فيديو السؤال: إيجاد معادلة الكرة التي تمر بثلاث نقاط بمعلومية إحداثياتها الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة الكرة المارة بالنقاط ﺃ تسعة، صفر، صفر وﺏ ثلاثة، ١٣، خمسة، وﺟ ١١، صفر، ١٠، علمًا بأن مركزها يقع في المستوى ﺹﻉ.

إحدى الطرق الأكثر استخدامًا للتعبير عن معادلة الكرة هي التعبير عنها على الصورة القياسية. بشكل عام، نكتب معادلة الكرة على الصورة القياسية كما يلي: ﺱ ناقص ﺱ صفر تربيع زائد ﺹ ناقص ﺹ صفر تربيع زائد ﻉ ناقص ﻉ صفر تربيع يساوي نق تربيع. ‏ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر هي إحداثيات مركز الكرة ونق هو نصف قطرها. الكرة نفسها إذن هي مجموعة من كل النقاط التي إحداثياتها ﺱ وﺹ وﻉ، والتي تحقق هذه المعادلة.

ما يجعل هذه الصورة طبيعية جدًّا ومفيدة هو أن تحديد مركز الكرة ونصف قطرها يكفي لتحديد الكرة بأكملها تحديدًا كاملًا. وبمعلومية معادلة الكرة على الصورة القياسية، كل ما علينا فعله هو النظر إلى المعادلة لتحديد إحداثيات مركز الكرة ونصف قطرها.

لكننا في هذه المسألة لا نعرف نصف قطر الكرة، وكل ما نعرفه عن المركز هو أنه يقع في المستوى ﺹﻉ. ولكن لدينا ثلاث نقاط تقع على الكرة. إذن لإيجاد معادلة الكرة، سنأخذ إحداثيات كل نقطة من هذه النقاط، ونعوض بها في معادلة الكرة على الصورة القياسية، ونستخدم ذلك للتوصل إلى نظام من المعادلات يمكننا حله لتحديد مركز الكرة ونصف قطرها، ومن ثم نحصل على المعادلة العامة للكرة. إننا نعرف بالفعل أحد إحداثيات مركز الكرة. ولأن مركز الكرة يقع في المستوى ﺹﻉ، فإن الإحداثي ﺱ يساوي صفرًا.

دعونا الآن نعوض بالنقاط ﺃ وﺏ وﺟ في المعادلة على الصورة القياسية. بالنسبة إلى النقطة ﺃ، فإن ﺱ يساوي تسعة، وﺹ يساوي صفرًا، وﻉ يساوي صفرًا أيضًا. إذن لدينا تسعة ناقص صفر تربيع؛ لأن ﺱ صفر يساوي صفرًا، زائد صفر ناقص ﺹ صفر تربيع زائد صفر ناقص ﻉ صفر تربيع يساوي نق تربيع. تسعة ناقص صفر يساوي تسعة، وصفر ناقص ﺹ صفر يساوي سالب ﺹ صفر، وصفر ناقص ﻉ صفر يساوي سالب ﻉ صفر. تسعة تربيع يساوي ٨١. سالب ﺹ صفر تربيع يساوي سالب ﺹ صفر في سالب ﺹ صفر، وهو ما يساوي موجب ﺹ صفر تربيع. وبالمثل، سالب ﻉ صفر تربيع يساوي موجب ﻉ صفر تربيع. إذن، ٨١ زائد ﺹ صفر تربيع زائد ﻉ صفر تربيع يساوي نق تربيع.

والآن سنجري العملية نفسها مع النقطة ﺏ. لدينا ﺱ يساوي ثلاثة، وﺹ يساوي ١٣، وﻉ يساوي خمسة. التبسيط السهل الوحيد الذي يمكننا فعله هو أن ثلاثة ناقص صفر تربيع يساوي تسعة. سنترك ١٣ ناقص ﺹ صفر تربيع وخمسة ناقص ﻉ صفر تربيع كما هما مؤقتًا. إذن المعادلة الثانية هي تسعة زائد ١٣ ناقص ﺹ صفر تربيع زائد خمسة ناقص ﻉ صفر تربيع يساوي نق تربيع. والمعادلة الأخيرة ستكون من النقطة ﺟ التي تتضمن ﺱ يساوي ١١، وﺹ يساوي صفرًا، وﻉ يساوي ١٠. لدينا الآن ١١ ناقص صفر تربيع، وهو ما يساوي ١١ تربيع أو ١٢١، وصفر ناقص ﺹ صفر تربيع، وهو ما نعلم أنه يساوي ﺹ صفر تربيع، و ١٠ ناقص ﻉ صفر تربيع، وهو ما لن نوجد مفكوكه الآن. إذن المعادلة الثالثة هي ١٢١ زائد ﺹ صفر تربيع زائد ١٠ ناقص ﻉ صفر تربيع يساوي نق تربيع.

والآن أصبح لدينا نظام من ثلاث معادلات في ثلاثة متغيرات، وهي ﺹ صفر، وﻉ صفر، ونق. لحل هذا النظام، سنوجد قيمة متغير واحد في كل مرة. لاحظ أن التعبيرات الثلاثة بالطرف الأيمن تساوي التعبير نفسه الموجود بالطرف الأيسر؛ أي نق تربيع. لذا يمكننا تكوين معادلة لا تحتوي على المتغير نق من خلال مساواة أي تعبيرين من الطرف الأيمن لهذه المعادلات. لاحظ أيضًا أنه في المعادلتين الأولى والثالثة لا يظهر المتغير ﺹ صفر إلا في حد واحد؛ وهو ﺹ صفر تربيع. إذن بمساواة الطرفين الأيمنين في المعادلتين الأولى والثالثة، لن يتعين علينا استبعاد نق فحسب، بل ﺹ صفر أيضًا، ومن ثم ستتبقى لدينا معادلة واحدة في الحد المجهول ﻉ صفر.

لدينا إذن ٨١ زائد ﺹ صفر تربيع زائد ﻉ صفر تربيع يساوي ١٢١ زائد ﺹ صفر تربيع زائد ١٠ ناقص ﻉ صفر تربيع. ونحن نعرف أن هذا التساوي يتحقق لأن التعبيرين يساويان الشيء نفسه؛ وهو نق تربيع. والآن علينا التبسيط. سنبدأ بطرح ٨١ وﺹ صفر تربيع من كلا الطرفين. ٨١ ناقص ٨١ يساوي صفرًا، وكذلك ﺹ صفر تربيع ناقص ﺹ صفر تربيع. إذن في الطرف الأيمن، يتبقى لدينا ﻉ صفر تربيع. وفي الطرف الأيسر، ١٢١ ناقص ٨١ يساوي ٤٠ وﺹ صفر تربيع ناقص ﺹ صفر تربيع يساوي صفرًا أيضًا. إذن، يصبح لدينا ﻉ صفر تربيع يساوي ٤٠ زائد ١٠ ناقص ﻉ صفر تربيع.

فلننظر الآن إلى ما لدينا، إنه ما أردناه بالضبط؛ معادلة واحدة فيها الحد المجهول ﻉ صفر. لإيجاد قيمة ﻉ صفر، علينا إيجاد مفكوك ١٠ ناقص ﻉ صفر تربيع في الطرف الأيسر. هذا يعطينا ﻉ صفر تربيع يساوي ٤٠ زائد ١٠٠ ناقص ٢٠ﻉ صفر زائد ﻉ صفر تربيع. لقد توصلنا إلى ما أردنا بصورة أفضل مما توقعنا في البداية. وحقيقة أن لدينا ﻉ صفر تربيع في أحد الطرفين تشير إلى أن لدينا معادلة تربيعية. لكن لدينا أيضًا الحد ﻉ صفر تربيع في الطرف الآخر من المعادلة. إذن، هذه المعادلة خطية وسهلة الحل.

لحل هذه المعادلة، سنطرح ﻉ صفر تربيع من كلا الطرفين ثم نضيف ٢٠ﻉ صفر إلى الطرفين. في طرفي المعادلة، ﻉ صفر تربيع ناقص ﻉ صفر تربيع يساوي صفرًا. وبذلك يتبقى لدينا ٢٠ﻉ صفر في الطرف الأيمن. وفي الطرف الأيسر، ٤٠ زائد ١٠٠ يساوي ١٤٠، وسالب ٢٠ﻉ صفر زائد ٢٠ﻉ صفر يساوي صفرًا. إذن ٢٠ﻉ صفر يساوي ١٤٠، وبقسمة الطرفين على ٢٠، نجد أن ﻉ صفر يساوي سبعة. والآن بعد أن أصبحت لدينا قيمة ﻉ صفر، نجد أن المتغيرين الوحيدين المتبقيين هما نق وﺹ صفر.

لإيجاد ﺹ صفر، سنساوي التعبيرين الموجودين في الطرف الأيمن من المعادلتين الأولى والثانية لأننا نعلم أن مساواة المعادلتين الأولى والثالثة يستبعد ﺹ صفر من العملية الحسابية. لكننا نريد ﺹ صفر في العملية الحسابية لإيجاد قيمته. إذن، يصبح لدينا ٨١ زائد ﺹ صفر تربيع زائد ﻉ صفر تربيع يساوي تسعة زائد ١٣ ناقص ﺹ صفر تربيع زائد خمسة ناقص ﻉ صفر تربيع، حيث مرة أخرى نعرف أن هذا التساوي يتحقق لأن كلا الطرفين يساوي نق تربيع.

لتحويل هذه المعادلة إلى معادلة واحدة بها متغير واحد، كل ما علينا فعله هو التعويض بـ ﻉ صفر يساوي سبعة. والآن أصبحت لدينا معادلة واحدة بها متغير واحد، وكل ما علينا فعله هو الحل لإيجاد قيمة ﺹ صفر. سنبدأ بتبسيط جميع المربعات التي يمكننا استخدامها وفكها. لدينا في البداية، سبعة تربيع يساوي ٤٩. خمسة ناقص سبعة يساوي سالب اثنين، وسالب اثنين تربيع يساوي موجب أربعة. وأخيرًا، سنفك ١٣ ناقص ﺹ صفر تربيع ليصبح ١٦٩ ناقص ٢٦ﺹ صفر زائد ﺹ صفر تربيع. بتجميع كل الحدود العددية، بالطرف الأيمن، نجد أن لدينا ٨١ زائد ٤٩، وهو ما يساوي ١٣٠. إذن الطرف الأيمن يساوي ١٣٠ زائد ﺹ صفر تربيع. وفي الطرف الأيسر، لدينا تسعة زائد ١٦٩ زائد أربعة، وهو ما يساوي ١٨٢. إذن يصبح لدينا في الطرف الأيسر ١٨٢ ناقص ٢٦ﺹ صفر زائد ﺹ صفر تربيع.

نلاحظ مرة أخرى أن ما كانت تبدو في البداية معادلة تربيعية هي في الواقع معادلة خطية؛ لأن لدينا نفس الحد المربع في كلا الطرفين. وبطرح ﺹ صفر تربيع من الطرفين، نحصل على ١٣٠ يساوي ١٨٢ ناقص ٢٦ﺹ صفر. والآن سنضيف ٢٦ﺹ صفر ونطرح ١٣٠ من كلا الطرفين، ما يعطينا ٢٦ﺹ صفر يساوي ٥٢. بقسمة الطرفين بعد ذلك على ٢٦ نجد أن ﺹ صفر يساوي اثنين. آخر قيمة علينا إيجادها هي قيمة نق، أو بتعبير أدق، نق تربيع. لإيجاد ذلك، سنعوض بسبعة عن ﻉ صفر وباثنين عن ﺹ صفر في المعادلة الأولى. إذن، ٨١ زائد اثنين تربيع زائد سبعة تربيع يساوي نق تربيع. وهذا يعني أن ٨١ زائد أربعة زائد ٤٩ يساوي نق تربيع؛ أي إن نق تربيع يساوي ١٣٤.

أصبحت لدينا الآن القيم الأربعة التي نحتاجها للتعبير عن معادلة الكرة على الصورة القياسية. معادلة الكرة لدينا على الصورة القياسية هي ﺱ ناقص صفر تربيع زائد ﺹ ناقص اثنين تربيع زائد ﻉ ناقص سبعة تربيع يساوي ١٣٤. دعونا نعبر عن هذه المعادلة بصورة أخرى حيث نفك جميع المربعات ونجعل الطرف الأيسر من المعادلة يساوي صفرًا. ‏ﺱ ناقص صفر تربيع يساوي ﺱ تربيع. ‏ﺹ ناقص اثنين تربيع يساوي ﺹ تربيع ناقص أربعة ﺹ زائد أربعة. ‏ﻉ ناقص سبعة تربيع يساوي ﻉ تربيع ناقص ١٤ﻉ زائد ٤٩. وقد جعلنا الطرف الأيسر يساوي صفرًا بطرح ١٣٤ من كلا الطرفين.

لتنظيم هذا التعبير قليلًا، سنجمع الحدود التربيعية الثلاثة معًا، ثم الحدين الخطيين. وأخيرًا، نجمع الحدود الثابتة؛ أربعة زائد ٤٩ ناقص ١٣٤ يساوي سالب ٨١، وهذا التعبير بأكمله يساوي صفرًا. إذن، ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع زائد ﻉ تربيع ناقص أربعة ﺹ ناقص ١٤ﻉ ناقص ٨١ يساوي صفرًا هي معادلة الكرة التي نبحث عنها. وقد حصلنا على هذه المعادلة من معادلة الكرة على الصورة القياسية التي أوجدناها بإيجاد إحداثيات مركز الكرة ومربع نصف قطرها.