فيديو الدرس: قانون جيوب التمام الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتناول المبدأ العام الذي يستند إليه قانون جيوب التمام لنتأكد من قدرتنا على تطبيقه عندما تختلف الأحرف المعطاة في السؤال عن الأحرف الواردة في الصيغة القياسية لقانون جيوب التمام. سنتناول هيكل قانون جيوب التمام ونتعرف على كيفية تحديد أي القيم المعطاة في سؤال أو شكل ما يجب التعويض بها في أجزاء الصيغة.

هذا هو قانون جيوب التمام كما يرد ذكره عادة في الكتب المدرسية أو الصيغ. في أغلب الأحيان، يكون لدينا مثلث رءوسه الثلاثة هي ﺃ وﺏ وﺟ. وتسمى أضلاعه الثلاثة ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة. ودائمًا ما يكون الضلع ﺃ شرطة مقابلًا للزاوية ﺃ، والضلع ﺏ شرطة مقابلًا للزاوية ﺏ، والضلع ﺟ شرطة مقابلًا للزاوية ﺟ. يكتب قانون جيوب التمام على هذه الصورة. ‏ﺃ شرطة تربيع يساوي ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع ناقص اثنين ﺏ شرطة ﺟ شرطة جتا ﺃ.

يمكنك قانون جيوب التمام من حساب طول الضلع ﺃ شرطة إذا كنت تعرف طولي الضلعين ﺏ شرطة وﺟ شرطة وقياس الزاوية ﺃ. سيكون أمرًا رائعًا إذا كان المثلث المعطى مكتوبًا بهذه الطريقة بالضبط، وإذا كان لديك أيضًا المعطيات المناسبة. لكن ماذا لو أردت حساب طول الضلع ﺏ شرطة؟ أو ماذا لو لم يكن المثلث يسمى ﺃﺏﺟ، بل يسمى ﻫﻭﺯ؟ أو ربما لا يرد في المعطيات أي اسم للمثلث على الإطلاق، ويكون لدينا بعض الأطوال وقياسات بعض الزوايا فيه.

علينا أن نتناول الهيكل العام الذي يستند إليه قانون جيوب التمام حتى نتمكن من تطبيقه على أي من هذه السياقات المختلفة. إذن، نعود إلى هذه الصورة القياسية من قانون جيوب التمام، ونفكر فيما لدينا من معطيات. نريد حساب طول أحد الأضلاع. وفي الصورة القياسية، إنه طول الضلع ﺃ شرطة. المعطيات التي نحتاجها لكي نتمكن من حساب ذلك باستخدام قانون جيوب التمام هي طول الضلع ﺏ شرطة، وطول الضلع ﺟ شرطة، وقياس الزاوية ﺃ.

إنها مجموعة محددة للغاية من المعطيات في هذا المثلث. وتتمثل في ضلعين وزاوية محصورة. وهي الزاوية التي تقع بينهما. عندما تريد استخدام قانون جيوب التمام لحساب طول ضلع، فإنك تحتاج دائمًا إلى مجموعة المعطيات هذه نفسها. إذا نظرت إلى قانون جيوب التمام، فستجد أنه يطابق ذلك فيما يتعلق بكل من ﺏ شرطة وﺟ شرطة. فكلاهما مربعان ومجموعان معًا، كما يوجد كل منهما في الجزء الثاني؛ حيث نضرب في اثنين وكذلك في جتا ﺃ ونطرح ذلك. لذا، لا يهم أي الضلعين يسمى ﺏ شرطة وأيهما يسمى ﺟ شرطة؛ لأننا سنجري العمليات نفسها على كل منها.

يمكننا إذن أن نتجاهل تمامًا أسماء الأضلاع ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة، ونهتم فقط بالمواضع التي تظهر فيها الأضلاع والزوايا في قانون جيوب التمام. على سبيل المثال، نفترض أنه لدينا في هذا السؤال مجموعة المعطيات هذه. طولا الضلعين يساويان أربعة سنتيمترات و١٢ سنتيمترًا. وقياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي ٤٠ درجة. نريد حساب طول هذا الضلع الثالث المشار إليه بالحرف ﺱ.

لا يوجد في هذا الشكل أي من الأحرف ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة، ولكن دعونا نتناول كيفية كتابة قانون جيوب التمام لهذا السؤال. نحن نريد حساب قيمة ﺱ، لذا سنبدأ بـ ﺱ تربيع. يتضمن قانون جيوب التمام ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع. تذكر أن ﺏ شرطة وﺟ شرطة يمثلان الضلعين الآخرين فقط. إذن في هذا السؤال، سيكون لدينا أربعة تربيع و١٢ تربيع. علينا أن ننظر بعد ذلك إلى هذا الحد الثاني. وهو سالب اثنين مضروبًا في ﺏ شرطةﺟ شرطة أولًا. مرة أخرى، ﺏ شرطة وﺟ شرطة يمثلان الضلعين الآخرين. إذن، سيكون لدينا هنا أربعة و١٢.

وأخيرًا، علينا إيجاد قيمة جتا الزاوية ﺃ. مرة أخرى، لا يوجد أي حرف ﺃ في هذا المثلث. لكن هذه الزاوية هي الزاوية المقابلة للضلع الذي نريد إيجاد طوله، وهي الزاوية المحصورة بين هذين الضلعين. إذن، قياسها يساوي ٤٠ درجة. باستخدام هذه المعطيات، وكذلك مراعاة هيكل قانون جيوب التمام، تمكنا من كتابة ما سيكون عليه القانون في هذا المثلث تحديدًا دون الحاجة إلى استخدام الحرف ﺃ شرطة أو ﺏ شرطة أو ﺟ شرطة في أي موضع على الإطلاق.

لإكمال الإجابة، سنحل بقية هذا السؤال. بجمع أربعة تربيع و١٢ تربيع معًا، نحصل على ١٦٠. اثنان مضروبًا في أربعة مضروبًا في ١٢ يساوي ٩٦. إذن، لدينا ﺱ تربيع يساوي ١٦٠ ناقص ٩٦ جتا ٤٠. وعليه، فإن ﺱ تربيع يساوي ٨٦٫٤٥٩٧٣٣٤٦. إذا حسبنا الجذر التربيعي لكلا الطرفين، فسنحصل على ﺱ يساوي ٩٫٢٩٨٣٧٦. نقرب الناتج إلى أقرب منزلة عشرية. ومن ثم، نجد أن طول الضلع الأخير في هذا المثلث يساوي ٩٫٣ سنتيمترات.

تفيدنا الأحرف ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة في إيجاد الصورة التي تمكننا من كتابة قانون جيوب التمام، إلا أن مراعاة الهيكل الذي يستند إليه القانون هي ما يمكننا من تطبيقه بشكل عام.

احسب طول الضلع ﺏ شرطة، لأقرب جزء من مائة.

في هذا السؤال، سنستخدم قانون جيوب التمام. لذا، سنسترجعه باستخدام تعريفه القياسي في حال أردت البحث عنه في الكتاب المدرسي. التعريف موضح هنا. قد يكون الأمر محيرًا قليلًا في هذا السؤال، لأنه غير مطلوب منا حساب طول الضلع ﺃ شرطة، بل مطلوب منا حساب طول الضلع ﺏ شرطة. قد تفكر في إعادة ترتيب هذه الصيغة لكي تحصل على ما يساويه ﺏ شرطة تربيع.

إذا فعلت ذلك، فستحصل على ﺏ شرطة تربيع يساوي ﺃ شرطة تربيع ناقص ﺟ شرطة تربيع زائد اثنين ﺏ شرطةﺟ شرطة جتا ﺃ. وهنا تكمن المشكلة. سيتطلب منك هذا معرفة طولي الضلعين ﺃ شرطة وﺟ شرطة، ونحن نعرف طوليهما بالفعل. إنهما الضلعان المقابلان للزاويتين ﺃ وﺟ. وطول كل منهما يساوي تسعة سنتيمترات وخمسة سنتيمترات. لكن هناك معلومة أخرى علينا معرفتها، وهي قياس الزاوية ﺃ. بالنظر إلى الشكل، يمكننا ملاحظة أن قياس الزاوية ﺃ غير معطى لدينا. ولكن لدينا قياس الزاوية ﺏ.

إذن، لن تفيدنا إعادة ترتيب قانون جيوب التمام من هذه الصورة القياسية؛ لأنه ليس لدينا المعطيات المناسبة لكي نطبقه. بدلًا من ذلك، علينا كتابة نسخة خاصة من قانون جيوب التمام؛ حيث نغير ترتيب الأحرف حتى نتمكن من حساب طول الضلع ﺏ شرطة. هذه هي المعطيات لدينا، حيث يوجد طولا ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما، وهذا هو ما نحتاجه تحديدًا لاستخدام قانون جيوب التمام.

إذن، سنكتب قانون جيوب التمام مرة أخرى، لكن سنغير ترتيب الأحرف. نريد حساب طول الضلع ﺏ شرطة، لذا سنبدأ بـ ﺏ شرطة تربيع. يوضح لنا قانون جيوب التمام أنه علينا تربيع طولي الضلعين الآخرين. وهما هنا ﺃ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع. يوضح لنا قانون جيوب التمام بعد ذلك أنه علينا ضرب سالب اثنين في ﺏ شرطة وﺟ شرطة، وهما طولا الضلعين الآخرين. حسنًا، لدينا هنا سالب اثنين مضروبًا في ﺃ شرطة وﺟ شرطة. وأخيرًا، نحسب جيب تمام الزاوية المحصورة، وهي هنا جتا ﺏ.

إذن، هذه ليست إعادة ترتيب لقانون جيوب التمام؛ لأنه يمكنك ملاحظة أنه يتضمن جتا الزاوية ﺏ بدلًا من جتا الزاوية ﺃ. ولكنها مجرد إعادة صياغة لقانون جيوب التمام باستخدام الأحرف بترتيب مختلف. أصبح لدينا الآن نسخة من القانون يمكننا استخدامها لحل هذا السؤال. ومن ثم، يمكننا التعويض بالمعطيات ذات الصلة. لدينا أولًا ﺏ شرطة تربيع يساوي تسعة تربيع زائد خمسة تربيع، ناقص اثنين في تسعة في خمسة في جتا ١٢٠. ويمكننا الآن متابعة خطوات الحل.

لدينا ﺏ شرطة تربيع يساوي ١٠٦ ناقص ٩٠ جتا ١٢٠. وهذا يوضح لنا أن ﺏ شرطة تربيع يساوي ١٥١ بالضبط. ذلك لأن جتا ١٢٠ يساوي قيمة دقيقة. فهو يساوي سالب نصف. بحساب الجذر التربيعي، نحصل على ﺏ شرطة يساوي ١٢٫٢٨٨٢٠٥. يطلب منا السؤال تقريب هذه القيمة لأقرب جزء من مائة، لذا سنقرب الإجابة. إذن، ﺏ شرطة يساوي ١٢٫٢٩ سنتيمترًا.

عند حل سؤال كهذا، يمكنك البحث عن قانون جيوب التمام على الصورة التي يعطى بها عادة، أو ربما يستلزم منك ذلك أن تحفظه جيدًا. لكن إذا لم يكن الضلع الذي تريده هو الضلع ﺃ شرطة، فعليك أن تفكر في كيفية تغيير الأحرف لتجعلها ذات صلة بالضلع الذي تريد حساب طوله. تذكر أنك تفعل ذلك بمراعاة هيكل قانون جيوب التمام، وحقيقة أنه يتضمن طولي الضلعين الآخرين في المثلث وقياس الزاوية المحصورة بينهما، وهي الزاوية المقابلة للضلع الذي تريد حساب طوله.

احسب قياس الزاوية ﻙ لأقرب درجة.

لدينا في معطيات هذا السؤال أطوال أضلاع المثلث الثلاثة، ومطلوب منا حساب قياس إحدى زواياه. وهذه هي المعطيات اللازمة لتطبيق قانون جيوب التمام. إذا بحثنا عن قانون جيوب التمام القياسي، فسنجد أنه يبدو على هذا النحو. ‏ﺃ شرطة تربيع يساوي ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع ناقص اثنين ﺏ شرطةﺟ شرطة جتا ﺃ.

إذا أردت حساب قياس إحدى الزوايا، كما هو الحال مع هذا السؤال، فيمكنك إعادة ترتيب القانون من خلال بضع خطوات لتحصل على هذه الصيغة الموضحة. جتا ﺃ يساوي ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع ناقص ﺃ شرطة تربيع الكل على اثنين ﺏ شرطةﺟ شرطة. ولكن، لا توجد الأحرف ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة في هذا السؤال. فهو يتضمن الأحرف ﻙ وﺭ وﺱ، لذا علينا أن نفكر كيف يمكننا تطبيق هذه الصيغة من قانون جيوب التمام في هذا السؤال.

علينا النظر إلى هيكل قانون جيوب التمام هذا. هناك ضلعان يعاملان دائمًا بالطريقة نفسها، وطولا ﺏ شرطة وﺟ شرطة مربعان ومجموعان معًا في البسط، ثم يطرح ﺃ شرطة تربيع. يوجد كل من ﺏ شرطة وﺟ شرطة في المقام أيضًا. إذن، هذان الضلعان اللذان يعاملان بالطريقة نفسها هما الضلعان اللذان يحصران الزاوية التي نريد حساب قياسها. طولا الضلعين هنا يساويان ثمانية سنتيمترات و١٠ سنتيمترات.

بالنسبة إلى الضلع الثالث الذي يعامل بطريقة مختلفة في قانون جيوب التمام، فإنه يوجد في البسط فقط ويطرح مربع طوله بدلًا من جمعه. إنه الضلع المقابل للزاوية التي نريد حساب قياسها. لذا، لسنا بحاجة إلى الأحرف ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة. يمكننا كتابة قانون جيوب التمام من خلال التفكير في كيفية ارتباط الضلعين بهذه الزاوية.

وبذلك، يصبح لدينا أولًا جتا ﻙ يساوي طولي الضلعين المجاورين للزاوية وهما ثمانية و١٠، إذن لدينا ثمانية تربيع زائد ١٠ تربيع. بعد ذلك، علينا طرح مربع طول الضلع المقابل، أي ناقص ١٥ تربيع. وعلينا بعد ذلك قسمة هذا على اثنين مضروبًا في طولي الضلعين اللذين يحصران هذه الزاوية. هذا يعني اثنين مضروبًا في ثمانية مضروبًا في ١٠.

إذا حسبنا كل هذا، فسنحصل على جتا ﻙ يساوي سالب ٦١ على ١٦٠. ولإيجاد قياس الزاوية ﻙ، علينا استخدام الدالة العكسية لجيب التمام. إذن، ﻙ يساوي الدالة العكسية لجيب تمام سالب ٦١ على ١٦٠. وهذا يعطينا القيمة ١١٢٫٤١١١٣٢. يطلب منا السؤال تقريب الإجابة لأقرب درجة، إذن الإجابة النهائية هي أن قياس الزاوية ﻙ يساوي ١١٢ درجة، مقربًا لأقرب درجة. مرة أخرى، لم يوجد أي من الأحرف ﺃ شرطة أو ﺏ شرطة أو ﺟ شرطة في السؤال. كل ما فعلناه هو أننا نظرنا إلى هيكل قانون جيوب التمام لتحديد أي القيم يجب التعويض بها في موضعها بالقانون.

افترض بدلًا من ذلك أنه مطلوب منا حساب قياس الزاوية ﺱ. مرة أخرى، سنلقي نظرة على هيكل قانون جيوب التمام. علينا أولًا تربيع طولي ضلعين ثم جمعهما معًا. يجب أن يكون هذان الضلعان هما الضلعين المجاورين للزاوية ﺱ، وطول كل منهما يساوي ثمانية و١٥. وعلينا بعد ذلك تربيع طول الضلع المتبقي وطرحه، أي ناقص ١٠ تربيع.

في المقام، علينا ضرب اثنين في طولي الضلعين المجاورين للزاوية ﺱ. وهما يساويان ثمانية و١٥. وهكذا، يصبح لدينا معادلة يمكننا حلها إذا أردنا لحساب قياس الزاوية ﺱ. إذن، بمجرد النظر إلى هيكل قانون جيوب التمام، يمكننا تطبيقه على أي سؤال كهذا. تذكر فقط أنه عند التعامل مع طولي ضلعين بالطريقة نفسها في الصيغة، فلا بد أن يكون هذان الضلعان هما الضلعين اللذين يحصران الزاوية التي نريد حساب قياسها.

خلاصة القول، من المفيد أن نتعلم تعريف قانون جيوب التمام في صورته القياسية التي تتضمن الأحرف ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة. لكن، لكي نطبق القانون بفاعلية على مجموعة من المسائل، علينا النظر إلى هيكل القانون، كما يجب أن نكون على دراية بما تمثله الأحرف بدلالة أطوال الأضلاع المجاورة والمقابلة وقياسات الزوايا المحصورة.