا إيجاد قيمة 𝜃. سنطرح أولًا ٥١ درجة من طرفي المعادلة ثم نبسط الناتج. وهذا يعطينا ١٢٩ درجة تساوي اثنين 𝜃. ثم نقسم الطرفين على اثنين، وهو ما يعطينا ٦٤٫٥ درجة تساوي 𝜃. ومن ثم، يصبح المجهول الأخير في المعادلة هو مقدار المتجه ﺏﺟ. وهو يساوي طول الضلع ﺏﺟ في المثلث. عادة ما نشير إليه بالحرف ﺃ شرطة؛ لأنه مقابل للزاوية ﺃ. هناك العديد من الطرق التي يمكننا من خلالها إيجاد طول هذا الضلع. على سبيل المثال، نحن نعلم قياس الزاوية المقابلة له وطولي الضلعين الآخرين في المثلث؛ لذا يمكننا إجراء ذلك باستخدام قانون جيب التمام.

بتطبيق قانون جيب التمام على هذا المثلث لإيجاد الطول المطلوب، نحصل على معيار المتجه ﺏﺟ الكل تربيع يساوي ١٩ تربيع زائد ١٩ تربيع ناقص اثنين في ١٩ مضروبًا في ١٩ في جتا ٥١ درجة. ومن الجدير بالذكر أيضًا هنا أنه ليس علينا بالضرورة استخدام قانون جيب التمام. فقد كان بإمكاننا استخدام قانون الجيب أيضًا. ذلك لأننا وجدنا قيمة 𝜃 بالفعل، ونعرف جميع قياسات الزوايا في المثلث. فالطريقة التي نستخدمها ما هي إلا تفضيل شخصي. وسوف نستخدم قانون جيب التمام فقط.

بإيجاد قيمة الطرف الأيسر من هذه المعادلة، نحصل على ٢٦٧٫٦٣، وهكذا مع توالي الأرقام. ويمكننا إيجاد طول الضلع ﺏﺟ بأخذ الجذر التربيعي للطرفين. ونجد أن طول الضلع ﺏﺟ، أو معيار المتجه ﺏﺟ، يساوي ١٦٫٣٥٩، وهكذا مع توالي الأرقام. والآن كل ما علينا فعله هو التعويض بهذه القيم في المعادلة التي لدينا لإيجاد حاصل الضرب القياسي. فنحصل على جتا ٦٤,٥ درجة يساوي المتجه ﺏﺃ ضرب قياسي ﺏﺟ مقسومًا على ١٩ في ١٦٫٣٥٩، وهكذا مع توالي الأرقام. ويجب ألا نقرب هذه القيمة حتى نصل إلى الخطوة الأخيرة في العملية الحسابية.

والآن لإيجاد حاصل الضرب القياسي، علينا ضرب الطرفين في القيمة الموجودة في مقام الكسر لدينا. ومن هذا، نجد أن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺏﺃ وﺏﺟ يساوي ١٩ في ١٦٫٣٥٩، وهكذا مع توالي الأرقام مضروبًا في جتا ٦٤,٥. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار، نحصل على ١٣٣٫٨١٥، وهكذا مع توالي الأرقام.

لكن تذكر أن المطلوب في السؤال هو تقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة. وأقرب جزء من مائة يعني أقرب منزلتين عشريتين. إذن علينا النظر إلى الخانة العشرية الثالثة لتحديد إذا ما كنا سنقرب لأعلى أو لأسفل. نلاحظ هنا أن الخانة العشرية الثالثة بها الرقم خمسة، وهو ما يحقق إحدى قواعد التقريب؛ وهي أن يكون الرقم أكبر من أو يساوي خمسة. هذا يعني أن علينا التقريب لأعلى. ويعطينا ذلك الإجابة النهائية؛ وهي ١٣٣٫٨٢. وبهذا، استطعنا توضيح أنه إذا كان ﺃﺏﺟ مثلثًا متساوي الساقين؛ حيث طول الضلع ﺃﺏ يساوي طول الضلع ﺃﺟ يساوي ١٩ سنتيمترًا وقياس الزاوية ﺃ يساوي ٥١ درجة، فإن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺏﺃ وﺏﺟ، لأقرب جزء من مائة يساوي ١٣٣٫٨٢.