فيديو السؤال: استخدام العمليات الحسابية على المصفوفات لإيجاد قيمة مقدار جبري معطى يتضمن مصفوفة الوحدة الرياضيات

إذا كان ﺃ = [−٥‎، −٦‎، ٥‎، ٠]، فأوجد ﺃ^٢ + ٥ﺃ + 𝐼٣٠.

٠٦:٥٥

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت المصفوفة ﺃ تساوي سالب خمسة، سالب ستة، خمسة، صفرًا، فأوجد ﺃ تربيع زائد خمسة ﺃ زائد 𝐼٣٠.

لحل هذه المسألة، ما سنفعله هو التعامل مع كل جزء على حدة؛ أي ﺃ تربيع وخمسة ﺃ و𝐼٣٠. حسنًا، أول ما سنتناوله سريعًا هو 𝐼؛ لأنك قد تتساءل: «ما هي 𝐼؟» ‏𝐼 هي مصفوفة الوحدة. ومصفوفة الوحدة هي مصفوفة مربعة؛ إذ إن جميع العناصر فيها تساوي صفرًا باستثناء العناصر التي في القطر الرئيسي، فهي تساوي واحدًا. بما أننا ننظر إلى مصفوفتين رتبتهما اثنان في اثنين، إذن هذا يعطينا مصفوفة الوحدة: واحدًا، صفرًا، صفرًا، واحدًا.

حسنًا، لقد أصبحنا الآن نعرف 𝐼، أي مصفوفة الوحدة. والآن، ننظر إلى ﺃ تربيع؛ حيث سنوجد قيمة ﺃ تربيع بضرب المصفوفة: سالب خمسة، سالب ستة، خمسة، صفر في المصفوفة: سالب خمسة، سالب ستة، خمسة، صفر. أولًا، نحن نعلم أن مصفوفة النواتج رتبتها اثنان في اثنين. وذلك لأننا إذا ضربنا مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين في أخرى رتبتها اثنان في اثنين، فإن مصفوفة النواتج، كما ذكرنا، ستكون رتبتها اثنين في اثنين أيضًا.

والآن، لإيجاد العنصر الأول، نضرب العنصر الأول في الصف الأول من المصفوفة الأولى في العنصر الأول في العمود الأول من المصفوفة الثانية. وبعد ذلك، نضيف ذلك إلى العنصر الثاني في الصف الأول من المصفوفة الأولى مضروبًا في العنصر الثاني في العمود الأول من المصفوفة الثانية، وهو ما يعطينا سالب خمسة مضروبًا في سالب خمسة زائد سالب ستة مضروبًا في خمسة، وهو ما يعطينا ٢٥ ناقص ٣٠. ثم، في العنصر التالي، نضرب عنصري الصف الأول في المصفوفة الأولى في العنصرين المناظرين لهما في العمود الثاني في المصفوفة الثانية، ثم نجمع النواتج معًا. وهذا يعطينا سالب خمسة مضروبًا في سالب ستة زائد سالب ستة مضروبًا في صفر، وهو ما يعطينا ٣٠ زائد صفر.

وبتكرار هذه الطريقة مع العنصر التالي، نحصل على خمسة مضروبًا في سالب خمسة زائد صفر مضروبًا في خمسة، وهو ما يساوي سالب ٢٥ زائد صفر. وأخيرًا، لدينا خمسة مضروبًا في سالب ستة زائد صفر مضروبًا في صفر، وهو ما يعطينا سالب ٣٠ زائد صفر. والآن، يمكننا تبسيط ذلك. عندما نفعل ذلك، نحصل على المصفوفة: سالب خمسة، ٣٠، سالب ٢٥، سالب ٣٠. حسنًا. بهذا نكون قد أوجدنا مصفوفة ﺃ تربيع.

والآن، ما سنفعله هو إلقاء نظرة على خمسة ﺃ. لإيجاد خمسة ﺃ، هذا سيكون أكثر سهولة؛ لأن ما علينا فعله هنا عند ضرب مصفوفة في عدد ثابت هو ضرب كل عنصر داخل المصفوفة في قيمة الثابت، وهو خمسة في هذه الحالة. وبذلك يصبح لدينا خمسة مضروبًا في المصفوفة: سالب خمسة، سالب ستة، خمسة، صفر. وعندما نفعل ذلك، سنحصل على المصفوفة: سالب ٢٥، سالب ٣٠، ٢٥، صفر.

والآن، ننتقل إلى حساب 𝐼٣٠. ومرة أخرى، لدينا كمية قياسية مضروبة في المصفوفة، أي ٣٠ مضروبًا في المصفوفة: واحد، صفر، صفر، واحد؛ وهي مصفوفة الوحدة، وذلك يعطينا المصفوفة: ٣٠، صفرًا، صفرًا، ٣٠. حسنًا، رائع. علينا الآن إيجاد قيمة ﺃ تربيع زائد خمسة ﺃ زائد 𝐼٣٠. وإذا نظرنا إلى ﺃ تربيع زائد خمسة ﺃ زائد 𝐼٣٠، فإن هذا سيساوي المصفوفة: سالب خمسة، ٣٠، سالب ٢٥، سالب ٣٠ زائد المصفوفة: سالب ٢٥، سالب ٣٠، ٢٥، صفر زائد المصفوفة: ٣٠، صفر، صفر، ٣٠.

ومن ثم، إذا أردنا جمع المصفوفات الثلاث، فإن ما علينا فعله هو جمع العناصر المتناظرة في كل مصفوفة. العنصر الأول لدينا سيكون سالب خمسة زائد سالب ٢٥ زائد ٣٠. والعنصر التالي سيكون ٣٠ زائد سالب ٣٠ زائد صفر. وبالاستمرار بالطريقة نفسها، فإن العنصرين التاليين سيكونان سالب ٢٥ زائد ٢٥ زائد صفر، وسالب ٣٠ زائد صفر زائد ٣٠.

والآن، ما علينا فعله هو حساب كل عنصر على حدة. أولًا، سالب خمسة زائد سالب ٢٥ يساوي سالب ٣٠، وبجمعه مع ٣٠ سيساوي صفرًا. بعد ذلك، إذا انتقلنا إلى العنصر التالي، فإن ٣٠ زائد سالب ٣٠ يساوي صفرًا زائد صفر يساوي صفرًا. وبالانتقال إلى الصف السفلي، لدينا سالب ٢٥ زائد ٢٥، وهو ما يساوي صفرًا زائد صفر يساوي صفرًا، وأخيرًا سالب ٣٠ زائد صفر زائد ٣٠، وهو يساوي صفرًا أيضًا.

إذن، يمكننا القول إنه إذا كانت المصفوفة ﺃ تساوي سالب خمسة، سالب ستة، خمسة، صفرًا، فإن ﺃ تربيع زائد خمسة ﺃ زائد 𝐼٣٠ هي المصفوفة: صفر، صفر، صفر، صفر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.