نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل دوائر متحدة المركز للمجالين المغناطيسيين لموصلين متوازيين يمر بهما تيار. يتجه التيار الأيمن إلى داخل مستوى الشكل، ويتجه التيار الأيسر إلى خارج مستوى الشكل. للتيارين كليهما الشدة نفسها. والزيادة في نصف قطر خطوط المجال المتحدة المركز ثابتة. وكثافة الفيض المغناطيسي عند نقطة حول تيار تتناسب عكسيًّا مع المسافة العمودية من النقطة إلى التيار. أي مجموعات النقاط الآتية الموضحة في الشكل ترتب النقاط ترتيبًا صحيحًا من الأكبر إلى الأصغر من حيث مقدار كثافة الفيض المغناطيسي الكلية؟ (أ) 𝐴، 𝐵، 𝐸، 𝐶، 𝐷 (ب) 𝐴، 𝐸، 𝐶، 𝐵، 𝐷 (ج) 𝐶، 𝐷، 𝐸، 𝐵، 𝐴 (د) 𝐷، 𝐸، 𝐶، 𝐵، 𝐴 (هـ) 𝐸، 𝐵، 𝐴، 𝐶، 𝐷.
الآن، ما نفكر فيه هو هذه الحالة هنا. وفيها، لدينا موصلان يمر بهما تيار. يوجد موصل يمر به تيار يشير إلى خارج الشاشة في اتجاهنا هنا، وموصل يمر به تيار يشير إلى داخل الشاشة بعيدًا عنا. هذان التياران لهما الشدة نفسها، وكل منهما يولد مجالًا مغناطيسيًّا حول نفسه. الدوائر المتحدة المركز التي تشير إلى هذين المجالين المغناطيسيين موضحة بهذه الخطوط المتقطعة باللون الرمادي. نلاحظ أن مجموعة من الدوائر تتمركز حول أحد الموصلين اللذين يمر بهما تيار، وتتمركز المجموعة الأخرى من الدوائر حول الموصل الآخر.
مما سبق ذكره في نص المسألة، نعلم أن كثافة الفيض المغناطيسي، التي سنرمز إليها بحرف 𝐵، تتناسب عكسيًّا مع المسافة المستقيمة بين موصل يمر به تيار والنقطة التي نريد عندها حساب المجال المغناطيسي الناتج عن هذا الموصل. إذن، بوجه عام، نعلم من هذا أنه كلما ابتعدنا عن موصل معطى يمر به تيار، كان المجال المغناطيسي الناتج عن هذا الموصل أضعف. لكن هذه العلاقة تعطينا أيضًا معلومات محددة. على سبيل المثال، لنفترض أننا نفكر في المجال المغناطيسي الناتج عن هذا الموصل الذي يمر به تيار على وجه التحديد. نعلم أن كل حلقة من هذه الحلقات المتحدة المركز تبعد عن الأخرى المسافة نفسها.
من ثم، إذا تحركنا بعيدًا عن الموصل الذي يمر به تيار — أي من الدائرة الأولى إلى الدائرة الثانية على سبيل المثال — فإننا سنضاعف المسافة التي تبعدنا عن هذا الموصل. نعلم من هذه العلاقة العكسية أنه بالنسبة إلى انتقال كهذا — من الدائرة الأولى إلى الدائرة الثانية بعيدًا عن موصل معطى يمر به تيار — تقل كثافة الفيض المغناطيسي الذي لدينا إلى النصف؛ لأن المسافة تتضاعف. بعبارة أخرى، كثافة الفيض المغناطيسي الناتج عن هذا الموصل عند هذا الموضع، تكون ضعف كثافة الفيض المغناطيسي الناتج عن الموصل نفسه عند هذا الموضع.
في هذا المثال، كما لاحظنا ليس لدينا موصل واحد فقط، بل موصلان يمر بهما تيار. وكل منهما يولد مجالًا مغناطيسيًّا. هذان المجالان يتداخلان. وفي منتصف المجالين، نرى هذه النقاط الخمس المسماة: 𝐴 و𝐵 و𝐶 و𝐷 و𝐸. ونحن في النهاية نريد أن نرتب هذه النقاط الخمس وفقًا لمقدار كثافة الفيض المغناطيسي الكلية. بعبارة أخرى، نحن نقارن مقدار كثافة الفيض المغناطيسي الكلية عند النقطة 𝐴 بمقدارها عند النقطة 𝐵، وبمقدارها عند النقطة 𝐶، وبمقدارها عند النقطة 𝐷، وبمقدارها عند النقطة 𝐸.
لكي نتمكن من المقارنة بين هذه المقادير، علينا أولًا أن نحسبها. قبل أن نبدأ في ذلك، لنسترجع أن كثافة فيض المجال المغناطيسي عند مسافة عمودية 𝑟 من سلك يمر به تيار 𝐼 تعطى بالعلاقة الموضحة في هذا التعبير. هذا الرمز 𝜇 صفر يشير إلى نفاذية الفراغ. وهو ثابت. وكما لاحظنا، فإن 𝐼 هي شدة التيار الذي يمر في موصل، و𝑟 هو المسافة العمودية بين محور هذا الموصل والنقطة التي نحسب عندها كثافة الفيض المغناطيسي 𝐵. لاحظ أن هذه المعادلة العامة باللون الأخضر هي التي تقودنا إلى العلاقة 𝐵 تتناسب عكسيًّا مع 𝑟. عند كل نقطة من النقاط الخمس 𝐴 و𝐵 و𝐶 و𝐷 و𝐸، نريد حساب المقدار النسبي لكثافة الفيض المغناطيسي.
دعونا نبدأ بالنقطة الأخيرة لدينا، أي النقطة 𝐸. بالنسبة إلى النقطة 𝐸، كما هو الحال بالنسبة إلى النقاط التي لدينا كلها، تكون كثافة الفيض الكلية عندها ناتجة عن الموصلين اللذين يمر بهما تيار. الموصل الذي على اليمين يمر به تيار يشير إلى داخل الشاشة. ومن ثم، باستخدام قاعدة اليد اليمنى — حيث نشير بإبهام اليد اليمنى في اتجاه التيار، أي إلى داخل الشاشة — فإن الاتجاه الذي تستطيع أصابع هذه اليد أن تلتف فيه، وهو في هذه الحالة في اتجاه دوران عقارب الساعة، يشير إلى اتجاه المجال المغناطيسي الناتج عن هذا التيار. يولد الموصل الذي يمر به تيار يشير إلى داخل الشاشة مجالًا مغناطيسيًّا في اتجاه دوران عقارب الساعة. إذن، عند النقطة 𝐸، يمكننا أن نلاحظ أن هذا المجال سيشير لأسفل.
عند هذه النقطة، دعونا نفترض أن المجالات المغناطيسية التي تشير لأعلى موجبة، بينما المجالات المغناطيسية التي تشير لأسفل تشير في الاتجاه السالب. وفقًا لافتراضنا هذا، فإن المجال المغناطيسي المتولد عند النقطة 𝐸، الناتج عن الموصل الأيمن الذي يمر به تيار، يكون سالبًا. لكن كثافة الفيض المغناطيسي الكلية عند النقطة 𝐸 ستشمل تأثيرات الموصل الذي على اليسار. نحن نعلم أن هذا الموصل يمر به تيار يشير إلى خارج الشاشة في اتجاهنا. ومن ثم، مرة أخرى، باستخدام قاعدة اليد اليمنى لإيجاد اتجاه مجال مغناطيسي، نلاحظ أن هذا المجال المغناطيسي يشير في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. إذن، فإن المجال المغناطيسي عند النقطة 𝐸، الناتج عن هذا الموصل الذي يمر به تيار، يكون موجبًا.
لاحظ أننا رسمنا السهم الذي باللون الوردي، الناتج عن الموصل الذي على اليسار، أقصر من السهم الذي باللون البرتقالي، الناتج عن الموصل الذي على اليمين. هذا الفرق نتيجة لأن النقطة 𝐸، كما نرى، أقرب إلى الموصل الذي على اليمين منها إلى الموصل الذي على اليسار. نطبق العلاقة: 𝐵 تتناسب عكسيًّا مع 𝑟. ونظرًا لأن المسافة العمودية بين أي حلقتين متجاورتين متحدتي المركز واحدة، دعونا نعط هذه المسافة اسمًا. لنرمز إليها بحرف 𝑟 صغيرًا.
الآن، يمكننا كتابة كثافة الفيض المغناطيسي الكلية عند النقطة 𝐸 على صورة مجموع كثافة الفيض المغناطيسي الناتجة عن الموصل الذي على اليسار وكثافة الفيض المغناطيسي الناتجة عن الموصل الذي على اليمين. يمكننا أن نستخدم هذا التعبير لإيجاد كثافتي الفيض المغناطيسي هاتين بناء على المسافة بين كل موصل من الموصلين والنقطة 𝐸، ونستخدم أيضًا قاعدة الإشارات الذي افترضناها؛ لنتمكن في النهاية من إيجاد كثافة الفيض المغناطيسي الكلية عند هذه النقطة.
أول شيء نفعله هو إيجاد المسافة بين الموصل الذي على اليسار والنقطة 𝐸. بدءًا من هذا الموصل — أي الموصل الذي يمر به تيار يشير إلى خارج الشاشة في اتجاهنا — نعد أربع حلقات متحدة المركز من هذا الموصل للوصول إلى النقطة 𝐸. يمكننا كتابة كثافة الفيض المغناطيسي عند النقطة 𝐸، الناتجة عن الموصل الذي على اليسار، على صورة 𝜇 صفر في 𝐼 — وهي شدة التيار الذي يمر في أي من الموصلين — مقسومًا على اثنين 𝜋 في أربعة 𝑟، وهي المسافة العمودية بين النقطة 𝐸 والموصل الأيسر.
نظرًا لأن المجال المغناطيسي عند النقطة 𝐸، والذي ينتج عن الموصل الذي في أقصى اليسار، يشير لأعلى، فإن قيمته موجبة. من ناحية أخرى، المجال المغناطيسي عند هذه النقطة، والذي ينتج عن الموصل الذي في أقصى اليمين، ستكون قيمته سالبة. بعبارة أخرى، إنه يشير لأسفل. إذن، يمكننا أن نستبدل بإشارة الموجب هذه ونكتب بدلًا منها إشارة السالب. إذن، من الشكل الذي لدينا، بملاحظة أن الموصل الذي في أقصى اليمين على مسافة دائرة واحدة متحدة المركز من النقطة 𝐸، فإننا نكتب كثافة الفيض المغناطيسي عند النقطة 𝐸، الناتجة عن هذا الموصل، على صورة سالب 𝜇 صفر في 𝐼 مقسومًا على اثنين 𝜋 في 𝑟. لاحظ أنه في هذين الحدين، لدينا 𝜇 صفر في 𝐼 مقسومًا على 𝜋 في 𝑟. هذا يعطينا 𝜇 صفر في 𝐼 مقسومًا على 𝜋 في 𝑟 الكل مضروب في ثمن ناقص نصف.
إذا ضربنا النصف في أربعة مقسومًا على أربعة، وهو ما يساوي واحدًا، فإن هذا لن يغير العدد الكلي، وسنحصل على أربعة مقسومة على ثمانية. وثمن ناقص أربعة أثمان يساوي سالب ثلاثة أثمان. الآن لنتذكر أننا نريد مقارنة مقدار كثافة الفيض المغناطيسي الكلية عند كل نقطة من النقاط الخمس التي لدينا. بالنسبة إلى كل نقطة من هذه النقاط، فإن ما سنقارنه حقًّا هو العدد الذي بين هذين القوسين. النقاط التي لدينا كلها 𝐴 و𝐵 و𝐶 و𝐷 و𝐸 سيكون العامل الأولي فيها 𝜇 صفر في 𝐼 مقسومًا على 𝜋 في 𝑟. إذن، عندما نتحدث عن القيمة التي تعنينا بالنسبة إلى كثافة الفيض المغناطيسي الكلية عند النقطة 𝐸، سنكتب ذلك بهذه الطريقة. سنقول إن مقدار كثافة الفيض المغناطيسي عند النقطة 𝐸 يتناسب مع ثلاثة مقسومًا على ثمانية.
نقول ذلك لأن هذا المقدار يساوي 𝜇 صفر في 𝐼 مقسومًا على 𝜋 في 𝑟 مضروبًا في ثلاثة أثمان. وفي هذا التعبير، يعد هذا العامل الأولي بالكامل أمام سالب ثلاثة أثمان ثابتًا. إذن، نكتب الآتي: مقدار كثافة الفيض المغناطيسي الكلية عند النقطة 𝐸 يساوي ثابتًا — سنرمز إليه بحرف 𝑘 — مضروبًا في ثلاثة أثمان. رياضيًّا، هذا التعبير له نفس دلالة التعبير السابق. بعد كل ما ذكرناه، سنسجل هذه المعلومة المهمة عن كثافة الفيض المغناطيسي الكلية عند النقطة 𝐸 بهذه الطريقة.
الآن بعد أن تناولنا النقطة 𝐸 في الشكل الذي لدينا، دعونا نفعل الشيء نفسه بالنسبة إلى النقطة 𝐷. مرة أخرى، كثافة الفيض المغناطيسي الكلية عند هذه النقطة ناتجة عن المجال المغناطيسي المتولد عن الموصلين الأيسر والأيمن. تقع النقطة 𝐷 عند نقطة الأصل لهذين المحورين؛ ومن ثم، فإنها على المسافة نفسها من كل من هذين الموصلين، وهذه المسافة، كما نرى، تساوي 1.5𝑟. الموصل الذي على اليسار، نظرًا لأن مجاله المغناطيسي في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، سيولد مجالًا مغناطيسيًّا موجبًا عند النقطة 𝐷، أما الموصل الذي على اليمين، ومجاله المغناطيسي في اتجاه دوران عقارب الساعة، فسيولد أيضًا مجالًا مغناطيسيًّا يشير لأعلى أو موجبًا عند هذه النقطة.
الآن، لاحظ أن المجالين المغناطيسيين المتولدين عن هذين الموصلين يضيف أحدهما إلى الآخر بدلًا من أن يطرح أحدهما من الآخر. إذن، نكتب كثافة الفيض المغناطيسي الكلية بهذه الطريقة. مرة أخرى، نستخدم الصيغة الأساسية: 𝜇 صفر في 𝐼 مقسومًا على اثنين في 𝜋 في المسافة العمودية بين الموصل والنقطة التي تعنينا.
هذه المسافة العمودية في حالة أي موصل من الموصلين هي واحد ونصف أو ثلاثة أنصاف 𝑟. هذا لأن النقطة 𝐷 تقع مباشرة بين الحلقتين المتحدتي المركز الأولى والثانية بالنسبة إلى كل موصل من هذين الموصلين. قبل جمع هذين الحدين، لاحظ أن النصف يحذف من المقام مع العامل اثنين. إذن، عندما نجمع هذين الحدين معًا، نحصل على اثنين في 𝜇 صفر في 𝐼 مقسومًا على 𝜋 في ثلاثة 𝑟. في هذا التعبير، نتعامل مع 𝜇 صفر في 𝐼 مقسومًا على 𝜋 في 𝑟 بوصفه ثابتًا. إذن، لدينا هذه القيمة الثابتة مضروبة في ثلثين. والثلثان هما المعلومة المهمة التي نريد الاحتفاظ بها فيما يتعلق بكثافة الفيض المغناطيسي عند النقطة 𝐷. لهذا، سنكتب الآتي: مقدار كثافة الفيض المغناطيسي الكلية عند النقطة 𝐷 يتناسب مع ثلثين.
لدينا الآن طريقة للمقارنة بين مقداري كثافة الفيض المغناطيسي الكلية عند النقطة 𝐷 والنقطة 𝐸. ونريد أن نفعل هذا مع النقاط الخمس التي لدينا كلها؛ لذا، دعونا ننتقل الآن إلى النقطة 𝐶 في الشكل. مرة أخرى، المجال المغناطيسي الناتج عن كل من الموصلين اللذين يمر بهما تيار يشير لأعلى أو في الاتجاه الموجب عند هذه النقطة. وإذا عددنا الحلقات المتحدة المركز بين الموصل الذي على اليسار والنقطة 𝐶، فسنعد حلقة واحدة. إذن، المسافة الكلية بينهما هي 𝑟، بينما إذا فعلنا الشيء نفسه بالنسبة إلى الموصل الذي على اليمين، فسنعد حلقتين. إذن، المسافة الكلية بين النقطة 𝐶 والموصل الذي على اليمين تساوي اثنين في 𝑟.
إذا أخذنا الثابت 𝜇 صفر في 𝐼 مقسومًا على 𝜋 في 𝑟 عاملًا مشتركًا من هذين الحدين، يصبح لدينا داخل القوسين نصف زائد ربع. نصف مضروبًا في اثنين مقسومًا على اثنين يساوي اثنين مقسومًا على أربعة. وربعان زائد ربع يساوي ثلاثة أرباع. إذن سنكتب الآتي: مقدار كثافة الفيض المغناطيسي الكلية عند النقطة 𝐶 يتناسب مع ثلاثة أرباع.
الآن، دعونا نتناول النقطة 𝐵. ونلاحظ أن هذه النقطة لا تقع بالضبط على محيط أي من الحلقات المتحدة المركز في الشكل. لكنها قريبة جدًّا من هذه الحلقة المتحدة المركز. لهذا السبب، سنقول إن المجال المغناطيسي عند النقطة 𝐵 يساوي تقريبًا المجال المغناطيسي عند نقطة تقع على محيط هذه الحلقة. المجال المغناطيسي عند النقطة 𝐵، الناتج عن الموصل الذي على اليسار، يشير لأسفل، بينما المجال المغناطيسي عند هذه النقطة، الناتج عن الموصل الذي على اليمين، يشير لأعلى. إذن، فإن قيمة المجال المغناطيسي عند النقطة 𝐵 — أي 𝐵 L — الناتج في هذه الحالة عن الموصل الذي على اليسار، ستكون سالبة، والمسافة التي سنستخدمها ستكون اثنين في 𝑟. مرة أخرى، هذه مسافة تقريبية قريبة للغاية من موضع النقطة 𝐵 في الواقع.
لنعرف المسافة التي نستخدمها بالنسبة إلى المجال المغناطيسي الناتج عن الموصل الذي على اليمين، نعد الحلقات من هذا الموصل. نعد أربع حلقات، وهي أقصى مسافة يمكن أن تبعدها النقطة عن الموصل الذي على اليمين. لكن بعد ذلك نلاحظ أن هناك مسافة حلقة واحدة إلى الخارج حيث تقع النقطة 𝐵 تقريبيًّا. إذن، لإيجاد قيمة 𝐵 R، سنكتب الآتي: 𝜇 صفر في 𝐼 مقسومًا على اثنين 𝜋 في خمسة في 𝑟.
كالمعتاد، بأخذ 𝜇 صفر في 𝐼 مقسومًا على 𝜋 في 𝑟 عاملًا مشتركًا، يصبح لدينا سالب ربع زائد عشر. إذا ضربنا سالب ربع في خمسة مقسومًا على خمسة، وعشرًا في اثنين مقسومًا على اثنين، نحصل على سالب خمسة على 20 زائد اثنين على 20. وهو ما يساوي سالب ثلاثة على 20. هذه القيمة الموجودة بين القوسين هي القيمة التي تعنينا بالنسبة إلى كثافة الفيض المغناطيسي عند النقطة 𝐵. إذن، سنكتب الآتي: مقدار كثافة الفيض المغناطيسي الكلية عند النقطة 𝐵 يتناسب مع ثلاثة على 20.
الخطوة الأخيرة هي اتباع العملية نفسها بالنسبة إلى المجال المغناطيسي عند النقطة 𝐴. لاحظ أن النقطة 𝐴 — مثل النقطة 𝐵 — لا تقع بالضبط على محيط إحدى الحلقات المتحدة المركز. لكنها قريبة جدًّا من الحلقة الثالثة إلى الخارج من الموصل الذي على اليسار. سنقرب النقطة 𝐴 باعتبارها تقع عند هذه النقطة. سيولد الموصل الذي على اليسار مجالًا مغناطيسيًّا لأسفل أو سالبًا عند هذه النقطة، بينما سيولد الموصل الذي على اليمين مجالًا مغناطيسيًّا موجبًا أو لأعلى. عند النقطة 𝐴، المجال المغناطيسي الناتج عن الموصل الذي على اليسار يساوي تقريبًا سالب 𝜇 صفر في 𝐼 مقسومًا على اثنين 𝜋 في ثلاثة 𝑟.
من ناحية أخرى، المسافة من الموصل الذي على اليمين تساوي أربع حلقات متحدة المركز زائد حلقتين أخريين متحدتي المركز. هذا يعطينا مسافة تقريبية كلية تساوي ستة 𝑟 بين النقطة 𝐴 والموصل الذي على اليمين. بأخذ 𝜇 صفر في 𝐼 مقسومًا على 𝜋 في 𝑟 عاملًا مشتركًا، نحصل بين القوسين على سالب سدس زائد واحد على 12. سالب سدس في اثنين مقسومًا على اثنين يساوي سالب اثنين على 12. وسالب اثنين على 12 زائد واحد على 12 يساوي سالب واحد على 12. إذن، هكذا نكتب مقدار كثافة الفيض المغناطيسي الكلية عند النقطة 𝐴. إنه يتناسب مع واحد على 12. كما سبق بالضبط، تعاملنا هنا مع 𝜇 صفر في 𝐼 مقسومًا على 𝜋 في 𝑟 بوصفه ثابتًا.
لدينا الآن كل المعلومات اللازمة للمقارنة بين مقادير كثافة الفيض المغناطيسي الكلية عند كل نقطة من النقاط الخمس. سنبدأ بإيجاد أكبر قيمة من القيم الخمس التي بداخل المربعات المرسومة باللون البرتقالي. بالنظر إلى الاختيارات كلها، نلاحظ أن أكبر قيمة هي ثلاثة أرباع. هذا يعني أنه وفقًا لترتيب مقادير كثافة الفيض المغناطيسي الكلية، تأتي النقطة 𝐶 في المرتبة الأولى. وكما هو واضح، هناك خيار إجابة واحد فقط على هذا النحو. للتأكد فقط من صحة الخيار ج، دعونا نقارن النقاط المتبقية. بعد ثلاثة أرباع، أكبر قيمة من القيم التي بداخل المربعات المرسومة باللون البرتقالي هي ثلثان. هذا يناظر النقطة 𝐷، وهو ما يتفق مع ترتيب النقاط في خيار الإجابة ج.
بعد ذلك، أكبر قيمة هي ثلاثة أثمان. وهي القيمة المناظرة للنقطة 𝐸، التي نراها أيضًا في الترتيب التالي في خيار الإجابة هذا. بعد ذلك، أكبر قيمة هي ثلاثة على 20 يليها واحد على 12. وهما القيمتان المناظرتان للنقطتين 𝐵 و𝐴، على الترتيب. إذن، فإن خيار الإجابة ج صحيح. وفقًا لمقدار كثافة الفيض المغناطيسي الكلية عند كل نقطة من هذه النقاط الخمس، النقطة 𝐶 لها أكبر قيمة، تليها النقطة 𝐷، ثم النقطة 𝐸، ثم النقطة 𝐵، وأخيرًا النقطة 𝐴.
