فيديو: عدم الاتصال النُّقَطي للدوالّ النسبية

يوضِّح الفيديو الصورة العامة للدوالّ النسبية، ومتى يحدث عدم اتصال نقطي للدوالّ النسبية، ومراجعة خطوات التمثيل البياني للدوالّ النسبية، مع حل أمثلة توضيحية.

١٦:٣٨

‏نسخة الفيديو النصية

عدم الاتصال النُّقَطي للدوالّ النسبية.

في الفيديو ده، مع بعض هنتكلّم عن الدوالّ النسبية. هنراجعها سريعًا الصورة العامَّة للدوالّ النسبية. بعد كده هنتكلّم عن عدم الاتصال النُّقَطي للدوالّ النسبية، وإمتى بيحصل. وبعد كده هنراجع خطوات التمثيل البياني للدوالّ النسبية، ونحلّ مثال عليه، وعلى عدم الاتصال النُّقَطي.

خلّينا كده أول حاجة، مع بعض نراجع الصورة العامَّة للدوالّ النسبية. الدوالّ النسبية عندنا بتكون على الصورة د س تساوي أ س على ب س. حيث أ س وَ ب س كثيرتا حدود، وَ ب س لا تساوي صفر. بعد كده خلّينا نشوف عدم الاتصال النُّقَطي للدوالّ النسبية بيحصل إمتى. لو جينا نشوف عدم الاتصال النُّقَطي للدوالّ النسبية. بنلاقي عندنا إذا كان س ناقص ج عاملًا مشتركًا بين أ س وَ ب س، زيّ ما إحنا شايفين؛ أ س، وَ ب س. فإنه توجد نقطة انفصال عند س تساوي ج.

لو جينا نشوف مثال على عدم الاتصال النُّقَطي ده. مثال عندنا: د س دالة نسبية، بسطها عبارة عن س زائد اتنين، في س زائد واحد، على س زائد واحد. تمّ اختصار س زائد واحد مع س زائد واحد في البسط والمقام. لقينا إن الدالة في الآخر تساوي س زائد اتنين. بس لازم نكتب كده: حيث س لا تساوي سالب واحد؛ لأن الدالة ليست معرَّفة عند س تساوي سالب واحد.

لو جينا نشوف التمثيل البياني ليها، زيّ ما واضح كده معانا. زيّ ما إحنا شايفين كده، الدالة عبارة عن خطّ مستقيم. بس بنلاحظ إن فيه نقطة عدم اتصال. وده بيحصل عند س تساوي سالب واحد. النوع ده من عدم الاتصال بنسمّيه عدم الاتصال النُّقَطي. ناخد بالنا من حاجة؛ أنه يمكن إزالة عدم الاتصال النُّقَطي بإعادة تعريف الدالة. بينما أنواع عدم الاتصال الأخرى لا يمكن إزالتها. يعني النوع ده ممكن نعيد تعريف الدالة؛ مثلًا في المثال بتاعنا عند س تساوي سالب واحد. وبكده بتصبح الدالة متصلة. فبكده عدم الاتصال النُّقَطي يمكن إزالته، إنما فيه أنواع أخرى لا يمكن إزالتها. ده الوحيد اللي يمكن إزالته.

لو جينا نفتكر مع بعض إيه اللي إحنا محتاجينه؛ عشان نقدر نمثِّل الدوالّ النسبية بيانيًّا. فإحنا بنحتاج خطوط التقارب. لازم نحدِّد خطوط التقارب للدالة النسبية؛ عشان يسهل لنا الحلّ. فخلّينا نراجع مع بعض إزاي نقدر نحدِّد خطوط التقارب للدالة النسبية. بعد كده هنراجع مع بعض برضو التمثيل البياني للدوالّ النسبية؛ إيه هي خطواته.

خلّينا نفتح صفحة جديدة كده. بنراجع مع بعض الخطوط التقاربية الرأسية والأفقية للدالة النسبية. لو كانت د س تساوي أ س على ب س، حيث ب س لا تساوي صفر، كانت دالة نسبية. وكان أ س وَ ب س كثيرتا حدود، لا يوجد بينهما عوامل مشتركة غير الموجب والسالب واحد. فإن للدالة، أول حاجة خطوط تقاربية رأسية عند أصفار ب س. يعني عند أصفار مقام الدالة النسبية. لو جينا نشوف بقى الخطوط التقاربية الأفقية للدالة النسبية، بنلاقي عندنا فيه خطّ تقاربي أفقي واحد على الأكثر. يبقى يا إمّا ما فيش خطوط تقاربية أفقية خالص، يا إمّا فيه واحد فقط.

فبنقول عندنا: إذا كانت درجة أ س أقل من درجة ب س، يعني درجة البسط أقل من درجة المقام، فيكون ص يساوي صفر خطّ تقاربي أفقي. وإذا كانت درجة أ س تساوي درجة ب س، فإن خطّ التقارب الأفقي هو المستقيم الذي معادلته المعامل الرئيسي لـ أ س على المعامل الرئيسي لـ ب س. المعامل الرئيسي يعني معامل أكبر قوى للدالة. يبقى المعامل الرئيسي لـ أ س هو معامل أكبر قوى للدالة أ س، اللي هي بسط الدالة النسبية.

خلّونا نكمّل كده مع بعض الخطوط التقاربية في صفحة جديدة. بنكمّل مع بعض: إذا كانت درجة أ س أكبر من درجة ب س. طبعًا أ س بسط الدالة النسبية، ب س مقام الدالة النسبية. لا يوجد خطوط تقاربية أفقية للدالة النسبية.

بعد كده خلّونا نتكلّم عن خطوات التمثيل البياني للدوالّ النسبية. نفتح صفحة جديدة مع بعض ونكمّل. بنراجع مع بعض سريعًا خطوات التمثيل البياني للدوالّ النسبية. أول حاجة: بنحدِّد المجال. بعد كده: تحديد ورسم الخطوط التقاربية إن وُجِدت. تالت حاجة: تحديد تقاطعات الدالة مع المحاور؛ مع محور السينات، ومع محور الصادات. خطوة رقم أربعة: تقسيم محور السينات إلى فترات باستخدام تقاطعات الدالة مع محور السينات والخطوط التقاربية الرأسية. آخر خطوة: نوجد نقطة واحدة على الأقل داخل كل فترة مِ الفترات اللي قسّمنا ليها محور السينات، ثم تحديدها بيانيًّا ورسم الدالة.

يبقى حتى الآن إحنا راجعنا الصورة العامة للدوالّ النسبية. بعد كده اتكلّمنا عن عدم الاتصال النُّقَطي للدوالّ النسبية. بعد كده راجعنا إزاي نقدر نحدّد الخطوط التقاربية للدالة النسبية. وشُفنا دلوقتي خطوات التمثيل البياني للدوالّ النسبية.

خلّونا نطبّق كل اللي قلناه ده بقى على مثال. نفتح صفحة جديدة كده، ونحلّ مثال مع بعض. المثال بيقول: حدِّد الخطوط التقاربية الرأسية والأفقية، ونقطة الانفصال للدالة التالية، وتقاطعها مع المحاور. وحدِّد مجالها، ثم ارسمها.

الدالة هي د س تساوي س تربيع ناقص أربعة؛ على س تربيع، ناقص اتنين س، ناقص تمنية. زيّ ما إحنا شايفين البسط كثيرة حدود، والمقام كثيرة حدود. وبالتالي الدالة اللي عندنا هي دالة نسبية. أول حاجة هنعملها، زيّ ما إحنا شايفين كده، إن البسط ممكن تحليله إلى أقواس. وبنلاقي إن المقام يمكن تحليله إلى أقواس. وبكده ممكن نعرف إذا كان فيه عامل مشترك بين البسط والمقام ولّا لأ، بعد تحليل البسط والمقام. فخلّينا نشوف كده تحليلهم هيكون شكله إيه. وهل فعلًا فيه عامل مشترك بينهم ولّا لأ.

تمّ تحليل البسط، زيّ ما إحنا شايفين، إلى قوسين؛ س ناقص اتنين في س زائد اتنين. لأنه عبارة عن فرق بين مربعين. وتمّ تحليل المقام إلى قوسين؛ س ناقص أربعة في س زائد اتنين. بنلاحظ عندنا إن فيه فعلًا عامل مشترك بين البسط والمقام، وهو س زائد اتنين. بيتمّ اختصارهم مع بعض. وبكده بنلاقي إن د س هتكون عبارة عن … بنلاقي إن د س هتكون عبارة عن س ناقص اتنين على س ناقص أربعة، حيث س لا تساوي سالب اتنين. وبكده بنقول فعلًا: إن فيه نقطة انفصال عند س تساوي سالب اتنين. خلّينا نحدِّد نقطة الانفصال دي. لو جينا نشوف نقطة الانفصال، فهي عند س تساوي سالب اتنين.

وبالتالي رُحنا عوَّضنا في الدالة عن س بسالب اتنين. زيّ ما إحنا شايفين، آدي د س عندنا. عوَّضنا عن س بسالب اتنين، وعوَّضنا عن س بسالب اتنين فوق وتحت. وبالتالي د سالب اتنين تساوي سالب اتنين ناقص اتنين، على سالب اتنين ناقص أربعة. وبالتالي بتساوي سالب أربعة على سالب ستة. بعد ما نختصر البسط مع المقام، بنلاقي عندنا إن د سالب اتنين تساوي اتنين على التلاتة. وبكده بنلاقي إن نقطة الانفصال عندنا هي النقطة سالب اتنين، واتنين على التلاتة.

بعد كده، هنجيب مجال الدالة النسبية اللي قدامنا. فخلّينا نكمّل في صفحة جديدة. بنكمّل مع بعض الدالة بتاعتنا: د س تساوي س ناقص اتنين على س ناقص أربعة، حيث س لا تساوي سالب اتنين. لو جينا نشوف مجال هذه الدالة، فلازم أول حاجة نحدِّد أصفار المقام، وهي هتكون القيم المستثناة من المجال، فلازم نحدِّدها أول حاجة. طبعًا أصفار المقام، المقام عندنا س ناقص أربعة. فبنساوي المقام بالصفر، زيّ ما إحنا شايفين. س ناقص أربعة يساوي صفر. بنشوف قيم س اللي بتحقَّق هذه المعادلة. بنلاقي إن هي قيمة واحدة، وهي س تساوي أربعة. يبقى أصفار المقام عندنا س تساوي أربعة.

وبكده نقدر نقول: إن المجال هيكون … المجال هيكون جميع قيم س الحقيقية ما عدا س تساوي أربعة، اللي هي أصفار المقام. وحاجة كمان؛ س تساوي سالب اتنين. يبقى ما ينفعش س تساوي أربعة، ولا س تساوي سالب اتنين. إشمعنى سالب اتنين؟ إحنا كتبنا فوق في الأول في تعريف الدالة إن س ما ينفعش تساوي سالب اتنين. وبكده هنستثني القيمة دي مِ المجال بتاعنا.

خلّونا نكمّل بعد كده، ونشوف الخطوط التقاربية لهذه الدالة. لو جينا نشوف الخطوط التقاربية عندنا، بنلاقي إن فيه خطّ تقاربي رأسي عند س تساوي أربعة. لأن س تساوي أربعة عبارة عن أصفار المقام عندنا. لو جينا نشوف الخطّ التقاربي الأفقي، فبنلاقي عندنا إن درجة البسط تساوي درجة المقام، زيّ ما إحنا شايفين كده. البسط كثيرة حدود من الدرجة الأولى، والمقام كثيرة حدود من الدرجة الأولى برضو. وبكده بنقول: إن معادلة الخطّ التقاربي الأفقي: ص تساوي المعامل الرئيسي لدالة البسط، وهو عندنا بواحد. على المعامل الرئيسي لدالة المقام، وهو برضو بواحد. وبالتالي معادلة الخطّ التقاربي الأفقي تساوي ص تساوي واحد على واحد، زيّ ما إحنا شايفين. أو بنقول: ص تساوي واحد.

بعد كده خلّونا نشوف التقاطع مع المحاور لهذه الدالة النسبية. أول حاجة هنشوفها مع بعض التقاطع مع محور السينات عندنا. فبنقدر نعرف التقاطع الدالة مع محور السينات عن طريق أصفار الدالة؛ أي أصفار البسط. والبسط عندنا، زيّ ما إحنا شايفين كده، عبارة عن س ناقص اتنين. فساوينا س ناقص اتنين بالصفر. وبكده لقينا إن التقاطع مع محور السينات عند س تساوي اتنين.

خلّونا نكمّل مع بعض صفحة جديدة كده، ونشوف تقاطع الدالة اللي قدامنا مع محور الصادات. بنكمّل مع بعض: د س تساوي س ناقص اتنين على س ناقص أربعة، حيث س لا تساوي سالب اتنين. بنكمّل ونشوف تقاطع الدالة مع محور الصادات. والتقاطع بيكون مع محور الصادات عبارة عن قيم الدالة عند س تساوي صفر. فعوّضنا في الدالة بتاعتنا عن كل س بصفر، لقينا إن د صفر بتساوي سالب اتنين على سالب أربعة. اختصرنا البسط مع المقام، لقينا إن د صفر تساوي واحد على الاتنين، أو نصّ. وبكده تقاطع هذه الدالة مع محور الصادات بيكون عند نصّ.

الخطوة اللي بعد كده في خطوات التمثيل البياني للدوالّ النسبية. وهو إننا بنقسّم محور السينات إلى فترات، بناءً على خطوط التقارب الرأسية وتقاطع الدالة مع محور السينات. خلّينا نشوف كده مع بعض. لو جينا نشوف تقسيم محور السينات إلى فترات، فبنلاقي عندنا إن فيه خطّ تقاربي رأسي عند س تساوي أربعة. وبنلاقي عندنا إن الدالة بتتقاطع مع محور السينات عند س تساوي اتنين. وبكده آدي محور السينات عندنا، زيّ ما إحنا شايفين. حطّينا القيم دي على محور السينات، اللي هي اتنين وأربعة. وبكده لقينا إن محور السينات اتقسّم إلى تلات فترات، زيّ ما إحنا شايفين كده.

بعد كده، بنوجد نقطة داخل كل فترة. وده بإننا بنختار قيمة للـ س من داخل كل فترة على محور السينات. ونبدأ نعوّض بالقيمة دي في الدالة؛ عشان نقدر نحصل على نقطة داخل كل دالة. خلّينا نشوف كده القيم اللي هنختارها. من الجدول اللي إحنا شايفينه قدامنا ده، آدي س، وآدي د س. اخترنا سالب أربعة وصفر من أول الفترة، اللي إحنا شايفينها على الشمال دي. واخترنا تلاتة من الفترة اللي في النصّ. واخترنا خمسة من الفترة اللي على اليمين. وبدأنا نعوّض في الدالة بتاعتنا، اللي إحنا شايفينها هنا دي. وبدأنا نجيب قيم الدالة عند قيم س المختلفة دي. وبكده يبقى إحنا أوجدنا على الأقل نقطة داخل كل فترة من الفترات اللي تمّ تقسيم ليها محور السينات. باستخدام الخطوط التقاربية، وباستخدام التقاطع مع محور السينات.

بعد كده، كل اللي عرفناه عن الدالة بتاعتنا هنجمّعه كله. ونكتبه مع بعض في صفحة جديدة كده؛ عشان نقدر نمثّل الدالة تمثيلًا بيانيًّا. هنفتح صفحة جديدة مع بعض. في الصفحة دي، مع بعض جمّعنا كل المعلومات اللي إحنا حصلنا عليها للدالة بتاعتنا؛ عشان نقدر نمثّل الدالة تمثيلًا بيانيًّا. وأوجدنا كل المطلوب مننا.

خلّينا نكمّل كده مع بعض، ونشوف إيه اللي إحنا حصلنا عليه. د س عندنا تساوي س ناقص اتنين على س ناقص أربعة؛ حيث س لا تساوي سالب اتنين. لقينا إن نقطة الانفصال عندنا هي عبارة عن سالب اتنين واتنين عَ التلاتة. عرفنا إن المجال عندنا عبارة عن جميع قيم س الحقيقية ما عدا س تساوي المجموعة أربعة واتنين. لقينا إن فيه خطّ تقارب رأسي عند س تساوي أربعة، وخطّ تقاربي أفقي عند ص تساوي واحد. بعد كده شُفنا تقاطع الدالة مع المحاور. فلقيناها بتتقاطع مع محور السينات عند س تساوي اتنين، ومع محور الصادات عند نصّ. د صفر تساوي نصّ.

باستخدام المعلومات دي، وباستخدام الجدول اللي إحنا عملناه في الصفحة اللي فاتت، زيّ ما إحنا شايفين كده. مثِّلنا الدالة تمثيلًا بيانيًّا، زيّ ما واضح قدامنا. أول حاجة نقطة الانفصال عندنا، زيّ ما إحنا شايفين كده. دي نقطة الانفصال عندنا. وهي عند سالب اتنين، زيّ ما مكتوب كده. فيه نقطة انفصال. الدالة غير متصلة هنا. وعدم الاتصال ده هو عدم اتصال نقطي. عند النقطة سالب اتنين واتنين على التلاتة.

بعد كده بنلاقي عندنا فيه خطّ تقاربي رأسي عند س تساوي أربعة، أهو زيّ ما إحنا شايفين. ولقينا إن فيه خطّ تقاربي أفقي عند ص تساوي واحد، زيّ ما إحنا شايفين كده برضو. مرسوم أهو. ولو شُفنا التقاطع مع المحاور، فهنلاقي فعلًا إنها بتتقاطع مع محور السينات عند س تساوي اتنين. س تساوي اتنين هنا. وبتتقاطع مع محور الصادات عند النصّ، زيّ ما إحنا شايفين في النقطة دي كده. أهي؛ صفر. فلمّا عوَّضنا عن س بصفر لقينا قيمة الدالة بنصّ. وباقي النقط دي هي النقط اللي إحنا عوّضنا بيها في الجدول بتاعنا اللي إحنا شايفينه كده. عشان نقدر نمثِّل الدالة تمثيلًا بيانيًّا صحيحًا.

يبقى في الفيديو ده مع بعض، إحنا راجعنا على الصورة العامَّة للدوالّ النسبية. بعد كده اتكلّمنا عن عدم الاتصال النُّقَطي أو نقطة الانفصال للدوالّ النسبية. وراجعنا الخطوط التقاربية للدوالّ النسبية؛ إزاي نقدر نحدّدها. وكمان راجعنا خطوات التمثيل البياني للدوالّ النسبية. وحلِّينا مثال، زيّ ما إحنا شايفين كده، على دالة نسبية يوجد بها نقطة انفصال. وقدرنا فعلًا نجمّع كل المعلومات عنها باستخدام خطوات الحل. وقدرنا نمثِّلها في الآخر تمثيلًا بيانيًّا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.